medida Regular - Regular measure

Em matemática , uma medida normal em um espaço topológico é uma medida para a qual cada conjunto mensurável pode ser aproximada de cima por conjuntos mensuráveis abertos e por baixo por conjuntos mensuráveis compactas.

Definição

Seja ( X ,  T ) um espaço topológico e deixe Σ ser uma σ-álgebra sobre X . Deixe μ ser uma medida em ( X , Σ). Um subconjunto mensurável Um de X é dito ser regulares interior se

${\ Displaystyle \ mu (A) = \ sup \ {\ mu (F) \ meados F \ subseteq A, F {\ texto {compacto e mensurável}} \}}$

e disse ser regular externa se

${\ Displaystyle \ mu (A) = \ inf \ {\ mu (G) \ meados L \ supseteq A, G {\ {texto aberto e mensurável}} \}}$

• A medida é chamada regulares interior se cada conjunto mensurável é regular interior. Alguns autores utilizam uma definição diferente: a medida é chamada regulares interior se cada aberto conjunto mensurável é interna regular.
• A medida é chamada regular externa se cada conjunto mensurável é regular externa.
• A medida é chamada regular, se é externa regular, regular e interior.

Exemplos

medidas regulares

• Medida de Lebesgue no eixo real é uma medida normal: veja o teorema de regularidade para medida de Lebesgue .
• Qualquer Baire medida de probabilidade em qualquer espaço σ-compacto localmente compacto Hausdorff é uma medida regular.
• Qualquer medida de probabilidade de Borel em um espaço de Hausdorff localmente compacto com uma base contável para sua topologia, ou espaço métrico compacto, ou espaço Radon , é regular.

medidas regulares internas que não são externa comum

• Um exemplo de uma medida na linha real com sua topologia usual que não é regular externa é a medida μ onde , e para qualquer outro conjunto .${\ Displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}$${\ Displaystyle \ mu \ esquerda (\ {1 \} \ direita) = 0 \, \,}$${\ Displaystyle \ mu (A) = \ infty \, \,}$${\ Displaystyle A}$
• A medida de Borel no plano que atribui a qualquer Borel definir a soma das medidas de (1-dimensional) de suas secções horizontais é interna regular, mas não exterior regular, como cada conjunto aberto não-vazia tem medida infinito. Uma variação deste exemplo é uma união disjunta de um incontável número de cópias da linha real com medida de Lebesgue.
• Um exemplo de uma medida de Borel μ sobre um espaço de Hausdorff localmente compacto que é interna regular, σ-finito, e localmente finito, mas não regular externa é dada por Bourbaki (2004 , Exercício 5 da secção 1) como se segue. O espaço topológico X tem como conjunto subjacente o subconjunto do plano real dado pela y -axis de pontos (0, y ), em conjunto com os pontos (1 / n , m / n ² ) com m , n inteiros positivos. A topologia é dado como se segue. Os pontos individuais (1 / n , m / n ² ) são todos os conjuntos abertos. Uma base de área de ponto (0, y ) é dada por cunhas que consistem em todos os pontos em X da forma ( u , v ) com | v  -  y | ≤ | u | Â 1 / n para um nero inteiro positivo n . Este espaço X é localmente compacto. A medida é dada por μ deixando o y -axis tem medida 0 e deixando o ponto (1 / n , m / n ² ) ter uma medida / n ³ . Esta medida é regular interior e localmente finito, mas não é externo regular como qualquer conjunto aberto contendo o y -axis tem medida infinito.

medidas regulares exteriores que não são interior regulares

• Se μ é a medida regular internamente no exemplo anterior, e M é a medida dada por H ( S ) = inf _{L ⊇ S}  μ ( L ) onde a inf é retomado todos os conjuntos abertos contendo o Borel definido S , então M é uma medida externa regulares localmente finito Borel em um espaço de Hausdorff localmente compacto que não é interna regular no sentido Strng, embora todos os conjuntos abertos são regulares interior, de modo que é interna regular no sentido fraco. As medidas M e u coincidem em todos os conjuntos abertos, todos os conjuntos compactos, e todos os conjuntos em que M tem medida finita. O y -axis tem infinita M -measure embora todos os subconjuntos compactos de que ela tem medida 0.
• Um cardinal mensurável com a topologia discreta tem uma medida de probabilidade Borel de tal modo que cada subconjunto compacto tem medida 0, então esta medida é externo regular, mas não interna regular. A existência de cardeais mensuráveis não pode ser provada na teoria dos conjuntos ZF mas (a partir de 2013) é pensado para ser coerente com ela.

Medidas que não são nem regular, interior nem exterior

• O espaço de todos os ordinais, no máximo, igual ao primeiro Ω ordinal incontável, com a topologia gerada por intervalos abertos, é um espaço compacto de Hausdorff. A medida que atribui uma medida para conjuntos de Borel contendo um subconjunto fechado ilimitada dos ordinais contáveis ​​e atribui 0 a outros conjuntos de Borel é uma medida de probabilidade Borel que não é nem interior normal normal nem exterior.

Veja também

• Borel medida regulares
• medida Radon
• teorema de regularidade para medida de Lebesgue

Referências

• Billingsley, Patrick (1999). Convergência das medidas de probabilidade . New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-19745-9 .
• Parthasarathy, KR (2005). Medidas de probabilidade sobre espaços métricos . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p. xii + 276. ISBN  0-8218-3889-X .MR 2169627 (ver Capítulo 2)

• Dudley, RM (1989). Análise Real e Probabilidade . Chapman & Hall.