Von Neumann paradoxo - Von Neumann paradox

Em matemática , o paradoxo von Neumann , em homenagem a John von Neumann , é a ideia de que é possível quebrar uma figura plana, como o quadrado unitário em conjuntos de pontos e submeter cada conjunto a uma transformação afim de preservação da área de tal forma que o resultado é de dois figuras planas do mesmo tamanho que o original. Isto foi provado em 1929 por John von Neumann , assumindo o axioma da escolha . Ele é baseado na mais próxima paradoxo de Banach-Tarski , que por sua vez é baseado no paradoxo de Hausdorff .

Banach e Tarski provou que, usando transformações isométricas , o resultado de desmontar e remontar uma figura bidimensional seria necessariamente ter a mesma área que o original. Isto faria com que a criação de dois quadrados de unidades fora do impossível. Mas von Neumann percebeu que o truque de tais chamados decomposições paradoxais foi o uso de um grupo de transformações que incluem como um subgrupo de um grupo livre com dois geradores . O grupo de transformações de preservação da área (se o grupo linear especial ou o grupo afim especial ) contém esses subgrupos, e isso abre a possibilidade de realizar decomposições paradoxais usá-los.

Esboço do método

O seguinte é uma descrição informal do método do estudo de von Neumann. Assume-se que temos um grupo livre H de transformações lineares de preservação da área gerados por duas transformações, σ e τ, que são não muito longe do elemento de identidade. Sendo um grupo livre significa que todos os seus elementos pode ser expressa exclusivamente na forma por algum n , onde os s e s são todos os inteiros diferentes de zero, exceto, possivelmente, o primeiro eo último . Podemos dividir este grupo em duas partes: os que começam na esquerda com σ a algum diferente de zero de energia (nós chamamos este conjunto A ) e aqueles que começam com τ a alguma potência (ou seja, é zero chamamos esse conjunto B , e inclui a identidade). ${\ Displaystyle \ sigma ^ {u_ {1}} \ tau ^ {v_ {1}} \ sigma ^ {u_ {2}} \ tau ^ {v_ {2}} \ cdots \ sigma ^ {u_ {n}} \ tau ^ {v_ {n}}}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle u_ {1}}$

Se operar em qualquer ponto euclidiano 2-espaço, os vários elementos de H temos o que é chamado a órbita desse ponto. Todos os pontos no plano, assim, podem ser classificados em órbitas, dos quais há um número infinito com a cardinalidade do contínuo . Usando o axioma da escolha , podemos escolher um ponto em cada órbita e chamar o conjunto destes pontos M . Nós excluir a origem, que é um ponto fixo no H . Se, em seguida, operar em M por todos os elementos de H , geramos cada ponto do plano (excepto a origem) apenas uma vez. Se operar em M por todos os elementos de A ou de B , temos dois conjuntos disjuntos cuja união é todos os pontos, mas a origem.

Agora vamos levar alguma figura como o quadrado da unidade ou o disco de unidade. Em seguida, escolher outra figura totalmente dentro dela, como um quadrado menor, centrado na origem. Podemos cobrir a figura grande com várias cópias da figura pequena, embora com alguns pontos cobertos por duas ou mais cópias. Então podemos atribuir a cada ponto da figura grande para uma das cópias da figura pequena. Vamos chamar os conjuntos correspondentes a cada cópia . Vamos agora fazer um mapeamento um-para-um de cada ponto na grande figura a um ponto em seu interior, usando apenas transformações de preservação da área. Tomamos os pontos pertencentes a e traduzi-los de modo que o centro da praça está na origem. Em seguida, tomar os pontos em que ela estão no conjunto A definido acima e operar sobre eles pela τ operação σ de preservação da área. Isso coloca-los em conjunto B . Em seguida, tomar os pontos pertencentes a B e operar sobre eles com σ ² . Eles vão agora ainda estar em B , mas o conjunto destes pontos será desmembrado do conjunto anterior. Nós proceder desta maneira, usando σ ³ τ nas A pontos de C ₂ (após a centrá-la) e σ ⁴ sobre suas B pontos, e assim por diante. Desta forma, temos mapeados todos os pontos da figura grande (com exceção de alguns pontos fixos) de uma forma um-para-um para B pontos de tipo não muito longe do centro, e dentro da grande figura. Podemos, então, fazer uma segunda mapeamento para um pontos de tipo. ${\ Displaystyle C_ {1}, C_ {2}, \ pontos, C_ {m}}$${\ Displaystyle C_ {1}}$${\ Displaystyle C_ {1}}$

Neste ponto, podemos aplicar o método do teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder . Este teorema nos diz que se nós temos uma injeção de conjunto D para definir E (tal como de grande valor para os Uma pontos de tipo nele), e uma injeção de E para D (como o mapeamento de identidade do Um pontos de tipo na figura para si mesmos), então existe uma correspondência de um-para-um entre D e e . Em outras palavras, ter um mapeamento a partir da figura grande para um subconjunto de A pontos nele, podemos fazer um mapeamento (a bijection) a partir da figura grande para todos os Uma pontos na mesma. (Em algumas regiões, os pontos são mapeados para si mesmos, em outros eles são mapeados utilizando o mapeamento descrito no parágrafo anterior.) Do mesmo modo que pode fazer um mapeamento a partir da figura grande para todos os B pontos na mesma. Então, olhando para isso de outra maneira, podemos separar a figura em suas A e B pontos, em seguida, mapear cada um deles de volta para toda a figura (ou seja, contendo os dois tipos de pontos)!

Este esboço encobre algumas coisas, tais como a forma de lidar com pontos fixos. Acontece que mais mapeamentos e mais conjuntos são necessários para resolver este.

Consequências

O paradoxo para a praça pode ser reforçada como segue:

Quaisquer dois subconjuntos limitados do plano euclidiano com interiores não vazios são equidecomposable com respeito ao mapas afim de preservação da área.

Isto tem consequências sobre o problema da medida . Como observa von Neumann,

"Infolgedessen gibt es bereits in der Ebene kein nichtnegatives aditivos massa (WO das Einheitsquadrat das massa um chapéu), dass [sic] gegenüber Allen Abbildungen von Um ₂ wäre invariante."

"Em conformidade com isso, já no plano não há nenhuma medida aditivo não negativo (para o qual o quadrado unidade tem uma medida de 1), que é invariante no que diz respeito a todas as transformações que pertencem a uma ₂ [o grupo de área de preservação transformações afins ] ".

Para explicar isso um pouco mais, a questão de saber se uma medida finitamente aditiva existe, que é preservada sob certas transformações, depende do que transformações são permitidos. A medida Banach de conjuntos no plano, que é preservada por translações e rotações, não é preservada por transformações não isométricas mesmo quando eles preservar a área de polígonos. Como explicado acima, os pontos do plano (exceto a origem) pode ser dividido em dois conjuntos densos que podemos chamar de A e B . Se os Uma pontos de um determinado polígono são transformados por uma certa transformação de preservação da área e os B pontos por outro, ambos os conjuntos podem tornar-se subconjuntos dos B pontos em dois novos polígonos. Os novos polígonos têm a mesma área que o antigo polígono, mas os dois conjuntos transformados não podem ter a mesma medida como antes (uma vez que contêm apenas uma parte dos B pontos), e, portanto, não há nenhuma medida que "funciona".

A classe de grupos isolados por von Neumann, no decurso de estudo de fenómenos de Banach-Tarski acabou por ser muito importante para muitas áreas da matemática: estes são grupos susceptíveis , ou grupos com uma média invariante, e incluem todos finito e todos os grupos que podem ser resolvidos . De um modo geral, decomposições paradoxais surgem quando o grupo usado para equivalências na definição de equidecomposability é não receptivo.

progressos recentes

Papel de von Neumann deixou em aberto a possibilidade de uma decomposição paradoxal do interior da unidade quadrado com relação ao grupo linear SL (2, R ) (Wagon, Pergunta 7.4). Em 2000, Miklós Laczkovich provou que existe uma decomposição. Mais precisamente, vamos A ser a família de todos os subconjuntos limitados do plano com interior não vazio ea uma distância positiva desde a origem, e B a família de todos os conjuntos planares com a propriedade que uma união de finitamente muitos traduz em alguns elementos de SL (2, R ) contém um bairro perfurado da origem. Em seguida, todos os conjuntos na família A são SL (2, R ) -equidecomposable, e da mesma forma para os conjuntos em B . Segue-se que ambas as famílias consistem em conjuntos paradoxais.

Referências