Teoria de campo conformada bidimensional - Two-dimensional conformal field theory

Uma teoria de campo conformada bidimensional é uma teoria de campo quântica em um espaço bidimensional euclidiano , que é invariante sob transformações conformadas locais .

Em contraste com outros tipos de teorias de campo conforme, as teorias de campo conforme bidimensional têm álgebras de simetria de dimensão infinita . Em alguns casos, isso permite que sejam resolvidos exatamente, usando o método de bootstrap conformal .

Teorias de campo conformal bidimensionais notáveis incluem modelos mínimos , teoria Liouville , sem massa teorias bosônicos gratuitos , modelos Wess-Zumino-Witten , e certos modelos sigma .

Estruturas básicas

Geometria

Teorias de campo conformadas bidimensionais (CFTs) são definidas em superfícies de Riemann , onde mapas conformados locais são funções holomórficas . Embora um CFT possa existir apenas em uma determinada superfície de Riemann, sua existência em qualquer superfície que não seja a esfera implica sua existência em todas as superfícies. Dado um CFT, é realmente possível colar duas superfícies de Riemann onde ele existe e obter o CFT na superfície colada. Por outro lado, alguns CFTs existem apenas na esfera. Salvo indicação em contrário, consideramos CFT na esfera neste artigo.

Simetrias e integrabilidade

Dada uma coordenada complexa local , o espaço vetorial real de mapas conformais infinitesimais tem como base , com . (Por exemplo, e gerar traduções.) Relaxando a suposição de que é o conjugado complexo de , isto é, complexificando o espaço de mapas conformados infinitesimais, obtém-se um espaço vetorial complexo com a base . ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle (\ ell _ {n} + {\ bar {\ ell}} _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ cup (i (\ ell _ {n} - {\ bar {\ ell}} _ {n})) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$${\ displaystyle \ ell _ {n} = - z ^ {n + 1} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}}$${\ displaystyle \ ell _ {1} + \ ell _ {- 1}}$${\ displaystyle i (\ ell _ {1} - \ ell _ {- 1})}$${\ displaystyle {\ bar {z}}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle (\ ell _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ cup ({\ bar {\ ell}} _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$

Com seus comutadores naturais , os operadores diferenciais geram uma álgebra de Witt . Pelos argumentos da mecânica quântica padrão, a álgebra de simetria da teoria de campo conforme deve ser a extensão central da álgebra de Witt, ou seja, a álgebra de Virasoro , cujos geradores são , mais um gerador central. Em um determinado CFT, o gerador central assume um valor constante , chamado de carga central. ${\ displaystyle \ ell _ {n}}$${\ displaystyle (L_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$${\ displaystyle c}$

A álgebra de simetria é, portanto, o produto de duas cópias da álgebra de Virasoro: a álgebra para a esquerda ou holomórfica, com geradores , e a álgebra para a direita ou anti-holomórfica, com geradores . ${\ displaystyle L_ {n}}$${\ displaystyle {\ bar {L}} _ {n}}$

Na álgebra envolvente universal do Virasoro, a álgebra, é possível construir um conjunto infinito de cargas mutuamente comutantes. A primeira carga é , a segunda carga é quadrática nos geradores Virasoro, a terceira carga é cúbica, etc. Isso mostra que qualquer teoria de campo conformada bidimensional também é um sistema quântico integrável . ${\ displaystyle L_ {0} - {\ frac {c} {24}}}$

Espaço de estados

O espaço de estados , também chamado de espectro , de um CFT, é uma representação do produto das duas álgebras de Virasoro.

Para um estado que é um autovetor de e com os autovalores e , ${\ displaystyle L_ {0}}$${\ displaystyle {\ bar {L}} _ {0}}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle {\ bar {\ Delta}}}$

• ${\ displaystyle \ Delta}$é a dimensão conforme esquerda ,
• ${\ displaystyle {\ bar {\ Delta}}}$é a dimensão conforme certa ,
• ${\ displaystyle \ Delta + {\ bar {\ Delta}}}$é a dimensão conforme total ou a energia,
• ${\ displaystyle \ Delta - {\ bar {\ Delta}}}$é o spin conforme .

Um CFT é chamado de racional se seu espaço de estados se decompõe em um número finito de representações irredutíveis do produto das duas álgebras de Virasoro.

Um CFT é denominado diagonal se seu espaço de estados for uma soma direta de representações do tipo , onde é uma representação indecomponível da álgebra de Virasoro à esquerda, e é a mesma representação da álgebra de Virasoro à direita. ${\ displaystyle R \ otimes {\ bar {R}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ bar {R}}}$

O CFT é denominado unitário se o espaço de estados tem uma forma hermitiana definida positiva tal que e são auto-adjuntos, e . Isso implica em particular que , e que a carga central é real. O espaço de estados é então um espaço de Hilbert . Embora a unitariedade seja necessária para que um CFT seja um sistema quântico adequado com uma interpretação probabilística, muitos CFTs interessantes são, no entanto, não unitários, incluindo modelos mínimos e a teoria de Liouville para a maioria dos valores permitidos da carga central. ${\ displaystyle L_ {0}}$${\ displaystyle {\ bar {L}} _ {0}}$${\ displaystyle L_ {0} ^ {\ dagger} = L_ {0}}$${\ displaystyle {\ bar {L}} _ {0} ^ {\ dagger} = {\ bar {L}} _ {0}}$${\ displaystyle L_ {n} ^ {\ dagger} = L _ {- n}}$

Campos e funções de correlação

A correspondência estado-campo é um mapa linear do espaço dos estados ao espaço dos campos, que comuta com a ação da álgebra de simetria. ${\ displaystyle v \ mapsto V_ {v} (z)}$

Em particular, a imagem de um estado primário de uma representação de peso mais baixo da álgebra de Virasoro é um campo primário , de modo que ${\ displaystyle V _ {\ Delta} (z)}$

${\ displaystyle L_ {n> 0} V _ {\ Delta} (z) = 0 \ quad, \ quad L_ {0} V _ {\ Delta} (z) = \ Delta V _ {\ Delta} (z) \.}$

Os campos descendentes são obtidos dos campos primários, agindo com modos de criação . Os campos degenerados correspondem aos estados primários das representações degeneradas. Por exemplo, o campo degenerado obedece , devido à presença de um vetor nulo na representação degenerada correspondente. ${\ displaystyle L_ {n <0}}$${\ displaystyle V_ {1,1} (z)}$${\ displaystyle L _ {- 1} V_ {1,1} (z) = 0}$

Uma função de correlação de -point é um número que depende linearmente dos campos, denotado como com . Na formulação da integral de caminho da teoria de campo conforme, as funções de correlação são definidas como integrais funcionais. Na abordagem de bootstrap conforme , as funções de correlação são definidas por axiomas. Em particular, presume-se que existe uma expansão do produto do operador (OPE), ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ left \ langle V_ {1} (z_ {1}) \ cdots V_ {N} (z_ {N}) \ right \ rangle}$${\ displaystyle i \ neq j \ Rightarrow z_ {i} \ neq z_ {j}}$

${\ displaystyle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) = \ sum _ {i} C_ {12} ^ {v_ {i}} (z_ {1}, z_ {2 }) V_ {v_ {i}} (z_ {2}) \,}$

onde é uma base do espaço de estados, e os números são chamados de coeficientes OPE. Além disso, as funções de correlação são assumidas como invariantes sob permutações nos campos, em outras palavras, o OPE é considerado associativo e comutativo. (A comutatividade OPE não implica que os coeficientes OPE sejam invariantes em , porque expandir em campos quebra essa simetria.) ${\ displaystyle \ {v_ {i} \}}$${\ displaystyle C_ {12} ^ {v_ {i}} (z_ {1}, z_ {2})}$${\ displaystyle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) = V_ {2} (z_ {2}) V_ {1} (z_ {1})}$${\ displaystyle 1 \ leftrightarrow 2}$${\ displaystyle V_ {v_ {i}} (z_ {2})}$

A comutatividade OPE implica que os campos primários têm spins conformes com números inteiros . Também existem CFTs fermiônicos que incluem campos fermiônicos com spins conformados de meio-inteiro , que são anticomutados. Também existem CFTs parafermiônicos que incluem campos com spins racionais mais gerais . Não apenas parafermions não comutam, mas também suas funções de correlação são multivaloradas. ${\ displaystyle S \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle S \ in {\ tfrac {1} {2}} + \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle S \ in \ mathbb {Q}}$

A função de partição toróide é uma função de correlação particular que depende unicamente do espectro e não dos coeficientes OPE. Para um toro complexo com módulo , a função de partição é ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C}} {\ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z}}}}$${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle Z (\ tau) = \ operatorname {Tr} _ {\ mathcal {S}} q ^ {L_ {0} - {\ frac {c} {24}}} {\ bar {q}} ^ { {\ bar {L}} _ {0} - {\ frac {c} {24}}}}$

onde . A função de partição do toro coincide com o caráter do espectro, considerado como uma representação da álgebra de simetria. ${\ displaystyle q = e ^ {2 \ pi i \ tau}}$

Teoria de campo conformada quiral

Em uma teoria de campo conformada bidimensional, as propriedades são chamadas de quirais se forem decorrentes da ação de uma das duas álgebras de Virasoro. Se o espaço de estados pode ser decomposto em representações fatoradas do produto das duas álgebras de Virasoro, então todas as consequências da simetria conformada são quirais. Em outras palavras, as ações das duas álgebras de Virasoro podem ser estudadas separadamente.

Tensor de energia-momento

A dependência de um campo em sua posição é assumida como determinada por ${\ displaystyle V (z)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial z}} V (z) = L _ {- 1} V (z).}$

Conclui-se que o OPE

${\ displaystyle T (y) V (z) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} {\ frac {L_ {n} V (z)} {(yz) ^ {n + 2}}} ,}$

define um campo localmente holomórfico que não depende de. Este campo é identificado com (um componente do) tensor de energia-momento . Em particular, o OPE do tensor de energia-momento com um campo primário é ${\ displaystyle T (y)}$${\ displaystyle z.}$

${\ displaystyle T (y) V _ {\ Delta} (z) = {\ frac {\ Delta} {(yz) ^ {2}}} V _ {\ Delta} (z) + {\ frac {1} {yz }} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} V _ {\ Delta} (z) + O (1).}$

O OPE do tensor de energia-momento consigo mesmo é

${\ displaystyle T (y) T (z) = {\ frac {\ frac {c} {2}} {(yz) ^ {4}}} + {\ frac {2T (z)} {(yz) ^ {2}}} + {\ frac {\ partial T (z)} {yz}} + O (1),}$

onde está a carga central. (Este OPE é equivalente às relações de comutação da álgebra de Virasoro.) ${\ displaystyle c}$

Identidades Conformal Ward

As identidades de Ward conforme são equações lineares às quais as funções de correlação obedecem como consequência da simetria conforme. Eles podem ser derivados estudando funções de correlação que envolvem inserções do tensor de energia-momento. Suas soluções são blocos conformes .

Por exemplo, considere as identidades de Ward conformes na esfera. Let Ser uma coordenada global complexa na esfera, visto como Holomorphy do tensor de energia-momento em é equivalente a ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}.}$${\ displaystyle z = \ infty}$

${\ displaystyle T (z) {\ underset {z \ to \ infty} {=}} O \ left ({\ frac {1} {z ^ {4}}} \ right).}$

Além disso, a inserção em uma função -point de campos primários produz ${\ displaystyle T (z)}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle \ left \ langle T (z) \ prod _ {i = 1} ^ {N} V _ {\ Delta _ {i}} (z_ {i}) \ right \ rangle = \ sum _ {i = 1 } ^ {N} \ left ({\ frac {\ Delta _ {i}} {(z-z_ {i}) ^ {2}}} + {\ frac {1} {z-z_ {i}}} {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {i}}} \ right) \ left \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {N} V _ {\ Delta _ {i}} (z_ {i}) \ right \ rangle.}$

A partir das duas últimas equações, é possível deduzir identidades locais de Ward que expressam funções -ponto de campos descendentes em termos de funções -ponto de campos primários. Além disso, é possível deduzir três equações diferenciais para qualquer função de ponto dos campos primários, chamadas identidades globais conformes de Ward : ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (z_ {i} ^ {k} {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {i}}} + \ Delta _ {i} kz_ {i} ^ {k-1} \ right) \ left \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {N} V _ {\ Delta _ {i}} (z_ {i}) \ right \ rangle = 0, \ qquad (k \ in \ {0,1,2 \}).}$

Essas identidades determinam como as funções de dois e três pontos dependem de ${\ displaystyle z,}$

${\ displaystyle \ left \ langle V _ {\ Delta _ {1}} (z_ {1}) V _ {\ Delta _ {2}} (z_ {2}} (z_ {2}) \ right \ rangle {\ begin {cases} = 0 & \ \ (\ Delta _ {1} \ neq \ Delta _ {2}) \\\ propto (z_ {1} -z_ {2}) ^ {- 2 \ Delta _ {1}} & \ \ (\ Delta _ {1} = \ Delta _ {2}) \ end {casos}}}$

${\ displaystyle \ left \ langle V _ {\ Delta _ {1}} (z_ {1}) V _ {\ Delta _ {2}} (z_ {2}) V _ {\ Delta _ {3}} (z_ {3 }) \ right \ rangle \ propto (z_ {1} -z_ {2}) ^ {\ Delta _ {3} - \ Delta _ {1} - \ Delta _ {2}} (z_ {2} -z_ { 3}) ^ {\ Delta _ {1} - \ Delta _ {2} - \ Delta _ {3}} (z_ {1} -z_ {3}) ^ {\ Delta _ {2} - \ Delta _ { 1} - \ Delta _ {3}},}$

onde os coeficientes de proporcionalidade indeterminados são funções de ${\ displaystyle {\ bar {z}}.}$

Equações BPZ

Uma função de correlação que envolve um degenerado satisfaz uma equação diferencial de campo parcial linear chamado uma equação Belavin-Polyakov-Zamolodchikov após Alexander Belavin , Alexander Polyakov e Alexander Zamolodchikov . A ordem dessa equação é o nível do vetor nulo na representação degenerada correspondente.

Um exemplo trivial é a equação BPZ de ordem um

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {1}}} \ left \ langle V_ {1,1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) \ cdots V_ {N } (z_ {N}) \ right \ rangle = 0.}$

que segue de

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {1}}} V_ {1,1} (z_ {1}) = L _ {- 1} V_ {1,1} (z_ {1}) = 0.}$

O primeiro exemplo não trivial envolve um campo degenerado com um vetor nulo desaparecendo no nível dois, ${\ displaystyle V_ {2,1}}$

${\ displaystyle \ left (L _ {- 1} ^ {2} + b ^ {2} L _ {- 2} \ right) V_ {2,1} = 0,}$

onde está relacionado com a carga central por ${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle c = 1 + 6 \ left (b + b ^ {- 1} \ right) ^ {2}.}$

Então, uma função -point de e outros campos primários obedecem a: ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle V_ {2,1}}$${\ displaystyle N-1}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {b ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z_ {1} ^ {2}}} + \ sum _ {i = 2} ^ {N} \ left ({\ frac {1} {z_ {1} -z_ {i}}} {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {i}}} + {\ frac {\ Delta _ {i}} {(z_ {1} -z_ {i}) ^ {2}}} \ right) \ right) \ left \ langle V_ {2,1} (z_ {1}) \ prod _ { i = 2} ^ {N} V _ {\ Delta _ {i}} (z_ {i}) \ right \ rangle = 0.}$

Uma equação de ordem BPZ para uma função de correlação que envolve o campo degenerado pode ser deduzida do desaparecimento do vetor nulo e das identidades locais de Ward . Graças às identidades globais de Ward, funções de quatro pontos podem ser escritas em termos de uma variável em vez de quatro, e as equações BPZ para funções de quatro pontos podem ser reduzidas a equações diferenciais ordinárias. ${\ displaystyle rs}$${\ displaystyle V_ {r, s}}$

Regras de fusão

Em um OPE que envolve um campo degenerado, o desaparecimento do vetor nulo (mais simetria conforme) restringe quais campos primários podem aparecer. As restrições resultantes são chamadas de regras de fusão . Usando o impulso de tal forma que ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ Delta = \ alpha \ left (b + b ^ {- 1} - \ alpha \ right)}$

em vez da dimensão conforme para parametrizar campos primários, as regras de fusão são ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle V_ {r, s} \ times V _ {\ alpha} = \ sum _ {i = 0} ^ {r-1} \ sum _ {j = 0} ^ {s-1} V _ {\ alpha + \ left (i - {\ frac {r-1} {2}} \ right) b + \ left (j - {\ frac {s-1} {2}} \ right) b ^ {- 1}}}$

em particular

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} V_ {1,1} \ times V _ {\ alpha} & = V _ {\ alpha} \\ [6pt] V_ {2,1} \ times V _ {\ alpha} & = V_ {\ alpha - {\ frac {b} {2}}} + V _ {\ alpha + {\ frac {b} {2}}} \\ [6pt] V_ {1,2} \ vezes V _ {\ alpha} & = V _ {\ alpha - {\ frac {1} {2b}}} + V _ {\ alpha + {\ frac {1} {2b}}} \ end {alinhado}}}$

Alternativamente, as regras de fusão têm uma definição algébrica em termos de um produto de fusão associativa de representações da álgebra de Virasoro em uma dada carga central. O produto de fusão difere do produto tensorial das representações. (Em um produto tensorial, as cargas centrais se somam.) Em certos casos finitos, isso leva à estrutura de uma categoria de fusão .

Uma teoria de campo conforme é quase-racional é o produto da fusão de duas representações indecomponíveis é uma soma de finitamente muitas representações indecomponíveis. Por exemplo, modelos mínimos generalizados são quase racionais sem serem racionais.

Bootstrap conformal

O método de bootstrap conformado consiste em definir e resolver CFTs usando apenas suposições de simetria e consistência, reduzindo todas as funções de correlação a combinações de constantes de estrutura e blocos conformes. Em duas dimensões, esse método leva a soluções exatas de certos CFTs e a classificações de teorias racionais.

Constantes de estrutura

Let Ser um campo primário esquerdo e direito com dimensões conformais esquerda e direita e . De acordo com as identidades globais da ala esquerda e direita, as funções de três pontos de tais campos são do tipo ${\ displaystyle V_ {i}}$${\ displaystyle \ Delta _ {i}}$${\ displaystyle {\ bar {\ Delta}} _ {i}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & \ left \ langle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) V_ {3} (z_ {3}) \ right \ rangle = C_ {123} \\ & \ qquad \ times (z_ {1} -z_ {2}) ^ {\ Delta _ {3} - \ Delta _ {1} - \ Delta _ {2}} (z_ {2} - z_ {3}) ^ {\ Delta _ {1} - \ Delta _ {2} - \ Delta _ {3}} (z_ {1} -z_ {3}) ^ {\ Delta _ {2} - \ Delta _ {1} - \ Delta _ {3}} \\ & \ qquad \ times ({\ bar {z}} _ {1} - {\ bar {z}} _ {2}) ^ {{\ bar { \ Delta}} _ {3} - {\ bar {\ Delta}} _ {1} - {\ bar {\ Delta}} _ {2}} ({\ bar {z}} _ {2} - {\ bar {z}} _ {3}) ^ {{\ bar {\ Delta}} _ {1} - {\ bar {\ Delta}} _ {2} - {\ bar {\ Delta}} _ {3} } ({\ bar {z}} _ {1} - {\ bar {z}} _ {3}) ^ {{\ bar {\ Delta}} _ {2} - {\ bar {\ Delta}} _ {1} - {\ bar {\ Delta}} _ {3}} \, \ end {alinhado}}}$

onde o número independente é chamado de constante de estrutura de três pontos . Para que a função de três pontos seja de valor único, as dimensões conforme esquerda e direita dos campos primários devem obedecer ${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle C_ {123}}$

${\ displaystyle \ Delta _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {i} \ in {\ frac {1} {2}} \ mathbb {Z} \.}$

Essa condição é satisfeita pelos campos bosônicos ( ) e fermiônicos ( ). No entanto, é violado por campos parafermiônicos ( ), cujas funções de correlação, portanto, não têm valor único na esfera de Riemann. ${\ displaystyle \ Delta _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {i} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ Delta _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {i} \ in \ mathbb {Z} + {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle \ Delta _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {i} \ in \ mathbb {Q}}$

Constantes de estrutura de três pontos também aparecem em OPEs,

${\ displaystyle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) = \ sum _ {i} C_ {12i} (z_ {1} -z_ {2}) ^ {\ Delta _ {i} - \ Delta _ {1} - \ Delta _ {2}} ({\ bar {z}} _ {1} - {\ bar {z}} _ {2}) ^ {{\ bar {\ Delta}} _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {1} - {\ bar {\ Delta}} _ {2}} {\ Grande (} V_ {i} (z_ {2}) + \ cdots {\ Big)} \.}$

As contribuições dos campos descendentes, denotadas pelos pontos, são completamente determinadas pela simetria conforme.

Blocos conformes

Qualquer função de correlação pode ser escrita como uma combinação linear de blocos conformes : funções que são determinadas pela simetria conforme e rotuladas por representações da álgebra de simetria. Os coeficientes da combinação linear são produtos de constantes de estrutura.

No CFT bidimensional, a álgebra de simetria é fatorada em duas cópias da álgebra de Virasoro, e um bloco conformal que envolve campos primários tem uma fatoração holomórfica : é um produto de um fator holomórfico local que é determinado pelo movimento para a esquerda de Virasoro álgebra, e um fator anti-holomórfico local que é determinado pela álgebra de Virasoro que se move para a direita. Esses fatores são chamados de blocos conformes.

Por exemplo, usar o OPE dos dois primeiros campos em uma função de quatro pontos de campos primários produz

${\ displaystyle \ left \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {4} V_ {i} (z_ {i}) \ right \ rangle = \ sum _ {s} C_ {12s} C_ {s34} {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {(s)} (\ {\ Delta _ {i} \}, \ {z_ {i} \}) {\ mathcal {F}} _ { {\ bar {\ Delta}} _ {s}} ^ {(s)} (\ {{\ bar {\ Delta}} _ {i} \}, \ {{\ bar {z}} _ {i} \}) \,}$

onde está um bloco conforme de quatro pontos do canal s . Os blocos conformes de quatro pontos são funções complicadas que podem ser calculadas com eficiência usando as relações de recursão de Alexei Zamolodchikov . Se um dos quatro campos for degenerado, os blocos conformes correspondentes obedecem às equações BPZ. Se em particular um dos quatro campos for , então os blocos conformes correspondentes podem ser escritos em termos da função hipergeométrica . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {(s)} (\ {\ Delta _ {i} \}, \ {z_ {i} \})}$${\ displaystyle V_ {2,1}}$

Como primeiro explicado por Witten, o espaço de blocos conformes de um CFT bidimensional pode ser identificado com o espaço de Hilbert quântico de uma teoria de Chern-Simons 2 + 1 dimensional , que é um exemplo de teoria de campo topológica . Essa conexão foi muito frutífera na teoria do efeito Hall quântico fracionário .

Equações de bootstrap conformes

Quando uma função de correlação pode ser escrita em termos de blocos conformes de várias maneiras diferentes, a igualdade das expressões resultantes fornece restrições no espaço de estados e nas constantes de estrutura de três pontos. Essas restrições são chamadas de equações conformais de bootstrap . Enquanto as identidades de Ward são equações lineares para funções de correlação, as equações de bootstrap conformes dependem não linearmente das constantes de estrutura de três pontos.

Por exemplo, uma função de quatro pontos pode ser escrita em termos de blocos conformes de três maneiras inequivalentes, correspondendo ao uso de OPEs ( canal s ), ( canal t ) ou ( canal u ). A igualdade das três expressões resultantes é chamada de simetria de cruzamento da função de quatro pontos e é equivalente à associatividade do OPE. ${\ displaystyle \ left \ langle V_ {1} V_ {2} V_ {3} V_ {4} \ right \ rangle}$${\ displaystyle V_ {1} V_ {2}}$${\ displaystyle V_ {1} V_ {4}}$${\ displaystyle V_ {1} V_ {3}}$

Por exemplo, a função de partição do toro é invariante sob a ação do grupo modular sobre o módulo do toro, de forma equivalente . Essa invariância é uma restrição no espaço de estados. O estudo de funções modulares de partição toróide invariante é algumas vezes chamado de bootstrap modular . ${\ displaystyle Z (\ tau) = Z (\ tau +1) = Z (- {\ frac {1} {\ tau}})}$

A consistência de um CFT na esfera é equivalente a cruzar a simetria da função de quatro pontos. A consistência de um CFT em todas as superfícies de Riemann também requer invariância modular da função de um ponto do toro. A invariância modular da função de partição do toro não é, portanto, nem necessária, nem suficiente, para que exista um CFT. No entanto, tem sido amplamente estudado em CFTs racionais, porque os caracteres das representações são mais simples do que outros tipos de blocos conformes, como blocos conformados de quatro pontos esféricos.

Exemplos

Modelos mínimos

Um modelo mínimo é um CFT cujo espectro é construído a partir de um número finito de representações irredutíveis da álgebra de Virasoro. Modelos mínimos existem apenas para valores particulares da carga central,

${\ displaystyle c_ {p, q} = 1-6 {\ frac {(pq) ^ {2}} {pq}}, \ qquad p> q \ in \ {2,3, \ ldots \}.}$

Existe uma classificação ADE de modelos mínimos. Em particular, o modelo mínimo da série A com a carga central é um CFT diagonal cujo espectro é construído a partir de representações degeneradas de menor peso da álgebra de Virasoro. Essas representações degeneradas são rotuladas por pares de inteiros que formam a tabela Kac , ${\ displaystyle c = c_ {p, q}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (p-1) (q-1)}$

${\ displaystyle (r, s) \ in \ {1, \ ldots, p-1 \} \ times \ {1, \ ldots, q-1 \} \ qquad {\ text {with}} \ qquad (r, s) \ simeq (pr, qs).}$

Por exemplo, o modelo mínimo da série A descreve correladores de spin e energia do modelo crítico de Ising bidimensional . ${\ displaystyle c = c_ {4,3} = {\ tfrac {1} {2}}}$

Teoria de Liouville

Para qualquer teoria de Liouville é um CFT diagonal cujo espectro é construído a partir de módulos Verma com dimensões conformes ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {C},}$

${\ displaystyle \ Delta \ in {\ frac {c-1} {24}} + \ mathbb {R} _ {+}}$

A teoria de Liouville foi resolvida, no sentido de que suas constantes de estrutura de três pontos são explicitamente conhecidas. A teoria de Liouville tem aplicações na teoria das cordas e na gravidade quântica bidimensional.

Álgebras de simetria estendida

Em alguns CFTs, ​​a álgebra de simetria não é apenas a álgebra de Virasoro, mas uma álgebra associativa (ou seja, não necessariamente uma álgebra de Lie) que contém a álgebra de Virasoro. O espectro é então decomposto em representações dessa álgebra e as noções de CFTs diagonais e racionais são definidas em relação a essa álgebra.

Teorias bosônicas livres sem massa

Em duas dimensões, as teorias bosônicas livres sem massa são conformalmente invariantes. Sua álgebra de simetria é a álgebra de Lie afim construída a partir da álgebra de Lie abeliana de classificação um. O produto da fusão de quaisquer duas representações dessa álgebra de simetria produz apenas uma representação, e isso torna as funções de correlação muito simples. ${\ displaystyle {\ hat {\ mathfrak {u}}} _ {1}}$

Ver os modelos mínimos e a teoria de Liouville como teorias bosônicas livres perturbadas leva ao método do gás de Coulomb para calcular suas funções de correlação. Além disso, pois há uma família de um parâmetro de teorias bosônicas livres com espectros discretos infinitos, que descrevem bósons livres compactados , com o parâmetro sendo o raio de compactação. ${\ displaystyle c = 1,}$

Modelos Wess – Zumino – Witten

Dado um grupo de Lie, o modelo Wess-Zumino-Witten correspondente é um CFT cuja álgebra de simetria é a álgebra de Lie afim construída a partir da álgebra de Lie de If é compacta, então este CFT é racional, sua carga central assume valores discretos e seu espectro é conhecido. ${\ displaystyle G,}$${\ displaystyle G.}$${\ displaystyle G}$

Teorias de campo superconformais

A álgebra de simetria de um CFT supersimétrico é uma álgebra super Virasoro , ou uma álgebra maior. CFTs supersimétricos são em particular relevantes para a teoria das supercordas.

Teorias baseadas em W-álgebras

Álgebras W são extensões naturais da álgebra de Virasoro. CFTs baseados em W-álgebras incluem generalizações de modelos mínimos e teoria de Liouville, respectivamente chamados de modelos W-minimal e teorias conformadas de Toda . As teorias conformadas de Toda são mais complicadas do que a teoria de Liouville e menos bem compreendidas.

Modelos Sigma

Em duas dimensões, os modelos sigma clássicos são conformalmente invariantes, mas apenas algumas variedades alvo levam a modelos quânticos sigma que são conformalmente invariáveis. Exemplos de tais variedades de alvo incluem toruses e variedades Calabi – Yau .

Teorias de campo conformadas logarítmicas

As teorias de campo conformadas logarítmicas são CFTs bidimensionais, de modo que a ação do gerador de álgebra de Virasoro no espectro não é diagonalizável. Em particular, o espectro não pode ser construído apenas a partir de representações de menor peso . Como consequência, a dependência das funções de correlação nas posições dos campos pode ser logarítmica. Isso contrasta com a dependência de potência das funções de dois e três pontos que estão associadas às representações de menor peso. ${\ displaystyle L_ {0}}$

Modelo de Potts do estado crítico${\ displaystyle Q}$

O modelo de Potts de estado crítico ou modelo de cluster aleatório crítico é uma teoria de campo conforme que generaliza e unifica o modelo de Ising crítico , o modelo de Potts e a percolação . O modelo possui um parâmetro , que deve ser inteiro no modelo de Potts, mas pode assumir qualquer valor complexo no modelo de cluster aleatório. Este parâmetro está relacionado à carga central por ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle Q = 4 \ cos ^ {2} (\ pi \ beta ^ {2}) \ qquad {\ text {with}} \ qquad c = 13-6 \ beta ^ {2} -6 \ beta ^ { -2} \.}$

Os valores especiais de incluem: ${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle Q}$	${\ displaystyle c}$	Modelo estatístico relacionado
${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle -2}$	Árvore de abrangência uniforme
${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 0}$	Percolação
${\ displaystyle 2}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$	Modelo de Ising
${\ displaystyle {\ frac {3 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {7} {10}}}$	Modelo de Ising tricrítico
${\ displaystyle 3}$	${\ displaystyle {\ frac {4} {5}}}$	Modelo Potts de três estados
${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {25} {28}}}$	Modelo de Potts tricrítico de três estados
${\ displaystyle 4}$	${\ displaystyle 1}$	Modelo Ashkin-Teller

A função de partição de toro conhecida sugere que o modelo não é racional com um espectro discreto.

Referências

Leitura adicional

• P. Di Francesco, P. Mathieu e D. Sénéchal, Conformal Field Theory , Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN  0-387-94785-X .
• A página Teoria de Campo Conformal no Wiki de Teoria de String lista livros e resenhas.
• Ribault, Sylvain (2014). "Teoria de campo conforme no plano". arXiv : 1406,4290 [ hep-th ].