Paradoxo de Ross-Littlewood - Ross–Littlewood paradox
O paradoxo de Ross-Littlewood (também conhecido como problema das bolas e vaso ou problema da bola de pingue-pongue ) é um problema hipotético em matemática e lógica abstratas projetada para ilustrar a natureza paradoxal , ou pelo menos não intuitiva , do infinito . Mais especificamente, como o paradoxo da lâmpada de Thomson, o paradoxo de Ross-Littlewood tenta ilustrar as dificuldades conceituais com a noção de uma supertarefa , na qual um número infinito de tarefas são concluídas sequencialmente. O problema foi originalmente descrito pelo matemático John E. Littlewood em seu livro Littlewood's Miscellany , de 1953 , e posteriormente expandido por Sheldon Ross em seu livro de 1988, A First Course in Probability .
O problema começa com um vaso vazio e um estoque infinito de bolas. Um número infinito de passos é então executado, de modo que a cada passo 10 bolas são adicionadas ao vaso e 1 bola removida dele. A questão é então colocada: Quantas bolas estão no vaso quando a tarefa é concluída?
Para completar um número infinito de etapas, assume-se que o vaso está vazio um minuto antes do meio-dia e que as seguintes etapas são realizadas:
- A primeira etapa é realizada 30 segundos antes do meio-dia.
- A segunda etapa é realizada 15 segundos antes do meio-dia.
- Cada etapa subsequente é realizada na metade do tempo da etapa anterior, ou seja, a etapa n é realizada 2 - n minutos antes do meio-dia.
Isso garante que um número infinito de etapas seja executado até o meio-dia. Uma vez que cada etapa subsequente leva a metade do tempo da etapa anterior, um número infinito de etapas é executado quando um minuto se passa. A questão é então: quantas bolas há no vaso ao meio-dia?
Soluções
As respostas do quebra-cabeça se enquadram em várias categorias.
O vaso contém infinitas bolas
A resposta mais intuitiva parece ser que o vaso contém um número infinito de bolas ao meio-dia, já que a cada passo ao longo do caminho mais bolas são adicionadas do que removidas. Por definição, em cada etapa, haverá um número maior de bolas do que na etapa anterior. Na verdade, não há nenhuma etapa em que o número de bolas diminua em relação à etapa anterior. Se o número de bolas aumentar a cada vez, então, após infinitas etapas, haverá um número infinito de bolas.
O vaso está vazio
Suponha que as bolas do suprimento infinito de bolas fossem numeradas e que, na etapa 1, as bolas de 1 a 10 fossem inseridas no vaso e a bola número 1 fosse então removida. No passo 2, as bolas 11 a 20 são inseridas e a bola 2 é então removida. Isso significa que, ao meio-dia, todas as bolas marcadas com n inseridas no vaso são eventualmente removidas em uma etapa subsequente (ou seja, na etapa n ). Portanto, o vaso está vazio ao meio-dia. Essa é a solução preferida pelos matemáticos Allis e Koetsier. É a justaposição desse argumento de que o vaso está vazio ao meio-dia, junto com a resposta mais intuitiva de que o vaso deveria ter infinitas bolas, que justificou esse problema ser denominado paradoxo de Ross-Littlewood.
A versão probabilística de Ross do problema estendeu o método de remoção para o caso em que sempre que uma bola deve ser retirada, essa bola é aleatoriamente selecionada de forma uniforme entre as presentes no vaso naquele momento. Ele mostrou, neste caso, que a probabilidade de que qualquer bola em particular permanecesse no vaso ao meio-dia era 0 e, portanto, usando a desigualdade de Boole e tomando uma soma contável sobre as bolas, que a probabilidade de o vaso estar vazio ao meio-dia era 1.
Depende das condições
Na verdade, o número de bolas com que se acaba depende da ordem em que as bolas são retiradas do vaso. Conforme dito anteriormente, as bolas podem ser adicionadas e retiradas de forma que nenhuma bola fique no vaso ao meio-dia. No entanto, se a bola número 10 for removida do vaso na etapa 1, a bola número 20 na etapa 2 e assim por diante, então é claro que haverá um número infinito de bolas restantes no vaso ao meio-dia. Na verdade, dependendo de qual bola é removida nas várias etapas, qualquer número de bolas escolhido pode ser colocado no vaso ao meio-dia, conforme o procedimento abaixo demonstra. Esta é a solução preferida pelo filósofo lógico Tom Tymoczko e pelo lógico matemático Jim Henle . Esta solução corresponde matematicamente a tomar o limite inferior de uma sequência de conjuntos .
O procedimento a seguir descreve exatamente como obter um determinado número n de bolas restantes no vaso.
Deixe n denotar o número final desejado de bolas no vaso ( n ≥ 0 ).
Deixe i denotar o número da operação que está ocorrendo atualmente ( i ≥ 1 ).
Procedimento:
-
para i = 1 ao infinito:
- coloque bolas numeradas de (10 * i - 9) a (10 * i) no vaso
- se i ≤ n, então remova a bola número 2 * i
- se i> n , remova o número da bola n + i
Claramente, as primeiras n bolas ímpares não são removidas, enquanto todas as bolas maiores ou iguais a 2 n são. Portanto, exatamente n bolas permanecem no vaso.
O problema não foi especificado
Embora o estado das bolas e do vaso seja bem definido em todos os momentos antes do meio-dia, nenhuma conclusão pode ser feita sobre qualquer momento ao ou depois do meio-dia. Assim, pelo que sabemos, ao meio-dia, o vaso simplesmente desaparece magicamente, ou algo mais acontece com ele. Mas não sabemos, pois a definição do problema não diz nada sobre isso. Portanto, como a solução anterior, esta solução afirma que o problema está subespecificado, mas de uma forma diferente da solução anterior. Esta solução é defendida pelo filósofo da matemática Paul Benacerraf .
O problema está mal formado
O problema está mal colocado. Para ser mais preciso, de acordo com a definição do problema, um número infinito de operações será executado antes do meio-dia e, em seguida, perguntará sobre o estado das coisas ao meio-dia. Mas, como nos paradoxos de Zenão , se infinitas operações devem ocorrer (sequencialmente) antes do meio-dia, então o meio-dia é um ponto no tempo que nunca pode ser alcançado. Por outro lado, perguntar quantas bolas sobrarão ao meio-dia é supor que chegará ao meio-dia. Conseqüentemente, há uma contradição implícita na própria afirmação do problema, e essa contradição é a suposição de que se pode de alguma forma "completar" um número infinito de etapas. Esta é a solução preferida pelo matemático e filósofo Jean Paul Van Bendegem .
Veja também
Referências
Leitura adicional
- "Littlewood's Miscellany" (ed. Béla Bollobás ), Cambridge University Press, Cambridge, 1986. p. 26. (Publicado pela primeira vez como "A Mathematician's Miscellany" (ed. Béla Bollobás, Methuen & Co., 1953)
- "Tasks, Super-Tasks, and Modern Eleatics", Paul Benacerraf, Journal of Philosophy, LIX, 1962, pp. 765-784
- "A First Course in Probability", Sheldon Ross, New York: Macmillan, 1976
- "On Some Paradoxes of the Infinite", Victor Allis e Teunis Koetsier, The British Journal for the Philosophy of Science , v.42 n.2, junho de 1991, pp. 187-194
- "Ross 'Paradox Is an Impossible Super-Task", Jean Paul Van Bendegem, The British Journal for the Philosophy of Science , v.45 n.2, junho de 1994, pp. 743-748
- "Infinite Pains: The Trouble with Supertasks", Earman, J. e Norton, JD, em S. Stich (ed.) Paul Benacerraf: The Philosopher and His Critics (New York: Blackwell), 1994
- "Sweet Reason: A Field Guide to Modern Logic", Tom Tymoczko e Jim Henle, Freeman Press, 1995