Conjunto universal - Universal set

Na teoria dos conjuntos , um conjunto universal é um conjunto que contém todos os objetos, incluindo ele mesmo. Na teoria dos conjuntos normalmente formulada, a concepção de um conjunto universal leva ao paradoxo de Russell e, conseqüentemente, não é permitida. No entanto, algumas variantes não padronizadas da teoria dos conjuntos incluem um conjunto universal.

Notação

Não existe uma notação padrão para o conjunto universal de uma dada teoria de conjuntos. Símbolos comuns incluem V , L , ξ e S .

Razões de inexistência

Muitas teorias de conjuntos não permitem a existência de um conjunto universal. Por exemplo, é diretamente contradito pelos axiomas como o axioma da regularidade e sua existência implicaria em inconsistências. A teoria dos conjuntos padrão de Zermelo – Fraenkel é baseada na hierarquia cumulativa .

Paradoxo de Russell

O paradoxo de Russell impede a existência de um conjunto universal na teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel e outras teorias de conjuntos que incluem o axioma de compreensão de Zermelo . Este axioma afirma que, para qualquer fórmula e qualquer conjunto A , existe um conjunto ${\ displaystyle \ varphi (x)}$

${\ displaystyle \ {x \ in A \ mid \ varphi (x) \}}$

que contém exatamente aqueles elementos x de A que satisfazem . ${\ displaystyle \ varphi}$

Com escolhido como , segue-se que o subconjunto nunca é membro de , uma vez que, como Bertrand Russell observou, a alternativa é paradoxal: se se contém, então não deve se conter e vice-versa. ${\ displaystyle \ varphi (x)}$${\ displaystyle x \ notin x}$${\ displaystyle B = \ {x \ in A \ mid x \ not \ in x \}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Assim, uma vez que para cada conjunto podemos encontrar um conjunto que ele não contém, também não existe um conjunto de todos os conjuntos. Isso de fato se aplica até mesmo à compreensão predicativa e à lógica intuicionista .

Teorema de Cantor

Uma segunda dificuldade com a ideia de um conjunto universal diz respeito ao conjunto de potência do conjunto de todos os conjuntos. Como esse conjunto de potência é um conjunto de conjuntos, seria necessariamente um subconjunto do conjunto de todos os conjuntos, desde que ambos existissem. No entanto, isso entra em conflito com o teorema de Cantor de que o conjunto de potências de qualquer conjunto (seja infinito ou não) sempre tem cardinalidade estritamente mais alta do que o próprio conjunto.

Teorias de universalidade

As dificuldades associadas a um conjunto universal podem ser evitadas usando uma variante da teoria dos conjuntos em que o axioma da compreensão é restrito de alguma forma, ou usando um objeto universal que não é considerado um conjunto.

Compreensão restrita

Existem teorias de conjuntos conhecidas por serem consistentes (se a teoria de conjuntos usual for consistente) nas quais o conjunto universal V existe (e é verdadeiro). Nessas teorias, o axioma de compreensão de Zermelo não se sustenta em geral, e o axioma de compreensão da teoria ingênua dos conjuntos é restringido de uma maneira diferente. Uma teoria de conjuntos contendo um conjunto universal é necessariamente uma teoria de conjuntos não bem fundamentada . A teoria dos conjuntos mais amplamente estudada com um conjunto universal é Willard Van Orman Quine 's New Foundations . Alonzo Church e Arnold Oberschelp também publicaram trabalhos sobre tais teorias de conjuntos. Church especulou que sua teoria poderia ser estendida de uma maneira consistente com a de Quine, mas isso não é possível para Oberschelp, uma vez que nela a função do singleton é provavelmente um conjunto, o que leva imediatamente ao paradoxo em Novos Fundamentos. ${\ displaystyle V \ in V}$

Outro exemplo é a teoria dos conjuntos positivos , em que o axioma da compreensão se restringe a valer apenas para as fórmulas positivas (fórmulas que não contêm negações). Essas teorias de conjuntos são motivadas por noções de fechamento em topologia.

Objetos universais que não são conjuntos

A ideia de um conjunto universal parece intuitivamente desejável na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel , particularmente porque a maioria das versões desta teoria permite o uso de quantificadores sobre todos os conjuntos (ver quantificador universal ). Uma maneira de permitir que um objeto que se comporte de maneira semelhante a um conjunto universal, sem criar paradoxos, é descrever V e grandes coleções semelhantes como classes próprias em vez de conjuntos. Uma diferença entre um conjunto universal e uma classe universal é que a classe universal não se contém a si mesma, porque classes próprias não podem ser elementos de outras classes. O paradoxo de Russell não se aplica a essas teorias porque o axioma da compreensão opera em conjuntos, não em classes.

A categoria de conjuntos também pode ser considerada um objeto universal que, novamente, não é ela mesma um conjunto. Possui todos os conjuntos como elementos e também inclui setas para todas as funções de um conjunto para outro. Novamente, ele não se contém, porque ele mesmo não é um conjunto.

Veja também

• Universo (matemática)
• Universo Grothendieck
• Domínio do discurso

Notas

Referências

• Alonzo Church (1974). “Set Theory with a Universal Set,” Proceedings of the Tarski Symposium. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXV, ed. L. Henkin, American Mathematical Society, pp. 297-308.
• TE Forster (1995). Teoria dos conjuntos com um conjunto universal: explorando um universo não tipado (Oxford Logic Guides 31) . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 0-19-851477-8.
• TE Forster (2001). “Teoria dos conjuntos da Igreja com um conjunto universal.”
• Bibliografia: Teoria dos conjuntos com um conjunto universal , originada por TE Forster e mantida por Randall Holmes.
• Arnold Oberschelp (1973). “Set Theory over Classes,” Dissertationes Mathematicae 106.
• Willard Van Orman Quine (1937) “New Foundations for Mathematical Logic,” American Mathematical Monthly 44, pp. 70-80.

links externos

• Weisstein, Eric W. "Conjunto Universal" . MathWorld .