Função retangular - Rectangular function

Função retangular

A função rectangular (também conhecido como a função de rectângulo , função rect , função Pi , função de porta , pulso unidade , ou o normalizado função vagão de carga ) é definida como

{\ displaystyle \ operatorname {rect} (t) = \ Pi (t) = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 0, & {\ text {if}} | t |> {\ frac {1 } {2}} \\ {\ frac {1} {2}}, & {\ text {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ 1, & {\ text {if }} | t | <{\ frac {1} {2}}. \ end {array}} \ right.}

As definições alternativas da função são 0, 1 ou indefinidas. ${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left (\ pm {\ frac {1} {2}} \ right)}$

Relação com a função do vagão

A função retangular é um caso especial da função mais geral do vagão :

{\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {tX} {Y}} \ right) = u (t- (XY / 2)) - u (t- (X + Y / 2)) = u (t-X + Y / 2) -u (tXY / 2)}

onde está a função de Heaviside ; a função é centrada em e tem duração de a . ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle XY / 2}$ ${\ displaystyle X + Y / 2}$

Transformada de Fourier da função retangular

As transformadas de Fourier unitárias da função retangular são

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi ft} \, dt = {\ frac {\ sin (\ pi f) } {\ pi f}} = \ mathrm {sinc} {(\ pi f)}, \,}

usando a frequência comum f , e

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e ^ {- i \ omega t } \, dt = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {sin} \ left (\ omega / 2 \ right)} {\ omega / 2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ mathrm {sinc} \ left (\ omega / 2 \ right), \,}

Gráfico da função sinc (x) normalizada (isto é, sinc (πx)) com seus componentes de frequência espectral.

usando a frequência angular ω, onde é a forma não normalizada da função sinc . ${\ displaystyle \ mathrm {sinc}}$

Observe que, desde que a definição da função de pulso seja motivada apenas por seu comportamento na experiência no domínio do tempo, não há razão para acreditar que a interpretação oscilatória (ou seja, a função de transformada de Fourier) deva ser intuitiva ou diretamente compreendida por humanos . No entanto, alguns aspectos do resultado teórico podem ser entendidos intuitivamente, uma vez que a finitude no domínio do tempo corresponde a uma resposta de frequência infinita. (Vice-versa, uma transformada de Fourier finita corresponderá a uma resposta no domínio do tempo infinito.)

Relação com a função triangular

Podemos definir a função triangular como a convolução de duas funções retangulares:

{\ displaystyle \ mathrm {tri} = \ mathrm {rect} * \ mathrm {rect}. \,}

Use em probabilidade

Vendo a função retangular como uma função de densidade de probabilidade , é um caso especial da distribuição uniforme contínua com . A função característica é ${\ displaystyle a = -1 / 2, b = 1/2}$

{\ displaystyle \ varphi (k) = {\ frac {\ sin (k / 2)} {k / 2}},}

e sua função geradora de momento é

{\ displaystyle M (k) = {\ frac {\ sinh (k / 2)} {k / 2}},}

onde está a função seno hiperbólica . ${\ displaystyle \ sinh (t)}$

Aproximação racional

A função de pulso também pode ser expressa como um limite de uma função racional :

{\ displaystyle \ Pi (t) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t) ^ {2n} +1}}}

Demonstração de validade

Primeiro, consideramos o caso em que . Observe que o termo é sempre positivo para inteiro . No entanto, e portanto se aproxima de zero para grandes . ${\ displaystyle | t | <{\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle (2t) ^ {2n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2t <1}$ ${\ displaystyle (2t) ^ {2n}}$ ${\ displaystyle n}$

Segue que:

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t) ^ {2n} +1}} = {\ frac {1} { 0 + 1}} = 1, | t | <{\ frac {1} {2}}}

Em segundo lugar, consideramos o caso em que . Observe que o termo é sempre positivo para inteiro . No entanto, e , portanto, cresce muito para grande . ${\ displaystyle | t |> {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle (2t) ^ {2n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2t> 1}$ ${\ displaystyle (2t) ^ {2n}}$ ${\ displaystyle n}$