Função de suporte - Support function

Em matemática , a função de apoio h _Um de um não-vazia fechada convexa conjunto Um na descreve as distâncias (aa) de apoio hiperplanos de à partir da origem. A função de apoio é uma função convexa sobre . Qualquer não-vazia conjunto convexo fechado Uma é unicamente determinada por H _Uma . Além disso, a função de suporte, como função do conjunto A , é compatível com muitas operações geométricas naturais, como escalonamento, translação, rotação e adição de Minkowski . Devido a essas propriedades, a função de suporte é um dos conceitos básicos mais centrais na geometria convexa. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Definição

A função de suporte de um conjunto convexo fechado não vazio A in é dada por ${\ displaystyle h_ {A} \ dois pontos \ mathbb {R} ^ {n} \ para \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ displaystyle h_ {A} (x) = \ sup \ {x \ cdot a: a \ in A \},}

${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ; Vejo . Sua interpretação é mais intuitiva quando x é um vetor unitário: por definição, A está contido na metade do espaço fechado

{\ displaystyle \ {y \ in \ mathbb {R} ^ {n}: y \ cdot x \ leqslant h_ {A} (x) \}}

e há pelo menos um ponto de A no limite

{\ displaystyle H (x) = \ {y \ in \ mathbb {R} ^ {n}: y \ cdot x = h_ {A} (x) \}}

deste meio espaço. O hiperplana H ( X ) é então chamado de uma hiperplana apoio com exterior (ou exterior ) unidade vetor normal x . A palavra exterior é importante aqui, como a orientação de x desempenha um papel, o conjunto H ( x ) é em geral diferente de H (- x ). Agora h _A é a distância (com sinal) de H ( x ) da origem.

Exemplos

A função de suporte de um singleton A = { a } é . ${\ displaystyle h_ {A} (x) = x \ cdot a}$

A função de suporte da esfera unitária euclidiana B ₁ é . ${\ displaystyle h_ {B_ {1}} (x) = | x |}$

Se A é um segmento de reta que passa pela origem com endpoints - um e um depois . ${\ displaystyle h_ {A} (x) = | x \ cdot a |}$

Propriedades

Em função de x

A função de suporte de um conjunto convexo não-vazio compacto é com valor real e contínua, mas se o conjunto for fechado e ilimitado, sua função de suporte é com valor real estendida (leva o valor ). Como qualquer conjunto convexo fechado não vazio é a interseção de seus meios-espaços de suporte, a função h _A determina A exclusivamente. Isso pode ser usado para descrever certas propriedades geométricas de conjuntos convexos analiticamente. Por exemplo, um conjunto A é um ponto simétrico em relação à origem se e somente se h _A for uma função par . ${\ displaystyle \ infty}$

Em geral, a função de suporte não é diferenciável. No entanto, existem derivadas direcionais e produzem funções de suporte de conjuntos de suporte. Se A é compacto e convexo, eh _A '( u ; x ) denota a derivada direcional de h _A em u ≠ 0 na direção x , temos

{\ displaystyle h_ {A} '(u; x) = h_ {A \ cap H (u)} (x) \ qquad x \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}

Aqui, H ( u ) é o hiperplano de suporte de A com o vetor normal externo u , definido acima. Se A ∩ H ( u ) é um singleton { y }, digamos, segue-se que a função de suporte é diferenciável em u e seu gradiente coincide com y . Inversamente, se h _A é diferenciável em u , então A ∩ H ( u ) é um singleton. Portanto, h _A é diferenciável em todos os pontos u ≠ 0 se e somente se A for estritamente convexo (a fronteira de A não contém nenhum segmento de reta).

Resulta diretamente de sua definição que a função de suporte é homogênea positiva:

{\ displaystyle h_ {A} (\ alpha x) = \ alpha h_ {A} (x), \ qquad \ alpha \ geq 0, x \ in \ mathbb {R} ^ {n},}

e subaditivo:

{\ displaystyle h_ {A} (x + y) \ leq h_ {A} (x) + h_ {A} (y), \ qquad x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}

Conclui-se que h _A é uma função convexa . É crucial na geometria convexa que essas propriedades caracterizem funções de suporte: Qualquer função positiva homogênea, convexa e com valor real ativada é a função de suporte de um conjunto convexo compacto não vazio. Várias provas são conhecidas, uma delas está usando o fato de que a transformada de Legendre de uma função positiva homogênea, convexa e de valor real é a função indicadora (convexa) de um conjunto convexo compacto. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Muitos autores restringem a função de suporte à esfera unitária euclidiana e a consideram uma função em S ^{n -1} . A propriedade de homogeneidade mostra que esta restrição determina a função de suporte ativada , conforme definido acima. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Em função de A

As funções de suporte de um conjunto dilatado ou traduzido estão intimamente relacionadas ao conjunto original A :

{\ displaystyle h _ {\ alpha A} (x) = \ alpha h_ {A} (x), \ qquad \ alpha \ geq 0, x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

e

{\ displaystyle h_ {A + b} (x) = h_ {A} (x) + x \ cdot b, \ qquad x, b \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}

Este último generaliza para

{\ displaystyle h_ {A + B} (x) = h_ {A} (x) + h_ {B} (x), \ qquad x \ in \ mathbb {R} ^ {n},}

onde A + B denota a soma de Minkowski :

{\ displaystyle A + B: = \ {\, a + b \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid a \ in A, \ b \ in B \, \}.}

A distância de Hausdorff d _H ( A , B ) de dois conjuntos convexos compactos não vazios A e B pode ser expressa em termos de funções de suporte,

{\ displaystyle d _ {\ mathrm {H}} (A, B) = \ | h_ {A} -h_ {B} \ | _ {\ infty}}

onde, do lado direito, a norma uniforme na esfera unitária é usada.

As propriedades da função de suporte em função do conjunto A são às vezes resumidas em dizer que : A h _A mapeia a família de conjuntos convexos compactos não vazios para o cone de todas as funções contínuas de valor real na esfera cuja extensão homogênea positiva é convexo. Abusando ligeiramente da terminologia, às vezes é chamado de linear , pois respeita a adição de Minkowski, embora não seja definida em um espaço linear, mas sim em um cone convexo (abstrato) de conjuntos convexos compactos não vazios. O mapeamento é uma isometria entre este cone, dotado da métrica de Hausdorff, e um subconone da família de funções contínuas em S ⁿ^-1 com a norma uniforme. ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle \ mapsto}$ ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle \ tau}$

Variantes

Em contraste com o acima, as funções de suporte às vezes são definidas no limite de A ao invés de S ^{n -1} , sob a suposição de que existe uma única unidade exterior normal em cada ponto limite. A convexidade não é necessária para a definição. Para uma superfície regular orientada , M , com um vetor normal unitário , N , definido em toda a sua superfície, a função de suporte é então definida por

{\ displaystyle {x} \ mapsto {x} \ cdot N ({x})}

.

Em outras palavras, para qualquer , esta função de suporte fornece a distância sinalizada do hiperplano único que toca M em x . ${\ displaystyle {x} \ em M}$

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