Ultraproduto - Ultraproduct

O ultraproduto é uma construção matemática que aparece principalmente na álgebra abstrata e na lógica matemática , em particular na teoria de modelos e na teoria dos conjuntos . Um ultraproduto é um quociente do produto direto de uma família de estruturas . Todos os fatores precisam ter a mesma assinatura . O ultrapower é o caso especial dessa construção em que todos os fatores são iguais.

Por exemplo, ultrapoters podem ser usados ​​para construir novos campos a partir de alguns. Os números hiperreais , um ultrapower dos números reais , são um caso especial disso.

Algumas aplicações notáveis ​​de ultraprodutos incluem provas muito elegantes do teorema da compactação e do teorema da completude , o teorema ultrapower de Keisler , que dá uma caracterização algébrica da noção semântica de equivalência elementar, e a apresentação de Robinson-Zakon do uso de superestruturas e seus monomorfismos para construir modelos de análise não padronizados, levando ao crescimento da área de análise não padronizada , que foi iniciada (como uma aplicação do teorema da compactação) por Abraham Robinson .

Definição

O método geral para a obtenção ultraprodutos utiliza um conjunto de índices I , uma estrutura H _i para cada elemento i de I (todos a mesma assinatura ), e um ultrafiltro L em I . Geralmente se considera isso no caso em que I é infinito e U contém todos os subconjuntos cofinitos de I , ou seja, U não é um ultrafiltro principal . No caso principal, o ultraproduto é isomórfico a um dos fatores.

Operações algébricas no produto cartesiano

${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} M_ {i}}$

são definidos pontualmente (por exemplo, para uma função binária +, ( a + b ) _i = a _i + b _i ), e uma relação de equivalência é definida por a ~ b se

${\ displaystyle \ left \ {i \ in I: a_ {i} = b_ {i} \ right \} \ in U,}$

e o ultraproduto é o quociente definido em relação a ~. O ultraproduto é, portanto, às vezes denotado por

${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} M_ {i} / U.}$

Pode-se definir uma medida finitamente aditiva m no conjunto de índices I dizendo m ( A ) = 1 se A ∈ U e = 0 caso contrário. Então, dois membros do produto cartesiano são equivalentes precisamente se forem iguais em quase todas as partes do conjunto de índices. O ultraproduto é o conjunto de classes de equivalência assim geradas.

Outras relações podem ser estendidas da mesma maneira:

${\ displaystyle R ([a ^ {1}], \ dots, [a ^ {n}]) \ iff \ left \ {i \ in I: R ^ {M_ {i}} (a_ {i} ^ { 1}, \ dots, a_ {i} ^ {n}) \ right \} \ in U,}$

onde [ a ] denota a classe de equivalência de a em relação a ~.

Em particular, se todo M _i é um campo ordenado , o ultraproduto também o é.

Um ultrapower é um ultraproduto para o qual todos os fatores M _i são iguais:

${\ displaystyle M ^ {I} / U = \ prod _ {i \ in I} M / U. \,}$

Mais geralmente, a construção acima pode ser realizada sempre que U for um filtro em I ; o modelo resultante é então chamado de produto reduzido . ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} M_ {i} / U}$

Exemplos

Os números hiperreais são o ultraproduto de uma cópia dos números reais para cada número natural, em relação a um ultrafiltro sobre os números naturais contendo todos os conjuntos de cofinitos. Sua ordem é a extensão da ordem dos números reais. Por exemplo, a sequência ω dada por ω _i  =  i define uma classe de equivalência que representa um número hiperreal que é maior do que qualquer número real.

Analogamente, pode-se definir inteiros não padrão , números complexos não padronizados , etc., tendo a ultraproduct de cópias das estruturas correspondentes.

Como exemplo da transferência de relações para o ultraproduto, considere a sequência ψ definida por ψ _i  = 2 i . Porque ψ _i  >  ω _i  =  i para todo i , segue-se que a classe de equivalência de ψ _i  = 2 i é maior do que a classe de equivalência de ω _i  =  i , de modo que pode ser interpretada como um número infinito maior que aquele originalmente construído. No entanto, seja χ _i  =  i para i não igual a 7, mas χ ₇  = 8. O conjunto de índices em que ω e χ concordam é membro de qualquer ultrafiltro (porque ω e χ concordam quase em todos os lugares), então ω e χ pertencem à mesma classe de equivalência.

Na teoria dos cardeais grandes , uma construção padrão é pegar o ultraproduto de todo o universo teórico do conjunto com relação a algum ultrafiltro U cuidadosamente escolhido . As propriedades deste ultrafiltro U têm uma forte influência nas propriedades (de ordem superior) do ultraproduto; por exemplo, se U for σ -completo, o ultraproduto será novamente bem fundamentado. (Veja cardinal mensurável para o exemplo prototípico.)

Teorema de Łoś

O teorema de Łoś, também chamado de teorema fundamental dos ultraprodutos , deve-se a Jerzy Łoś (o sobrenome é pronunciado[ˈWɔɕ] , aproximadamente "lavar"). Ele afirma que qualquer de primeira ordem fórmula é verdadeiro no ultraproduct se e apenas se o conjunto de índices i tal que a fórmula é verdadeiro em H _i é um membro do L . Mais precisamente:

Vamos σ ser uma assinatura, um ultrafiltro sobre um conjunto e para cada Vamos ser um σ -Estrutura. Seja o ultraproduto de em relação a , isto é, Então, para cada , onde , e para cada σ- fórmula , ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle M = \ prod _ {i \ in I} M_ {i} / U.}$${\ displaystyle a ^ {1}, \ ldots, a ^ {n} \ in \ prod M_ {i}}$${\ displaystyle a ^ {k} = (a_ {i} ^ {k}) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle M \ models \ phi [[a ^ {1}], \ ldots, [a ^ {n}]] \ iff \ {i \ in I: M_ {i} \ models \ phi [a_ {i} ^ {1}, \ ldots, a_ {i} ^ {n}] \} \ em U.}$

O teorema é provado por indução na complexidade da fórmula . O fato de ser um ultrafiltro (e não apenas um filtro) é usado na cláusula de negação, e o axioma de escolha é necessário na etapa do quantificador existencial. Como aplicação, obtém-se o teorema de transferência para campos hiperreais . ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle U}$

Exemplos

Deixe R ser uma relação unária na estrutura M , e formar o Ultrapower de M . Em seguida, o conjunto tem um análogo ^* S na Ultrapower, e as fórmulas de primeira ordem envolvendo S também são válidos para ^* S . Por exemplo, sejam M os reais, e sejam Rx válidos se x for um número racional. Em seguida, em H , podemos dizer que, para qualquer par de racionais x e y , existe um outro número z de tal modo que Z não é racional, e x  <  z  <  y . Uma vez que isso pode ser traduzido em uma fórmula lógica de primeira ordem na linguagem formal relevante, o teorema de Łoś implica que ^* S tem a mesma propriedade. Ou seja, podemos definir uma noção dos números hiperracionais, que são um subconjunto dos hiperreais e têm as mesmas propriedades de primeira ordem dos racionais. ${\ displaystyle S = \ {x \ in M ​​| Rx \}}$

Considere, no entanto, a propriedade arquimediana dos reais, que afirma que não existe um número real x tal que x  > 1, x  > 1 + 1, x  > 1 + 1 + 1, ... para cada desigualdade na lista infinita . O teorema de Łoś não se aplica à propriedade arquimediana, porque a propriedade arquimediana não pode ser declarada na lógica de primeira ordem. Na verdade, a propriedade arquimediana é falsa para os hiperreais, como mostra a construção do número hiperreal ω acima.

Limites diretos de ultrapoderes (ultralimites)

Na teoria do modelo e na teoria dos conjuntos , o limite direto de uma sequência de ultrapoters é frequentemente considerado. Na teoria do modelo , esta construção pode ser referida como ultralimite ou ultrapower limitante .

Começando com uma estrutura, A ₀ , e um ultrafiltro, D ₀ , formam um ultrapower, A ₁ . Em seguida, repita o processo para formar A ₂ e assim por diante. Para cada n há uma incorporação diagonal canônica . Em estágios limite, como A _ω , formam o limite direto dos estágios anteriores. Pode-se continuar no transfinito. ${\ displaystyle A_ {n} \ para A_ {n + 1}}$

Veja também

• Teorema da compactação  - Teorema
• Teorema de Löwenheim – Skolem  - Existência e cardinalidade de modelos de teorias lógicas
• Princípio de transferência  - que todas as declarações de alguma linguagem que são verdadeiras para alguma estrutura são verdadeiras para outra estrutura

Referências

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Models and Ultraproducts: An Introduction (reimpressão da edição de 1974). Publicações de Dover . ISBN 0-486-44979-3.
• Burris, Stanley N .; Sankappanavar, HP (2000) [1981]. A Course in Universal Algebra (Millennium ed.).