Função racional - Rational function

Em matemática , uma função racional é qualquer função que pode ser definida por uma fração racional , que é uma fração algébrica tal que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios . Os coeficientes dos polinômios não precisam ser números racionais ; eles podem ser feitos em qualquer campo K . Neste caso, fala-se de uma função racional e uma fracção racional sobre K . Os valores das variáveis podem ser tomadas em qualquer campo L contendo K . Em seguida, o domínio da função é o conjunto de valores das variáveis para que o denominador não é zero, e o codomain é L .

O conjunto de funções racionais sobre um campo K é um campo, o campo de fracções do anel das funções polinomiais mais de K .

Definições

Uma função é chamada de função racional se e somente se puder ser escrita na forma ${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$

onde e são funções polinomiais de e não é a função zero . O domínio de é o conjunto de todos os valores de cujo denominador não é zero. ${\ displaystyle P \,}$${\ displaystyle Q \,}$${\ displaystyle x \,}$${\ displaystyle Q \,}$${\ displaystyle f \,}$${\ displaystyle x \,}$${\ displaystyle Q (x) \,}$

No entanto, se e tiver um máximo divisor comum polinomial não constante , definir e produzir uma função racional ${\ displaystyle \ textstyle P}$${\ displaystyle \ textstyle Q}$ ${\ displaystyle \ textstyle R}$${\ displaystyle \ textstyle P = P_ {1} R}$${\ displaystyle \ textstyle Q = Q_ {1} R}$

${\ displaystyle f_ {1} (x) = {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}},}$

que pode ter um domínio maior do que e é igual a no domínio de É um uso comum identificar e , isto é, estender "por continuidade" o domínio de ao de De fato, pode-se definir uma fração racional como uma equivalência classe de frações de polinômios, onde duas frações e são consideradas equivalentes se . Neste caso, é equivalente a . ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x).}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f_ {1} (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f_ {1} (x).}$${\ displaystyle {\ frac {A (x)} {B (x)}}}$${\ displaystyle {\ frac {C (x)} {D (x)}}}$${\ displaystyle A (x) D (x) = B (x) C (x)}$${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$${\ displaystyle {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}}}$

Uma função racional adequada é uma função racional na qual o grau de é menor que o grau de e ambos são polinômios reais , nomeados por analogia a uma fração adequada em . ${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Grau

Existem várias definições não equivalentes do grau de uma função racional.

Mais comumente, o grau de uma função racional é o máximo dos graus de seus polinômios constituintes P e Q , quando a fração é reduzida aos termos mais baixos . Se o grau de f for d , então a equação

${\ displaystyle f (z) = w \,}$

tem d soluções distintas em z exceto para certos valores de w , chamados de valores críticos , onde duas ou mais soluções coincidem ou onde alguma solução é rejeitada no infinito (isto é, quando o grau da equação diminui após limpar o denominador ).

No caso de coeficientes complexos , uma função racional com grau um é uma transformação de Möbius .

O grau do gráfico de uma função racional não é o grau definido acima: é o máximo do grau do numerador e um mais o grau do denominador.

Em alguns contextos, como na análise assintótica , o grau de uma função racional é a diferença entre os graus do numerador e do denominador.

Em síntese e análise de rede , uma função racional de grau dois (isto é, a proporção de dois polinômios de grau no máximo dois) é frequentemente chamada de função biquadrática .

Exemplos

A função racional

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} -2x} {2 (x ^ {2} -5)}}}$

não está definido em

${\ displaystyle x ^ {2} = 5 \ Leftrightarrow x = \ pm {\ sqrt {5}}.}$

É assintótico como${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$${\ displaystyle x \ to \ infty.}$

A função racional

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {2} +2} {x ^ {2} +1}}}$

é definido para todos os números reais , mas não para todos os números complexos , uma vez que se x fosse uma raiz quadrada de (ou seja, a unidade imaginária ou seu negativo), então a avaliação formal levaria à divisão por zero: ${\ displaystyle -1}$

${\ displaystyle f (i) = {\ frac {i ^ {2} +2} {i ^ {2} +1}} = {\ frac {-1 + 2} {- 1 + 1}} = {\ frac {1} {0}},}$

que é indefinido.

Uma função constante como f ( x ) = π é uma função racional, pois constantes são polinômios. A função em si é racional, embora o valor de f ( x ) seja irracional para todo x .

Cada função polinomial é uma função racional com uma função que não pode ser escrita desta forma, como não é uma função racional. No entanto, o adjetivo "irracional" geralmente não é usado para funções. ${\ displaystyle f (x) = P (x)}$${\ displaystyle Q (x) = 1.}$${\ displaystyle f (x) = \ sin (x),}$

A função racional é igual a 1 para todos os x exceto 0, onde há uma singularidade removível . A soma, produto ou quociente (exceto a divisão pelo polinômio zero) de duas funções racionais é em si uma função racional. No entanto, o processo de redução à forma padrão pode resultar inadvertidamente na remoção de tais singularidades, a menos que seja tomado cuidado. Usar a definição de funções racionais como classes de equivalência contorna isso, uma vez que x / x é equivalente a 1/1. ${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {x} {x}}}$

Série Taylor

Os coeficientes de uma série de Taylor de qualquer função racional satisfazem uma relação de recorrência linear , que pode ser encontrada igualando a função racional a uma série de Taylor com coeficientes indeterminados e coletando termos semelhantes após limpar o denominador.

Por exemplo,

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {2} -x + 2}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

Multiplicando pelo denominador e distribuindo,

${\ displaystyle 1 = (x ^ {2} -x + 2) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}}$

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k + 2} - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ { k + 1} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

Depois de ajustar os índices das somas para obter as mesmas potências de x , obtemos

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} a_ {k-2} x ^ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k-1} x ^ {k} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

Combinar termos semelhantes dá

${\ displaystyle 1 = 2a_ {0} + (2a_ {1} -a_ {0}) x + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (a_ {k-2} -a_ {k-1} + 2a_ {k}) x ^ {k}.}$

Como isso é verdadeiro para todo x no raio de convergência da série de Taylor original, podemos calcular da seguinte maneira. Uma vez que o termo constante à esquerda deve ser igual ao termo constante à direita, segue-se que

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {2}}.}$

Então, uma vez que não há potências de x à esquerda, todos os coeficientes à direita devem ser zero, a partir do qual segue que

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {1} {4}}}$

${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {2}} (a_ {k-1} -a_ {k-2}) \ quad {\ text {for}} \ k \ geq 2.}$

Por outro lado, qualquer sequência que satisfaça uma recorrência linear determina uma função racional quando usada como os coeficientes de uma série de Taylor. Isso é útil para resolver tais recorrências, uma vez que usando a decomposição de fração parcial , podemos escrever qualquer função racional adequada como uma soma de fatores da forma 1 / ( ax + b ) e expandi-los como séries geométricas , dando uma fórmula explícita para o Taylor coeficientes; este é o método de geração de funções .

Álgebra abstrata e noção geométrica

Na álgebra abstrata, o conceito de polinômio é estendido para incluir expressões formais nas quais os coeficientes do polinômio podem ser obtidos de qualquer campo . Nesse cenário, dado um campo F e algum X indeterminado , uma expressão racional é qualquer elemento do campo de frações do anel polinomial F [ X ]. Qualquer expressão racional pode ser escrita como o quociente de dois polinômios P / Q com Q ≠ 0, embora esta representação não seja única. P / Q é equivalente a R / S , para polinômios P , Q , R e S , quando PS = QR . No entanto, como F [ X ] é um domínio de fatoração único , há uma representação única para qualquer expressão racional P / Q com polinômios P e Q de grau mais baixo e Q escolhido para ser mônico . Isso é semelhante a como uma fração de inteiros sempre pode ser escrita exclusivamente em termos mais baixos, cancelando fatores comuns.

O campo das expressões racionais é denotado por F ( X ). Este campo é dito para ser gerado (como um campo) ao longo de F por (um elemento transcendental ) X , porque F ( X ) não contém qualquer subcampo apropriado contendo ambos F e o elemento X .

Funções racionais complexas

• Julia define para mapas racionais
• 

  ${\ displaystyle {\ frac {1} {az ^ {5} + z ^ {3} + bz}}}$

• 

  ${\ displaystyle {\ frac {1} {z ^ {3} + z (-3-3i)}}}$

• 

  ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {2} -0,2 + 0,7i} {z ^ {2} +0,917}}}$

• 

  ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {2}} {z ^ {9} -z + 0,025}}}$

Na análise complexa , uma função racional

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}$

é a razão de dois polinômios com coeficientes complexos, onde Q não é o polinômio zero e P e Q não têm fator comum (isso evita que f tome o valor indeterminado 0/0).

O domínio de f é o conjunto de números complexos tal que e seu intervalo é o conjunto dos números complexos w tal que${\ displaystyle Q (z) \ neq 0,}$${\ displaystyle P (z) \ neq wQ (z).}$

Toda função racional pode ser naturalmente estendida a uma função cujo domínio e alcance são toda a esfera de Riemann ( linha projetiva complexa ).

As funções racionais são exemplos representativos de funções meromórficas .

A iteração de funções racionais (mapas) na esfera de Riemann cria sistemas dinâmicos discretos .

Noção de uma função racional em uma variedade algébrica

Como polinômios , expressões racionais também podem ser generalizadas para n indeterminados X ₁ , ..., X _n , tomando o campo de frações de F [ X ₁ , ..., X _n ], que é denotado por F ( X ₁ , ..., X _n ).

Uma versão estendida da ideia abstrata de função racional é usada na geometria algébrica. Lá, o campo de função de uma variedade algébrica V é formado como o campo de frações do anel coordenado de V (mais precisamente dito, de um conjunto aberto afim denso de Zariski em V ). Seus elementos f são considerados funções regulares no sentido da geometria algébrica em conjuntos abertos não vazios U , e também podem ser vistos como morfismos para a linha projetiva .

Formulários

Funções racionais são usadas em análise numérica para interpolação e aproximação de funções, por exemplo, as aproximações Padé introduzidas por Henri Padé . Aproximações em termos de funções racionais são bem adequadas para sistemas computacionais de álgebra e outros softwares numéricos . Como os polinômios, eles podem ser avaliados diretamente e, ao mesmo tempo, expressam um comportamento mais diverso do que os polinômios.

Funções racionais são usadas para aproximar ou modelar equações mais complexas em ciência e engenharia, incluindo campos e forças em física, espectroscopia em química analítica, cinética enzimática em bioquímica, circuitos eletrônicos, aerodinâmica, concentrações de medicamentos in vivo, funções de onda para átomos e moléculas, óptica e fotografia para melhorar a resolução da imagem e acústica e som.

No processamento de sinal , a transformada de Laplace (para sistemas contínuos) ou a transformada z (para sistemas de tempo discreto) da resposta ao impulso de sistemas invariantes no tempo linear comumente usados (filtros) com resposta ao impulso infinita são funções racionais sobre números complexos .

Veja também

• Campo de frações
• Decomposição parcial da fração
• Frações parciais na integração
• Campo de função de uma variedade algébrica
• Frações algébricas  - uma generalização de funções racionais que permite tirar raízes inteiras

Referências

• "Rational function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Pressione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Seção 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

links externos

• Visualização dinâmica de funções racionais com JSXGraph