Tese de Tate - Tate's thesis

Na teoria dos números , a tese de Tate é a tese de doutorado de John Tate em 1950  ( 1950 ), concluída sob a supervisão de Emil Artin na Universidade de Princeton . Nele, Tate usou uma integração invariante de translação no grupo localmente compacto de ideles para levantar a função zeta torcida por um caractere de Hecke , ou seja, uma função L de Hecke , de um campo numérico para uma integral zeta e estudar suas propriedades. Usando a análise harmônica , mais precisamente a fórmula da soma de Poisson , ele provou a equação funcional e a continuação meromórfica da integral zeta e da função L de Hecke. Ele também localizou os pólos da função zeta torcida. Seu trabalho pode ser visto como uma reformulação elegante e poderosa de um trabalho de Erich Hecke na prova da equação funcional da função L de Hecke. Erich Hecke usou uma série teta generalizada associada a um campo de número algébrico e uma rede em seu anel de inteiros.

Teoria Iwasawa-Tate

Kenkichi Iwasawa descobriu independentemente essencialmente o mesmo método (sem um análogo da teoria local na tese de Tate) durante a Segunda Guerra Mundial e o anunciou em seu artigo de 1950 no Congresso Internacional de Matemáticos e em sua carta a Jean Dieudonné escrita em 1952. Portanto, esta teoria é frequentemente chamada de teoria Iwasawa-Tate . Iwasawa, em sua carta a Dieudonné, derivou em várias páginas não apenas a continuação meromórfica e a equação funcional da função L, ele também provou a finitude do número da classe e o teorema de Dirichlet sobre as unidades como subprodutos imediatos da computação principal. A teoria da característica positiva foi desenvolvida uma década antes por Ernst Witt , Wilfried Schmid e Oswald Teichmüller .

A teoria de Iwasawa-Tate usa várias estruturas que vêm da teoria de campo de classe , no entanto, não usa nenhum resultado profundo da teoria de campo de classe.

Generalizações

A teoria de Iwasawa-Tate foi estendida ao grupo linear geral GL (n) sobre um campo de número algébrico e representações automórficas de seu grupo adélico por Roger Godement e Hervé Jacquet em 1972, que formaram as bases da correspondência de Langlands . A tese de Tate pode ser vista como o caso GL (1) da obra de Godement-Jacquet.

Veja também

Referências

  • Godement, Roger; Jacquet, Hervé (1972), Zeta functions of simple algebras , Lect. Notes Math., 260 , Springer
  • Goldfeld, Dorian; Hundley, Joseph (2011), Representações automórficas de funções L para o grupo linear geral , Cambridge University Press
  • Iwasawa, Kenkichi (1952), "Uma nota sobre funções" , Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge, Mass., 1950 , 1 , Providence, RI: American Mathematical Society , p. 322, MR  0044534 , arquivado do original em 03/10/2011
  • Iwasawa, Kenkichi (1992) [1952], "Letter to J. Dieudonné", em Kurokawa, Nobushige; Sunada., T. (eds.), Zeta functions in geometry (Tóquio, 1990) , Adv. Viga. Pure Math., 21 , Tokyo: Kinokuniya, pp. 445-450, ISBN 978-4-314-10078-6, MR  1210798
  • Kudla, Stephen S. (2003), "tese de Tate", em Bernstein, Joseph ; Gelbart, Stephen (eds.), Uma introdução ao programa Langlands (Jerusalém, 2001) , Boston, MA: Birkhäuser Boston, pp. 109–131, ISBN 978-0-8176-3211-3, MR  1990377
  • Ramakrishnan, Dinakar; Valenza, Robert J. (1999). Análise de Fourier em campos numéricos . Textos de Pós-Graduação em Matemática. 186 . Nova York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4757-3085-2 . ISBN 0-387-98436-4. MR  1680912 .
  • Tate, John T. (1950), "Fourier analysis in number fields, and Hecke's zeta-functions", Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) , Thompson, Washington, DC, pp. 305-347, ISBN 978-0-9502734-2-6, MR  0217026