mapa trilha do trem - Train track map

Na disciplina matemática da teoria geométrica de grupos , um mapa da pista de trem é um mapa contínuo f a partir de um ligado finito gráfico para si que é uma equivalência de homotopia e que tem propriedades de cancelamento particularmente agradáveis com relação a iterações. O mapa envia vértices para vértices e que as extremidades da ponta-caminhos não triviais com a propriedade de que para cada borda e do gráfico e para cada número inteiro positivo n o caminho f n ( e ) está imerso , que é f n ( e ) é localmente injetivo em e . Mapas trem-track são uma ferramenta-chave na análise da dinâmica de automorfismos de finitamente gerados grupos livres e no estudo da Culler - Vogtmann espaço exterior .

História

Mapas trem trilha para automorphisms grupo livres foram introduzidos em um artigo de 1992 Bestvina e Handel. A noção foi motivada por de Thurston trilhos de trem em superfícies, mas o caso grupo livre é substancialmente diferente e mais complicado. Em seu artigo 1992 Bestvina e Handel provou que cada automorphism irredutível de F n tem um representante trem-track. No mesmo artigo se introduziu o conceito de um trilho de trem relativa e aplicados métodos trilho de trem de resolver a conjectura de Scott , que diz que, para cada automorfismos α de uma quantidade finita gerado grupo livre F n o subgrupo fixa de α é livre de classificação , no máximo, n . Num documento subsequente Bestvina e Handel aplicadas as técnicas de via ferroviária para obter uma prova eficaz de classificação de Thurston Homeomorfismos de superfícies compactas (com ou sem bordo), que diz que cada tal homeomorphism é, até isotopia , seja redutível, de ordem finita ou pseudo-Anosov .

Desde então trilhos do trem tornou-se uma ferramenta padrão no estudo da algébrica, propriedades geométricas e dinâmicas de automorfismos de grupos livres e dos subgrupos de Fora ( F n ). Trem faixas são particularmente úteis uma vez que eles permitem compreender o crescimento a longo-termo (em termos de comprimento) e comportamento de cancelamento para grandes itera de um automorphism de F n aplicada a uma determinada classe de conjugação em F n . Esta informação é especialmente útil quando se estuda a dinâmica da acção de elementos de Fora ( F n ) no espaço Culler-Vogtmann exterior e seu limite e quando se estuda F n ações de em árvores reais . Exemplos de aplicações de trilhos do trem incluem: um teorema de Brinkmann provando que, para uma automorphism α de F n o grupo de mapeamento de toro α é palavra-hiperbólica se e somente se α não tem classes de conjugação periódicas; um teorema de Bridson e Groves que para cada automorfismos α de F n o grupo de mapeamento de toro ct satisfaz uma quadrática desigualdade isoperimétrica ; um comprovativo de solvibilidade algorítmica do problema da conjugação para grupos livres-de-cíclico; e outros.

Trilhos de trem foram uma ferramenta-chave na prova por Bestvina, Feighn e Handel que o grupo Out ( F n ) satisfaz a alternativa Tits .

A maquinaria de trilhos de trem para injetivas endomorfismos de grupos livres mais tarde foi desenvolvido por Dicks e Ventura.

Definição formal

mapa combinatória

Para um gráfico finito Γ (que é considerado aqui como um 1-dimensional complexo celular ) um mapa combinatória é um mapa contínua

f  :  y-  →  y-

de tal modo que:

  • O mapa f leva vértices para vértices.
  • Para cada borda e de Γ sua imagem f ( e ) é um não trivial borda-caminho e 1 ... e m em Γ onde m  ≥ 1. Por outro lado, e pode ser subdividida em m intervalos de tal modo que o interior do i -ésimo intervalo é mapeado por f homeomorphically para o interior da borda e i para i  = 1, ..., m .

mapa da pista de trem

Deixe Γ ser um gráfico conectado finito. Um mapa combinatória f  :  Γ  →  Γ é chamado um mapa faixa trem se para cada borda e de Γ e cada número inteiro n  ≥ 1 a borda caminho- f n ( e ) não contém Backtracks, isto é, não contém subcaminhos do formulário hh -1 onde h é uma aresta de Γ . Em outras palavras, a restrição de f n a e é localmente injetivo (ou uma imersão) para cada borda e e cada n  ≥ 1.

Quando aplicado ao caso n  = 1, esta definição indica, em particular, que o caminho f ( e ) não tem Backtracks.

representante topológica

Vamos F k ser um grupo livre de finita posto k  ≥ 2. fixar uma base livre Um de F k e uma identificação de F k com o grupo fundamental do rosa R k , que é uma cunha de k círculos correspondentes aos elementos da base de Um .

Deixe & Phi;  ∈ para fora ( F k ) ser uma automorphism exterior de F k .

Um representante topológica de φ é uma tripla ( τ , Γ , f ) onde:

  • Γ é um gráfico conectado finito com o primeiro número betti k (de modo que o grupo fundamental de Γ é livre de posto k ).
  • τ  :  R k  →  y é uma equivalência homotopy (que, neste caso, significa que τ é um mapa contínua que induz um isomorfismo ao nível dos grupos fundamentais).
  • f  :  y-  →  y- é um mapa combinatória que é também uma equivalência de homotopia.
  • Se σ  :  y  →  R k é um inversa homotopy de τ então a composição
σfτ  :  R k  →  R k
induz uma automorphism de F k  =  π 1 ( R k ) cuja classe automorphism exterior é igual a & Phi .

O mapa τ na definição acima é chamado uma marcação e é tipicamente suprimida quando representantes topológicos são discutidos. Assim, por abuso de notação, um muitas vezes diz que, na situação acima f  :  y-  →  y- é um representante topológica de φ .

representante trilho de trem

Deixe & Phi;  ∈ para fora ( F k ) ser uma automorphism exterior de F k . Um mapa da pista de trem que é um representante topológica de φ é chamado um representante trilha do trem de φ .

voltas legais e ilegais

Vamos f  :  y-  →  y- ser um mapa combinatória. Uma vez é um par não ordenada e , h de bordos orientados de Γ (não necessariamente distintos) que têm um vértice inicial comum. Uma volta de e , h é degenerada se e  =  H e não degenerada em contrário.

Uma volta de e , h é ilegal , se por algum n  ≥ 1 a caminhos f n ( e ) e f n ( h ) tem um segmento inicial comum não trivial (isto é, eles começam com a mesma borda). A sua vez, é legal se não ilegal .

Uma aresta-caminho e 1 , ..., e m é dito para conter espiras de e i -1 , e i 1 para i  = 1, ..., m -1.

Um mapa combinatória f  :  Γ  →  Γ é um mapa de trem-track se e somente se para cada aresta e de Γ o caminho f ( e ) não contém voltas ilegais.

mapa derivado

Vamos f  :  Γ  →  Γ ser um mapa combinatória e deixe E ser o conjunto de arestas orientadas de Γ . Em seguida, f determina o seu mapa derivado Df  :  E  →  E onde para cada borda e Df ( e ) é a aresta inicial da trajectória f ( e ). O mapa Df naturalmente se estende até o mapa Df  :  T  →  T , onde T é o conjunto de todas as voltas em Γ . Por sua vez, um t dado por uma aresta de par de e , h , a sua imagem Df ( t ) é a vez Df ( e ), Df ( h ). Uma vez t é legal se e somente se para cada n  ≥ 1 a virada ( Df ) n ( t ) é degenerada. Desde conjunto do T de voltas é finito, este facto permite que se determine algorithmically se um dado sua vez é legal ou não e, portanto, através de algoritmos decidir, dada f , ou não f é um mapa de trem-track.

Exemplos

Deixe φ ser o automorphism de F ( um , b ) dada por φ ( um ) =  b , φ ( b ) =  ab . Deixe Γ ser a cunha de dois bordos de ansa E um e E b correspondente à elementos da base livre de um e b , encravado no vértice v . Vamos f  :  y-  →  y- ser o mapa que corrige v e envia a borda E um de E b e que envia a borda E b à beira-path E a E b . Então f é um representante trilha do trem de φ .

principal resultado para automorphisms irredutíveis

automorphisms irredutíveis

Um automorphism exterior φ de F k é dito ser redutível se existe uma decomposição do produto livre

onde todos H I são não-trivial, onde m  ≥ 1 e onde φ permuta as classes de conjugação de H 1 , ..., H m em F k . Um automorphism exterior φ de F k é dito ser irredutível se não é redutível.

Sabe-se que φ  ∈ Out ( F k ) ser irredutível se e somente se para cada representante topológica f  :  Γ  →  Γ de φ , onde Γ é finito, ligado e sem graus-um vértices, qualquer adequada f subgráfico -invariant de Γ é uma floresta.

Bestvina-Handel teorema para automorphisms irredutíveis

O seguinte resultado foi obtido por Bestvina e Handel em seu artigo 1992, onde mapas trilha do trem foram originalmente introduzidas:

Deixe- & Phi;  ∈ Out ( F k ) ser irredutível. Então existe um representante trilha do trem de φ .

Esboço da prova

Para um representante topológica f : Γ → Γ de um automorphism φ de F k a matriz de transição M ( f ) é um r x r matriz (onde r é o número de arestas topológicas de Γ ) onde a entrada m ij é o número de vezes o caminho f ( e j ) passa através da ponta e de i (em qualquer direcção). Se φ é irredutível, a matriz de transição M ( f ) é irredutível no sentido do teorema Perron-Frobenius e tem uma única Perron-Frobenius valor próprio λ ( f ) ≥ 1, que é igual ao raio espectral de H ( f ) .

Uma define então um número de diferentes movimentos em representantes topológicas de φ que são vistos para diminuir ou preservar a Perron-Frobenius eignevalue da matriz de transição. Estes movimentos são: subdividindo uma aresta; valência e um homotopy (livrar-se de um grau de um vértice); valência de dois homotopy (se livrar de um vértice grau de dois); desmoronar uma floresta invariante; e dobrar. Destes movimentos a valência e um homotopy sempre reduziu o valor próprio Perron-Frobenius.

Começando com algum representante topológica f de um automorphism irredutível φ um, então algorithmically constrói uma sequência de representantes topológicas

f  =  f 1 , f 2 , f 3 , ...

de φ onde f n é obtido a partir de f n -1 por vários movimentos, especificamente escolhidas. Nesta sequência, se f n não é um mapa da pista de comboios, então os movimentos de produção de f n 1 a partir de f n envolve necessariamente uma sequência de dobras seguidas por uma valência-ona homotopy, de modo que o Perron-Frobenius eignevalue de f n + 1 é estritamente menor do que a de F n . O processo é disposta de tal maneira que eignevalues Perron-Frobenius dos mapas f n tomar valores num substet discreta de . Isso garante que o processo termina em um número finito de passos e o último termo f N da seqüência é um representante trilha do trem de φ .

Aplicações para o crescimento

Uma consequência (exigindo argumentos adicionais) do teorema acima é o seguinte:

  • Se φ  ∈ Out ( F k ) é irredutível em seguida, o Perron-Frobenius autovalor λ ( f ) não dependem da escolha de um representante do trilho de trem f de φ , mas é determinado unicamente por φ em si e é denotado por λ ( φ ). O número λ ( φ ) é chamado a taxa de crescimento de φ .
  • Se φ  ∈ para fora ( F k ) é irredutível e de ordem infinita então λ ( φ )> 1. Além disso, neste caso, para cada base livre X de F k e para cada w  ∈  F k existe C  ≥ 1 de tal modo que para todos n  ≥ 1
onde || u || X é o comprimento reduzido ciclicamente de um elemento U de F k com respeito a X .

Ao contrário dos elementos de grupos de classes de mapeamento , para uma irredutível & Phi;  ∈ para fora ( F k ) é muitas vezes o caso de que

λ ( φ ) ≠  λ ( φ -1 ).

Relativos trilhos de trem

Aplicações e generalizações

  • A primeira grande aplicação de faixas de trem foi dada no artigo original de 1992 Bestvina e Handel onde trilhos foram introduzidos. O papel deu uma prova da conjectura Scott que diz que, para cada automorphism α de uma quantidade finita gerado grupo livre F n o subgrupo fixa de α é livre de posto no máximo n .
  • Num documento subsequente Bestvina e Handel aplicadas as técnicas de via ferroviária para obter uma prova eficaz de classificação de Thurston Homeomorfismos de superfícies compactas (com ou sem bordo), que diz que cada tal homeomorphism é, até isotopia , ou é redutível, de ordem finita ou pseudo-Anosov .
  • Trilhos de trem são a principal ferramenta no algoritmo de Los' para decidir se deve ou não dois elementos irredutíveis de Fora ( F n ) são conjugado em Out ( F n ).
  • Um teorema de Brinkmann provando que, para uma automorphism α de F n o grupo toro mapeamento de α é palavra-hiperbólica se e somente se α não tem classes de conjugação periódicas.
  • Um teorema de Levitt e Lustig mostrando que um automorphism totalmente irredutível de um F n tem uma dinâmica "Norte-Sul" quando actua na Thurston tipo compactification do espaço Culler-Vogtmann exterior .
  • Um teorema de Bridson e Groves que para cada automorphism α de F n o grupo toro mapeamento de α satisfaz uma quadrática desigualdade isoperimétrica .
  • A prova por Bestvina, Feighn e Handel que o grupo para fora ( F n ) satisfaz a alternativa Seios .
  • Um algoritmo que, dada uma automorphism α de F n , decide se deve ou não do subgrupo fixa de α é trivial e encontra um conjunto finito de geração para esse subgrupo fixo.
  • A prova de solvabilidade algorítmica do problema da conjugação para grupos livres-de-cíclico por Bogopolski, Martino, Maslakova, e Ventura.
  • A maquinaria de trilhos de trem para injetivas endomorfismos de grupos livres , generalizando o caso de automorfismos, foi desenvolvido em um livro de Dicks e Ventura 1996.

Veja também

referências básicas

  • Bestvina, Mladen; Handel, Michael (1992). "Faixas de trem e automorfismos de grupos livres". Annals of Mathematics . Segunda Série. 135 (1): 1-51. doi : 10,2307 / 2946562 . JSTOR  2.946.562 . MR  1.147.956 .
  • Warren Dicks, e Enric Ventura. O grupo fixo por uma família de endomorfismos injetivas de um grupo livre. Contemporary Mathematics, 195. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. ISBN  0-8218-0564-9
  • Oleg Bogopolski. Introdução à teoria de grupos . EMS Livros didáticos em matemática. Mathematical Society Europeia , Zurique, 2008. ISBN  978-3-03719-041-8

notas de rodapé

links externos