Spherinder - Spherinder

Na geometria quadridimensional , o esférico , ou cilindro esférico ou prisma esférico , é um objeto geométrico, definido como o produto cartesiano de uma esfera tridimensional (ou esfera sólida ), raio r ₁ e um segmento de linha de comprimento 2 r ₂ :

${\ displaystyle D = \ {(x, y, z, w) | x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ leq r_ {1} ^ {2}, \ w ^ {2 } \ leq r_ {2} ^ {2} \}}$

Como o duocilindro , também é análogo a um cilindro no espaço 3, que é o produto cartesiano de um disco com um segmento de linha .

Pode ser visto no espaço tridimensional por projeção estereográfica como duas esferas concêntricas, de forma semelhante que um tesserato (prisma cúbico) pode ser projetado como dois cubos concêntricos, e como um cilindro circular pode ser projetado em um espaço bidimensional como dois círculos concêntricos.

Relação com outras formas

No espaço 3, um cilindro pode ser considerado intermediário entre um cubo e uma esfera . No espaço 4, existem três formas intermediárias entre o tesserato e a hiperesfera . Ao todo, eles são:

• tesserato (1- bola × 1 bola × 1 bola × 1 bola), cuja hipersuperfície é de oito cubos conectados em 24 quadrados
• cubinder (2 bolas × 1 bola × 1 bola)
• spherinder (3-ball × 1-ball), cuja hipersuperfície é duas 3-balls e uma célula em forma de tubo conectada nas respectivas esferas delimitadoras das 3-balls
• duocilindro (2 bolas x 2 bolas)
• glome (4- ball ), cuja hipersuperfície é uma 3-esfera sem quaisquer limites de conexão.

Essas construções correspondem às cinco partições de 4, o número de dimensões.

Se as duas extremidades de um spherinder estão conectadas, ou de forma equivalente, se uma esfera é arrastada em torno de um círculo perpendicular ao seu espaço 3, ela traça um spheritorus . Se as duas extremidades de um spherinder destampado são roladas para dentro, a forma resultante é um torisfério .

Sistema de coordenadas esféricas

Pode-se definir um sistema de coordenadas "esférico" ( r , θ , φ , w ) onde x , y e z são iguais às coordenadas esféricas com uma coordenada extra w . Isto é análogo ao modo como coordenadas cilíndricas são definidos: x e y sendo coordenadas polares , com uma elevação de coordenadas z . As coordenadas esféricas podem ser convertidas em coordenadas cartesianas usando as fórmulas

onde r é o raio, θ é o ângulo zenital, φ é o ângulo azimutal e w é a altura. As coordenadas cartesianas podem ser convertidas em coordenadas esféricas usando as fórmulasO elemento hipervolume para coordenadas esféricas é que pode ser derivado computando o Jacobiano . ${\ displaystyle \ mathrm {d} H = r ^ {2} \ sin {\ theta} \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} w,}$

Medidas

Hipervolume

Dado um spherinder com uma base esférica de raio r e uma altura h , a hipervolume do spherinder é dada pela

$${\ displaystyle H = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} h}$$

Volume de superfície

O volume da superfície de um esférico, como a área da superfície de um cilindro, é composto de três partes:

• o volume da base superior: ${\ textstyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$
• o volume da base inferior: ${\ textstyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$
• o volume da superfície 3D lateral:, que é a área da superfície da base esférica vezes a altura${\ textstyle 4 \ pi r ^ {2} h}$

Portanto, o volume total da superfície é

$${\ displaystyle SV = {\ frac {8} {3}} \ pi r ^ {3} +4 \ pi r ^ {2} h}$$

Prova

As fórmulas acima para hipervolume e volume de superfície podem ser comprovadas usando integração. O hipervolume de uma região 4D arbitrária é dado pela integral quádrupla

$${\ displaystyle H = \ iiiint \ limits _ {D} \ mathrm {d} H}$$

O hipervolume do esférico pode ser integrado em coordenadas esféricas.

$${\ displaystyle H _ {\ mathrm {spherinder}} = \ iiiint \ limits _ {D} \ mathrm {d} H = \ int _ {0} ^ {h} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {0} ^ {R} r ^ {2} \ sin {\ theta} \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} w = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3} h}$$

4-politopos relacionados

O prisma icosidodecaédrico truncado relacionado é construído a partir de dois icosidodecaedros truncados conectados por prismas , mostrados aqui em projeção estereográfica com alguns prismas ocultos.

O esférico está relacionado à policora prismática uniforme , que é o produto cartesiano de um poliedro regular ou semiregular e um segmento de linha . Há dezoito prismas uniformes convexos com base no platônica e sólidos de Arquimedes ( prisma tetraédrica , truncada tetraédrico prisma , o prisma cúbico , prisma cuboctahedral , prisma octaédrico , prisma rhombicuboctahedral , prisma cúbico truncado , truncada octaédrica prisma , truncada cuboctahedral prisma , Snub prisma cúbico , dodecaédricos prisma , prisma icosidodecahedral , prisma icosahedral , truncada dodecahedral prisma , prisma rhombicosidodecahedral , truncada icosahedral prisma , truncada icosidodecahedral prisma , esnobar prisma dodecahedral ), além de uma família infinita baseado em antiprisma , e outra família infinita de uniformes duoprisms , que são produtos de dois regulares polígonos .

Veja também

• Clifford torus

Referências

• The Fourth Dimension Simply Explained , Henry P. Manning, Munn & Company, 1910, Nova York. Disponível na biblioteca da University of Virginia. Também acessível online: The Fourth Dimension Simply Explained - contém uma descrição de duoprismas e duocilindros (cilindros duplos)
• The Visual Guide To Extra Dimensions: Visualizing The Fourth Dimension, High-Dimensional Polytopes, And Curved Hypersurfaces , Chris McMullen, 2008, ISBN  978-1438298924