Ultralimit - Ultralimit

Em matemática , um ultralimite é uma construção geométrica que atribui a uma sequência de espaços métricos X _n um espaço métrico limitante. A noção de ultralimite captura o comportamento limitante de configurações finitas nos espaços X _n e usa um ultrafiltro para evitar o processo de passar repetidamente para subsequências para garantir a convergência. Um ultralimite é uma generalização da noção de convergência de Gromov-Hausdorff de espaços métricos.

Ultrafiltros

Um ultrafiltro ω no conjunto de números naturais ℕ é um conjunto de subconjuntos não vazios de ℕ (cuja função de inclusão pode ser pensada como uma medida) que é fechado sob interseção finita, fechado para cima e que, dado qualquer subconjunto X de ℕ , contém quer X ou ℕ ∖ X . Um ultrafiltro ω em ℕ não é principal se não contiver um conjunto finito.

Limite de uma sequência de pontos em relação a um ultrafiltro

Seja ω um ultrafiltro não principal ativado . Se for uma sequência de pontos em um espaço métrico ( X , d ) e x ∈ X , o ponto x é chamado de ω - limite de x _n , denotado , se para cada temos: ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle x = \ lim _ {\ omega} x_ {n}}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$

${\ displaystyle \ {n: d (x_ {n}, x) \ leq \ epsilon \} \ in \ omega.}$

Não é difícil ver o seguinte:

• Se um ω -limit de uma sequência de pontos existe, ele é único.
• Se no sentido padrão ,. (Para que essa propriedade seja mantida, é crucial que o ultrafiltro seja não principal.)${\ displaystyle x = \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n}}$${\ displaystyle x = \ lim _ {\ omega} x_ {n}}$

Um fato básico importante afirma que, se ( X , d ) for compacto e ω for um ultrafiltro não principal em , o limite ω de qualquer sequência de pontos em X existe (e é necessariamente único). ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

Em particular, qualquer sequência limitada de números reais tem um ω -limit bem definido em (uma vez que os intervalos fechados são compactos). ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Ultralimite de espaços métricos com pontos de base especificados

Seja ω um ultrafiltro não principal ativado . Seja ( X _n , d _n ) uma sequência de espaços métricos com pontos de base especificados p _n ∈ X _n . ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

Digamos que uma sequência , onde x _n ∈ X _n , seja admissível , se a sequência de números reais ( d _n ( x _n , p _n )) _n for limitada, ou seja, se houver um número real positivo C tal isso . Denotemos o conjunto de todas as sequências admissíveis por . ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle d_ {n} (x_ {n}, p_ {n}) \ leq C}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

É fácil ver pela desigualdade do triângulo que para quaisquer duas sequências admissíveis e a sequência ( d _n ( x _n , y _n )) _n é limitada e, portanto, existe um limite ω . Vamos definir uma relação no conjunto de todas as sequências admissíveis como segue. Pois temos sempre que for fácil mostrar que é uma relação de equivalência em${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} = (y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle {\ hat {d}} _ {\ infty} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}): = \ lim _ {\ omega} d_ {n} (x_ {n}, y_ {n })}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ sim \ mathbf {y}}$${\ displaystyle {\ hat {d}} _ {\ infty} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = 0.}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}.}$

O ultralimite em relação a ω da sequência ( X _n , d _n , p _n ) é um espaço métrico definido como segue. ${\ displaystyle (X _ {\ infty}, d _ {\ infty})}$

Como um conjunto, nós temos . ${\ displaystyle X _ {\ infty} = {\ mathcal {A}} / {\ sim}}$

Para duas classes de equivalência de sequências admissíveis e temos${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle [\ mathbf {x}], [\ mathbf {y}]}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} = (y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle d _ {\ infty} ([\ mathbf {x}], [\ mathbf {y}]): = {\ hat {d}} _ {\ infty} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y }) = \ lim _ {\ omega} d_ {n} (x_ {n}, y_ {n}).}$

Não é difícil perceber que está bem definido e que é uma métrica no conjunto . ${\ displaystyle d _ {\ infty}}$${\ displaystyle X _ {\ infty}}$

Denote . ${\ displaystyle (X _ {\ infty}, d _ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n}, p_ {n})}$

Em pontos de base, no caso de espaços uniformemente limitados

Suponha que ( X _n , d _n ) seja uma sequência de espaços métricos de diâmetro uniformemente limitado, ou seja, existe um número real C > 0 tal que diam ( X _n ) ≤ C para cada . Então, para qualquer escolha p _n de pontos-base em X _n, toda sequência é admissível. Portanto, nesta situação, a escolha dos pontos de base não precisa ser especificada ao definir um ultralimite, e o ultralimite depende apenas de ( X _n , d _n ) e de ω, mas não depende da escolha de um ponto de base sequência . Neste caso, escreve-se . ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n}, x_ {n} \ em X_ {n}}$${\ displaystyle (X _ {\ infty}, d _ {\ infty})}$${\ displaystyle p_ {n} \ in X_ {n}.}$${\ displaystyle (X _ {\ infty}, d _ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n})}$

Propriedades básicas dos ultralimites

1. Se ( X _n , d _n ) são espaços métricos geodésicos, então também é um espaço métrico geodésico.${\ displaystyle (X _ {\ infty}, d _ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n}, p_ {n})}$
2. Se ( X _n , d _n ) são espaços métricos completos, então também é um espaço métrico completo.${\ displaystyle (X _ {\ infty}, d _ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n}, p_ {n})}$

Na verdade, por construção, o espaço limite está sempre completo, mesmo quando ( X _n , d _n ) é uma sequência repetitiva de um espaço ( X , d ) que não está completo.

1. Se ( X _n , d _n ) são espaços métricos compactos que convergem para um espaço métrico compacto ( X , d ) no sentido de Gromov-Hausdorff (isso implica automaticamente que os espaços ( X _n , d _n ) têm diâmetro uniformemente limitado), então, o ultralimite é isométrico para ( X , d ).${\ displaystyle (X _ {\ infty}, d _ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n})}$
2. Suponha que ( X _n , d _n ) são espaços métricos próprios e que são pontos-base de tal forma que a sequência pontuada ( X _n , d _n , p _n ) converge para um espaço métrico adequado ( X , d ) no Gromov – Hausdorff senso. Então, o ultralimite é isométrico para ( X , d ).${\ displaystyle p_ {n} \ in X_ {n}}$${\ displaystyle (X _ {\ infty}, d _ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n}, p_ {n})}$
3. Seja κ ≤0 e seja ( X _n , d _n ) uma sequência de espaços CAT ( κ ) -métricos . Então, o ultralimite também é um espaço CAT ( κ ).${\ displaystyle (X _ {\ infty}, d _ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n}, p_ {n})}$
4. Seja ( X _n , d _n ) uma sequência de espaços CAT ( κ _n ) -métricos onde Então o ultralimite é a árvore real .${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ kappa _ {n} = - \ infty.}$${\ displaystyle (X _ {\ infty}, d _ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n}, p_ {n})}$

Cones assintóticos

Uma classe importante de ultralimites são os chamados cones assintóticos de espaços métricos. Seja ( X , d ) um espaço métrico, seja ω um ultrafiltro não principal on e seja p _n  ∈  X uma sequência de pontos-base. Em seguida, o ω -ultralimit da sequência é chamado o cone assimptótico de X em relação ao co e e é denotado . Freqüentemente, considera-se que a sequência do ponto base é constante, p _n = p para algum p ∈ X ; neste caso, o cone assintótico não depende da escolha de p ∈ X e é denotado por ou apenas . ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (X, {\ frac {d} {n}}, p_ {n})}$${\ displaystyle (p_ {n}) _ {n} \,}$${\ displaystyle Cone _ {\ omega} (X, d, (p_ {n}) _ {n}) \,}$${\ displaystyle Cone _ {\ omega} (X, d) \,}$${\ displaystyle Cone _ {\ omega} (X) \,}$

A noção de um cone assintótico desempenha um papel importante na teoria geométrica dos grupos, uma vez que os cones assintóticos (ou, mais precisamente, seus tipos topológicos e tipos bi-Lipschitz ) fornecem invariantes quase isométricos de espaços métricos em geral e de grupos finitamente gerados em particular. Os cones assintóticos também se revelaram uma ferramenta útil no estudo de grupos relativamente hiperbólicos e suas generalizações.

Exemplos

1. Seja ( X , d ) um espaço métrico compacto e coloque ( X _n , d _n ) = ( X , d ) para cada . Então, o ultralimite é isométrico para ( X , d ).${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (X _ {\ infty}, d _ {\ infty}) = \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n})}$
2. Sejam ( X , d _X ) e ( Y , d _Y ) dois espaços métricos compactos distintos e seja ( X _n , d _n ) uma sequência de espaços métricos de modo que para cada n seja ( X _n , d _n ) = ( X , d _X ) ou ( X _n , d _n ) = ( Y , d _Y ). Deixe e . Assim, A ₁ , A ₂ são disjuntos e Portanto, um de A ₁ , A ₂ tem ω- medida 1 e o outro tem ω- medida 0. Portanto, é isométrico para ( X , d _X ) se ω ( A ₁ ) = 1 e é isométrico para ( Y , d _Y ) se ω ( A ₂ ) = 1. Isso mostra que o ultralimite pode depender da escolha de um ultrafiltro ω .${\ displaystyle A_ {1} = \ {n | (X_ {n}, d_ {n}) = (X, d_ {X}) \} \,}$${\ displaystyle A_ {2} = \ {n | (X_ {n}, d_ {n}) = (Y, d_ {Y}) \} \,}$${\ displaystyle A_ {1} \ cup A_ {2} = \ mathbb {N}.}$${\ displaystyle \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n})}$${\ displaystyle \ lim _ {\ omega} (X_ {n}, d_ {n})}$
3. Seja ( M , g ) ser uma conexo e compacto colector Riemannianos de dimensão m , onde g é um métrica Riemannianos em H . Seja d a métrica em M correspondente ag , de modo que ( M , d ) é um espaço métrico geodésico . Escolha um ponto base p ∈ M . Então, o ultralimite (e mesmo o limite comum de Gromov-Hausdorff ) é isométrico ao espaço tangente T _p M de M em p com a função de distância em T _p M dada pelo produto interno g (p) . Portanto, o ultralimite é isométrico ao espaço euclidiano com a métrica euclidiana padrão .${\ displaystyle \ lim _ {\ omega} (M, nd, p)}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ omega} (M, nd, p)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$
4. Seja o espaço euclidiano m- dimensional padrão com a métrica euclidiana padrão. Então, o cone assintótico é isométrico para .${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {m}, d)}$${\ displaystyle Cone _ {\ omega} (\ mathbb {R} ^ {m}, d)}$${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {m}, d)}$
5. Seja a rede inteira bidimensional onde a distância entre dois pontos da rede é dada pelo comprimento do caminho de aresta mais curto entre eles na grade. Então, o cone assintótico é isométrico até onde está a métrica Taxicab (ou L ¹ -métrica) ligada .${\ displaystyle (\ mathbb {Z} ^ {2}, d)}$${\ displaystyle Cone _ {\ omega} (\ mathbb {Z} ^ {2}, d)}$${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2}, d_ {1})}$${\ displaystyle d_ {1} \,}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$
6. Seja ( X , d ) um espaço métrico geodésico δ- hiperbólico para algum δ ≥0. Então, o cone assintótico é uma árvore real .${\ displaystyle Cone _ {\ omega} (X) \,}$
7. Seja ( X , d ) um espaço métrico de diâmetro finito. Então, o cone assintótico é um ponto único.${\ displaystyle Cone _ {\ omega} (X) \,}$
8. Seja ( X , d ) um espaço CAT (0) -métrico . Então, o cone assintótico também é um espaço CAT (0).${\ displaystyle Cone _ {\ omega} (X) \,}$

Notas de rodapé

Referências

• John Roe. Aulas de geometria grosseira. American Mathematical Society , 2003. ISBN  978-0-8218-3332-2 ; CH. 7
• L.Van den Dries, AJWilkie, On teorema de Gromov sobre grupos de crescimento polinomial e lógica elementar . Journal of Algebra , Vol. 89 (1984), pp. 349-374.
• M. Kapovich B. Leeb. Sobre cones assintóticos e classes de quase isometria de grupos fundamentais de 3-variedades , Geometric and Functional Analysis , Vol. 5 (1995), no. 3, pp. 582-603
• M. Kapovich. Manifolds hiperbólicos e grupos discretos. Birkhäuser, 2000. ISBN  978-0-8176-3904-4 ; CH. 9
• Cornelia Druţu e Mark Sapir (com um apêndice de Denis Osin e Mark Sapir), Espaços graduados por árvores e cones assintóticos de grupos. Topology , Volume 44 (2005), no. 5, pp. 959–1058.
• M. Gromov. Estruturas Métricas para Espaços Riemannianos e Não Riemannianos. Progress in Mathematics vol. 152, Birkhäuser, 1999. ISBN  0-8176-3898-9 ; CH. 3
• B. Kleiner e B. Leeb, Rigidity of quasi-isometries for symmetric space and Euclidean building. Publicações Mathématiques de L'IHÉS . Volume 86, Número 1, dezembro de 1997, pp. 115–197.

Veja também

• Ultrafiltro
• Teoria geométrica do grupo
• Convergência Gromov-Hausdorff