Cardeal mensurável - Measurable cardinal
Em matemática , um cardeal mensurável é um certo tipo de grande número cardinal . Para definir o conceito, introduz-se uma medida de dois valores em um cardinal κ ou, mais geralmente, em qualquer conjunto. Para um cardinal κ , pode ser descrito como uma subdivisão de todos os seus subconjuntos em conjuntos grandes e pequenos, de modo que o próprio κ é grande, ∅ e todos os singletons { α }, α ∈ κ são pequenos, os complementos de pequenos conjuntos são grandes e vice-versa. A interseção de menos deκ conjuntos grandes é novamente grande.
Acontece que inúmeros cardeais dotados de uma medida de dois valores são grandes cardeais cuja existência não pode ser provada pelo ZFC .
O conceito de cardeal mensurável foi introduzido por Stanislaw Ulam em 1930.
Definição
Formalmente, um cardinal mensurável é um número cardinal incontável κ tal que existe uma medida κ aditiva, não trivial, de valor 0-1 no conjunto de potência de κ . (Aqui, o termo κ-aditivo significa que, para qualquer sequência A α , α <λ de cardinalidade λ < κ , A α sendo conjuntos separados por pares de ordinais menores que κ, a medida da união de A α é igual à soma de as medidas do indivíduo A α .)
Equivalentemente, κ é meios mensuráveis que é o ponto crítico de uma não-trivial incorporação elementar do universo V em uma classe transitivo M . Essa equivalência se deve a Jerome Keisler e Dana Scott , e usa a construção ultrapower da teoria do modelo . Visto que V é uma classe adequada , um problema técnico que geralmente não está presente ao considerar ultrapoters precisa ser resolvido, pelo que agora é chamado de truque de Scott .
Equivalentemente, κ é um cardinal mensurável se e somente se for um cardinal incontável com um ultrafiltro não principal κ-completo . Novamente, isso significa que a interseção de qualquer conjunto estritamente inferior a κ- muitos no ultrafiltro também está no ultrafiltro.
Propriedades
Embora decorra de ZFC que todo cardeal mensurável é inacessível (e é inefável , Ramsey , etc.), é consistente com ZF que um cardinal mensurável pode ser um cardeal sucessor . Segue de ZF + axioma de determinação que ω 1 é mensurável e que cada subconjunto de ω 1 contém ou é separado de um subconjunto fechado e ilimitado .
Ulam mostrou que o menor cardinal κ que admite uma medida não trivial contavelmente aditiva de dois valores deve de fato admitir uma medida κ-aditiva. (Se houvesse alguma coleção de menos de κ subconjuntos de medida 0 cuja união fosse κ, então a medida induzida nesta coleção seria um contra-exemplo para a minimalidade de κ.) A partir daí, pode-se provar (com o Axioma da Escolha) que o mínimo desses cardeais deve ser inacessível.
É trivial notar que se κ admite uma medida κ-aditiva não trivial, então κ deve ser regular. (Por não trivialidade e κ-aditividade, qualquer subconjunto de cardinalidade menor que κ deve ter medida 0, e então por κ-aditividade novamente, isso significa que todo o conjunto não deve ser uma união de menos de κ conjuntos de cardinalidade menores que κ.) Finalmente, se λ <κ, então não pode ser o caso de κ ≤ 2 λ . Se fosse esse o caso, poderíamos identificar κ com alguma coleção de sequências 0-1 de comprimento λ . Para cada posição na sequência, o subconjunto de sequências com 1 nessa posição ou o subconjunto com 0 nessa posição teria que ter a medida 1. A interseção desses λ- muitos subconjuntos de medida 1 também teriam que ter a medida 1 , mas conteria exatamente uma sequência, o que contradiz a não trivialidade da medida. Assim, assumindo o Axioma da Escolha, podemos inferir que κ é um limite cardinal forte, o que completa a prova de sua inacessibilidade.
Se κ é mensurável e p ∈ V κ e M (a ultrapower de V ) satisfaz ψ (κ, p ), então o conjunto de α < κ tal que V satisfaz ψ ( α , p ) é estacionário em κ (na verdade, um conjunto da medida 1). Em particular, se ψ é uma fórmula Π 1 e V satisfaz ψ (κ, p ), então M o satisfaz e, portanto, V satisfaz ψ ( α , p ) para um conjunto estacionário de α < κ . Essa propriedade pode ser usada para mostrar que κ é um limite da maioria dos tipos de cardinais grandes que são mais fracos do que os mensuráveis. Observe que o ultrafiltro ou medida testemunhando que κ é mensurável não pode estar em M, pois o menor cardinal mensurável teria que ter outro abaixo dele, o que é impossível.
Se alguém começa com uma incorporação elementar j 1 de V em M 1 com ponto crítico κ, então pode-se definir um ultrafiltro U em κ como { S ⊆κ: κ∈ j 1 ( S )}. Então, tomando uma ultra-potência de V sobre U , podemos obter outro embutimento elementar j 2 de V em M 2 . No entanto, é importante lembrar que j 2 ≠ j 1 . Assim, outros tipos de cardeais grandes, como cardeais fortes, também podem ser mensuráveis, mas não usando a mesma incorporação. Pode-se mostrar que um cardinal forte κ é mensurável e também possui κ-muitos cardeais mensuráveis abaixo dele.
Cada κ cardinal mensurável é um 0- enorme cardeal porque κ M ⊆ M , isto é, todas as funções de κ de M está em M . Por conseguinte, V k 1 ⊆ M .
Mensurável com valor real
Um cardinal κ é chamado de mensurável com valor real se houver uma medida de probabilidade κ aditiva no conjunto de potência de κ que desaparece nos singletons. Cardeais mensuráveis de valor real foram introduzidos por Stefan Banach ( 1930 ). Banach & Kuratowski (1929) mostraram que a hipótese do contínuo implica que não é mensurável com valor real. Stanislaw Ulam ( 1930 ) mostrou (veja abaixo partes da prova de Ulam) que cardeais mensuráveis de valor real são fracamente inacessíveis (na verdade, são fracamente Mahlo ). Todos os cardinais mensuráveis são mensuráveis de valor real, e um cardinal mensurável de valor real κ é mensurável se e somente se κ for maior que . Assim, um cardeal é mensurável se, e somente se, for mensurável com valor real e fortemente inacessível. Um cardinal mensurável de valor real menor ou igual a existe se e somente se houver uma extensão contável aditiva da medida de Lebesgue para todos os conjuntos de números reais se e somente se houver uma medida de probabilidade atômica no conjunto de potência de algum não vazio definir.
Solovay (1971) mostrou que a existência de cardeais mensuráveis em ZFC, cardeais mensuráveis de valor real em ZFC e cardinais mensuráveis em ZF são equiconsistentes .
Fraca inacessibilidade de cardeais mensuráveis de valor real
Digamos que um número cardinal seja um número Ulam se
sempre que
- é uma medida externa em um conjunto
- todos são μ- mensuráveis ,
então
Equivalentemente, um número cardinal é um número Ulam se
sempre que
- é uma medida externa em um conjunto e uma família disjunta de subconjuntos de ,
- para
- é ν -mensurável para cada
então
O menor cardeal infinito é um número Ulam. A classe de números Ulam é fechada sob a operação do sucessor cardinal . Se um cardinal infinito tem um predecessor imediato que é um número Ulam, assuma que satisfaz as propriedades (1) - (4) com . No modelo de von Neumann de ordinais e cardinais, escolha funções injetivas
e definir os conjuntos
Uma vez que são um-para-um, os conjuntos
são disjuntos. Por propriedade (2) de , o conjunto
é contável e, portanto,
Assim, existe tal que
implicando, uma vez que é um número Ulam e usando a segunda definição (com e as condições (1) - (4) preenchidas),
Se então assim
Por propriedade (2) , e uma vez que , por (4), (2) e (3) , segue-se que A conclusão é que é um número Ulam.
Há uma prova semelhante de que o supremo de um conjunto de números Ulam com um número Ulam é novamente um número Ulam. Junto com o resultado anterior, isso implica que um cardeal que não seja um número Ulam está fracamente inacessível .
Veja também
Notas
Citações
Referências
- Banach, Stefan (1930), "Über aditivo Maßfunktionen in abstrakten Mengen" , Fundamenta Mathematicae , 15 : 97–101, doi : 10.4064 / fm-15-1-97-101 , ISSN 0016-2736.
- Banach, Stefan ; Kuratowski, Kazimierz (1929), "Sur une généralisation du probleme de la mesure" , Fundamenta Mathematicae , 14 : 127–131, doi : 10.4064 / fm-14-1-127-131 , ISSN 0016-2736.
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- Federer, H. (1996) [1969], Geometric Measure Theory , Classics in Mathematics (1ª ed reimpressão ed.), Berlim, Heidelberg, Nova York: Springer Verlag , ISBN 978-3540606567.
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- Solovay, Robert M. (1971), "Real-valued mensable cardinals", Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967) , Providence , RI: Amer. Matemática. Soc., Pp. 397-428, MR 0290961.
- Ulam, Stanislaw (1930), "Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre" , Fundamenta Mathematicae , 16 : 140-150, doi : 10.4064 / fm-16-1-140-150 , ISSN 0016-2736.