Cônica esférica - Spherical conic

Cônicas esféricas desenhadas em um quadro-negro esférico. Duas cônicas confocais em azul e amarelo compartilham os focos F ₁ e F ₂ . Ângulos formados com arcos de grande círculo vermelho a partir dos focos através de uma das interseções das cônicas demonstram a propriedade de reflexão das cônicas esféricas. Três centros cônicos mutuamente perpendiculares e três linhas de simetria em verde definem um octaedro esférico alinhado com os eixos principais da cônica.

Uma cônica esférica ou esferocônica é uma curva na esfera , a interseção da esfera com um cone elíptico concêntrico . É o análogo esférico de uma seção cônica ( elipse , parábola ou hipérbole ) no plano e, como no caso plano, uma cônica esférica pode ser definida como o locus de pontos cuja soma ou diferença de cujas distâncias de grande círculo a dois focos são constantes. Ao levar o ponto antípodal para um foco, cada elipse esférica também é uma hipérbole esférica e vice-versa. Como uma curva de espaço, uma cônica esférica é uma quártica , embora suas projeções ortogonais em três eixos principais sejam cônicas planas. Como as cônicas planas, as cônicas esféricas também satisfazem uma “propriedade de reflexão”: os arcos do grande círculo dos dois focos a qualquer ponto da cônica têm a tangente e a normal à cônica nesse ponto como bissetores do ângulo.

Muitos teoremas sobre cônicas no plano se estendem a cônicas esféricas. Por exemplo, o teorema de Graves e o teorema de Ivory sobre cônicas confocais também podem ser provados na esfera, consulte as seções cônicas confocais sobre as versões planas.

Assim como o comprimento do arco de uma elipse é dado por uma integral elíptica incompleta do segundo tipo, o comprimento do arco de uma cônica esférica é dado por uma integral elíptica incompleta do terceiro tipo.

Um sistema de coordenadas ortogonais no espaço euclidiano baseado em esferas concêntricas e cones quadráticos é chamado de sistema de coordenadas cônico ou esferocônico. Quando restrito à superfície de uma esfera, as coordenadas restantes são cônicas esféricas confocais. Às vezes, isso é chamado de sistema de coordenadas elípticas na esfera, por analogia a um sistema de coordenadas elípticas planas . Essas coordenadas podem ser usadas no cálculo de mapas conformes da esfera ao plano.

A solução do problema de Kepler em um espaço de curvatura positiva uniforme é uma cônica esférica, com potencial proporcional à cotangente da distância geodésica.

Por preservar as distâncias de um par de pontos especificados, a projeção equidistante de dois pontos mapeia a família de cônicas confocais na esfera em duas famílias de elipses e hipérboles confocais no plano.

Se uma parte da Terra é modelada como esférica, por exemplo, usando a esfera osculante em um ponto em um elipsóide de revolução, as hipérboles usadas na navegação hiperbólica (que determina a posição com base na diferença no tempo do sinal recebido de transmissores de rádio fixos) são esféricas cônicas.

Notas

Referências