Termorefletância no domínio do tempo - Time-domain thermoreflectance

Termoreflectância no domínio do tempo é um método pelo qual as propriedades térmicas de um material podem ser medidas, mais importante ainda a condutividade térmica . Este método pode ser aplicado principalmente a materiais de filme fino (até centenas de nanômetros de espessura), que têm propriedades que variam muito quando comparados aos mesmos materiais a granel. A ideia por trás dessa técnica é que, uma vez que um material é aquecido, a mudança na refletância da superfície pode ser utilizada para derivar as propriedades térmicas. A refletividade é medida em relação ao tempo e os dados recebidos podem ser combinados a um modelo com coeficientes que correspondem às propriedades térmicas.

Configuração de experimento

A técnica desse método é baseada no monitoramento de ondas acústicas que são geradas com um laser pulsado . O aquecimento localizado de um material criará um aumento localizado da temperatura, o que induz estresse térmico . Esse estresse acumulado em uma região localizada causa um pulso de deformação acústica. Em uma interface, o pulso será submetido a um estado de transmitância / refletância e as características da interface podem ser monitoradas com as ondas refletidas. Um laser de sonda detectará os efeitos das ondas acústicas refletivas ao detectar o efeito piezo-óptico .

A quantidade de tensão está relacionada ao pulso de laser óptico da seguinte maneira. Pegue o aumento localizado da temperatura devido ao laser,

${\ displaystyle \ Delta T (z) = (1-R) ​​{\ frac {Q} {C (\ zeta A)}} \ exp (-z / \ zeta),}$

onde R é a refletividade da amostra, Q é a energia do pulso óptico, C é o calor específico (por unidade de volume), A é a área do ponto óptico, ζ é o comprimento de absorção óptica e z é a distância dentro da amostra (Ref A ) Esse aumento de temperatura resulta em uma deformação que pode ser estimada multiplicando-a pelo coeficiente linear de expansão térmica do filme. Normalmente, um valor de magnitude típico do pulso acústico será pequeno e, para propagação longa, os efeitos não lineares podem se tornar importantes. Mas a propagação de tais pulsos de curta duração sofrerá atenuação acústica se a temperatura não for muito baixa (Ref B). Dessa forma, esse método é mais eficiente com a utilização de ondas acústicas de superfície, e estudos de investigação desse método para estruturas laterais estão sendo realizados.

Para sentir o efeito piezo-óptico das ondas refletidas, é necessário um monitoramento rápido devido ao tempo de viagem da onda acústica e ao fluxo de calor . As ondas acústicas viajam alguns nanômetros em um picossegundo, onde o calor flui cerca de cem nanômetros em um segundo. Assim, lasers como o laser de safira de titânio (Ti: Al2O3), com largura de pulso de ~ 200 fs, são usados ​​para monitorar as características da interface. Outros tipos de lasers incluem Yb: fibra, Yb: tungstato, Er: fibra, Nd: vidro. A geração de segundo harmônico pode ser utilizada para atingir frequência dupla ou superior.

A saída do laser é dividida em feixes de bomba e sonda por uma placa de meia onda seguida por um divisor de feixe de polarização que leva a uma bomba e sonda de polarização cruzada. O feixe da bomba é modulado na ordem de alguns megahertz por um modulador acústico-óptico ou eletro-óptico e focado na amostra com uma lente. A sonda é direcionada para uma linha de atraso óptico . O feixe de sonda é então focado com uma lente no mesmo ponto da amostra que a sonda. A bomba e a sonda têm um tamanho de ponto da ordem de 10–50 μm. A luz de sonda refletida é inserida em um fotodetector de alta largura de banda. A saída é alimentada em um amplificador lock-in cujo sinal de referência tem a mesma frequência usada para modular a bomba. A saída de tensão do lock-in será proporcional a ΔR. A gravação deste sinal conforme a linha de atraso ótico é alterada fornece uma medição de ΔR como uma função do atraso de tempo de pulso de sonda ótica.

Materiais de modelagem

A temperatura da superfície de uma única camada

A solução no domínio da frequência para um sólido semi-infinito que é aquecido por uma fonte pontual com frequência angular pode ser expressa pela seguinte equação. ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle g (r) = {\ frac {exp (-qr)} {(2 \ pi \ Lambda r)}}}$onde (1) ${\ displaystyle q ^ {2} = (iw / d)}$

(Λ: condutividade térmica do sólido, D: difusividade térmica do sólido, r: coordenada radial)

Em um experimento de termorefletância no domínio do tempo típico, os feixes de laser co-alinhados têm simetria cilíndrica, portanto, a Transformada de Hankel pode ser usada para simplificar o cálculo da convolução da equação (1) com as distribuições das intensidades do laser.

(A transformada de Hankel é uma transformada integral equivalente a uma transformada de Fourier bidimensional com um núcleo integral radialmente simétrico)

Aqui g (r) é radialmente simétrico e pela definição da transformada de Hankel usando a Eq. (1),

${\ displaystyle G (k) = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ infty} g (r) J_ {0} (2 \ pi kr) r \, dr = {\ frac {1} {\ Lambda (4 \ pi ^ {2} k ^ {2} + q ^ {2}) ^ {1/2}}}}$ (2)

Como os feixes da bomba e da sonda usados ​​aqui têm distribuição gaussiana , o raio da bomba e do feixe da sonda são e, respectivamente. A superfície é aquecida pelo feixe de laser da bomba com a intensidade , ou seja, ${\ displaystyle 1 / e ^ {2}}$${\ displaystyle w_ {0}}$${\ displaystyle w_ {1}}$${\ displaystyle p (r)}$

${\ displaystyle p (r) = {\ frac {2A} {\ pi w_ {0} ^ {2}}} exp (-2r ^ {2} / w_ {0} ^ {2})}$ (3)

onde é a amplitude do calor absorvido pela amostra na frequência . Então a transformada de Hankel é ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle p (r)}$

${\ displaystyle P (k) = Aexp (- \ pi ^ {2} k ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2} / 2)}$. (4)

Então, as distribuições das oscilações de temperatura na superfície são as transformadas de Hankel inversas do produto e , ou seja, ${\ displaystyle \ theta (r)}$${\ displaystyle G (k)}$${\ displaystyle P (k)}$

${\ displaystyle \ theta (r) = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ infty} P (k) G (k) J_ {0} (2 \ pi kr) kdk}$ (5)

As temperaturas da superfície são medidas devido à mudança na refletividade com a temperatura , ou seja , enquanto essa mudança é medida pelas mudanças na intensidade refletida de um feixe de laser de sonda. O feixe de laser da sonda mede uma média ponderada da temperatura , ou seja, ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle dR / dT}$${\ displaystyle \ theta (r)}$

${\ displaystyle \ Delta T = {\ frac {4} {w_ {1} ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ theta (r) exp \ left (- {\ frac {2r ^ {2}} {w_ {1} ^ {2}}} \ direita)}$ (6a)

Esta última integral (6a) pode ser simplificada para uma integral sobre : ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle \ Delta T = 2 \ pi A \ int _ {0} ^ {\ infty} G (k) exp (- \ pi ^ {2} k ^ {2} (\ omega _ {0} ^ {2 } + \ omega _ {1} ^ {2}) / 2) kdk}$ (6b)

A temperatura da superfície de uma estrutura em camadas

Da mesma forma, a solução no domínio da frequência para a temperatura da superfície de uma estrutura em camadas pode ser adquirida. Em vez da Eq. (2), Eq. (7) será usado para uma estrutura em camadas.

${\ displaystyle G (k) = ({\ frac {B_ {1} ^ {+} + B_ {1} ^ {-}} {B_ {1} ^ {-} - B_ {1} ^ {+}} }) {\ frac {1} {\ gamma _ {1}}}}$ (7)

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} B ^ {+} \\ B ^ {-} \ end {array}} \ right) _ {n} = {\ frac {1} {2 \ gamma _ {n}}} \ left ({\ begin {array} {cc} exp (-u_ {n} L_ {n}) & 0 \\ 0 & exp (u_ {n} L_ {n}) \ end {array} } \ right) \ left ({\ begin {array} {cc} \ gamma _ {n} + \ gamma _ {n + 1} & \ gamma _ {n} - \ gamma _ {n + 1} \\\ gamma _ {n} - \ gamma _ {n + 1} & \ gamma _ {n} + \ gamma _ {n + 1} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c } B ^ {+} \\ B ^ {-} \ end {array}} \ right) _ {n + 1}}$

${\ displaystyle u_ {n} = (4 \ pi ^ {2} k ^ {2} + q_ {n} ^ {2}) ^ {1/2}, q_ {n} ^ {2} = {\ frac {iw} {D_ {n}}}, \ gamma _ {n} = \ Lambda _ {n} u_ {n}}$

(Λn: condutividade térmica da enésima camada, Dn: difusividade térmica da enésima camada, Ln: espessura da enésima camada) Usando as Eqs. (6) e (7), podemos calcular as mudanças de temperatura de uma estrutura em camadas.

Modelagem de dados adquiridos em termoreflectância no domínio do tempo

Os dados adquiridos a partir de experimentos de termorefletância no domínio do tempo devem ser comparados com o modelo.

${\ displaystyle Re [\ Delta RM (t)] = {\ frac {dR} {dT}} \ sum _ {m = -M} ^ {M} (\ Delta T (m / \ tau + f) + \ Delta T (m / \ tau -f)) exp (i2 \ pi mt / \ tau)}$ (8)

${\ displaystyle Im [\ Delta RM (t)] = - i {\ frac {dR} {dT}} \ sum _ {m = -M} ^ {M} (\ Delta T (m / \ tau + f) - \ Delta T (m / \ tau -f)) exp (i2 \ pi mt / \ tau)}$ (9)

${\ displaystyle {\ frac {V_ {f} (t)} {V_ {0}}} = {\ frac {Q} {\ sqrt {2}}} {\ frac {\ Delta R (t)} {R }}}$ (10)

(Q: fator de qualidade do circuito ressonante) Este Vf / V0 calculado seria comparado com o medido.

Aplicativo

Por meio desse processo de termorefletância no domínio do tempo, as propriedades térmicas de muitos materiais podem ser obtidas. As configurações de teste comuns incluem ter vários blocos de metal conectados entre si em um múltiplo de difusão, onde uma vez submetidos a altas temperaturas, vários compostos podem ser criados como resultado da difusão de dois blocos de metal adjacentes. Um exemplo seria um múltiplo de difusão Ni-Cr-Pd-Pt-Rh-Ru que teria zonas de difusão de Ni-Cr, Ni-Pd, Ni-Pt e assim por diante. Desta forma, muitos materiais diferentes podem ser testados ao mesmo tempo. A condutividade térmica mais baixa para uma película fina de material sólido totalmente denso (ou seja, não poroso) também foi relatada recentemente com medições usando este método.

Uma vez que esta amostra de teste é obtida, medições de termorefletância no domínio do tempo podem ser realizadas, com pulsos de laser de duração muito curta para os lasers da bomba e da sonda (<1 ps). O sinal termorrefletido é então medido por um fotodiodo que é conectado a um amplificador de RF lock-in. Os sinais que saem do amplificador consistem em um componente em fase e fora de fase, e a proporção destes permite que os dados de condutividade térmica sejam medidos por um tempo de retardo específico.

Os dados recebidos deste processo podem então ser comparados a um modelo térmico e a condutividade térmica e a condutância térmica podem então ser derivadas. Verifica-se que esses dois parâmetros podem ser derivados independentemente com base nos tempos de atraso, com tempos de atraso curtos (0,1 - 0,5 ns) resultando na condutividade térmica e tempos de atraso mais longos (> 2ns) resultando na condutância térmica.

Há muito espaço para erros envolvidos devido a erros de fase no amplificador de RF, além do ruído dos lasers. Normalmente, no entanto, a precisão pode estar dentro de 8%.

Referências