Número Womersley - Womersley number

O número de Womersley ( α ou ) é um número adimensional na mecânica e na dinâmica dos biofluidos . É uma expressão adimensional da frequência de fluxo pulsátil em relação aos efeitos viscosos . Recebeu o nome de John R. Womersley (1907–1958) por seu trabalho com o fluxo sanguíneo nas artérias . O número de Womersley é importante para manter a similaridade dinâmica ao dimensionar um experimento. Um exemplo disso é a ampliação do sistema vascular para estudo experimental. O número de Womersley também é importante para determinar a espessura da camada limite para ver se os efeitos de entrada podem ser ignorados. ${\ displaystyle {\ text {Wo}}}$

Esta raiz quadrada deste número também é referido como número de Stokes , devido ao trabalho pioneiro feito por Sir George Stokes nas Stokes segundo problema . ${\ displaystyle {\ text {St}} = {\ sqrt {\ text {Wo}}}}$

Derivação

O número de Womersley, geralmente denotado , é definido pela relação ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ alpha ^ {2} = {\ frac {\ text {força inercial transitória}} {\ text {força viscosa}}} = {\ frac {\ rho \ omega U} {\ mu UL ^ {- 2 }}} = {\ frac {\ omega L ^ {2}} {\ mu \ rho ^ {- 1}}} = {\ frac {\ omega L ^ {2}} {\ nu}} \ ,,}$

onde L é uma escala de comprimento apropriada (por exemplo, o raio de um tubo), ω é a frequência angular das oscilações e ν , ρ , μ são a viscosidade cinemática , densidade e viscosidade dinâmica do fluido, respectivamente. O número Womersley é normalmente escrito na forma impotente

${\ displaystyle \ alpha = L \ left ({\ frac {\ omega \ rho} {\ mu}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ ,.}$

No sistema cardiovascular, a frequência de pulsação, densidade e viscosidade dinâmica são constantes, porém o comprimento característico , que no caso do fluxo sanguíneo é o diâmetro do vaso, varia em três ordens de magnitudes (OoM) entre a aorta e os capilares finos. O número de Womersley, portanto, muda devido às variações no tamanho dos vasos ao longo do sistema vascular. O número de Womersley do fluxo sanguíneo humano pode ser estimado da seguinte forma:

${\ displaystyle \ alpha = L \ left ({\ frac {\ omega \ rho} {\ mu}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ ,.}$

Abaixo está uma lista de números estimados de Womersley em diferentes vasos sanguíneos humanos:

Navio	Diâmetro (m)	${\ displaystyle \ alpha}$
Aorta	0,025	13,83
Artéria	0,004	2,21
Arteríola	3⋅10 ^ -5	0,0166
Capilar	8⋅10 ^ -6	4,43⋅10 ^ -3
Venule	2⋅10-5	0,011
Veias	0,005	2,77
Veia cava	0,03	16,6

Também pode ser escrito em termos do número de Reynolds adimensional (Re) e número de Strouhal (St):

${\ displaystyle \ alpha = \ left (2 \ pi \, \ mathrm {Re} \, \ mathrm {St} \ right) ^ {1/2} \ ,.}$

O número de Womersley surge na solução das equações linearizadas de Navier-Stokes para fluxo oscilatório (presumivelmente laminar e incompressível) em um tubo. Ele expressa a razão entre a força de inércia transitória ou oscilatória e a força de cisalhamento. Quando é pequeno (1 ou menos), significa que a frequência das pulsações é suficientemente baixa para que um perfil de velocidade parabólica tenha tempo para se desenvolver durante cada ciclo, e o fluxo estará quase em fase com o gradiente de pressão, e será fornecido para uma boa aproximação pela lei de Poiseuille , usando o gradiente de pressão instantâneo. Quando é grande (10 ou mais), significa que a frequência das pulsações é suficientemente grande para que o perfil de velocidade seja relativamente plano ou semelhante a um tampão, e o fluxo médio atrasa o gradiente de pressão em cerca de 90 graus. Junto com o número de Reynolds, o número de Womersley governa a similaridade dinâmica. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$

A espessura da camada limite associada à aceleração transiente está inversamente relacionada ao número de Womersley. Isso pode ser visto reconhecendo o número de Womersley como a raiz quadrada do número de Stokes . ${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle \ delta = \ left (L / \ alpha \ right) = \ left ({\ frac {L} {\ sqrt {\ mathrm {Stk}}}} \ right),}$

onde L é um comprimento característico.

Mecânica de Biofluidos

Em uma rede de distribuição de fluxo que progride de um tubo grande para muitos tubos pequenos (por exemplo, uma rede de vasos sanguíneos), a frequência, densidade e viscosidade dinâmica são (geralmente) as mesmas em toda a rede, mas os raios do tubo mudam. Portanto, o número de Womersley é grande em vasos grandes e pequeno em vasos pequenos. À medida que o diâmetro do vaso diminui com cada divisão, o número de Womersley logo se torna bem pequeno. Os números de Womersley tendem a 1 no nível das artérias terminais. Nas arteríolas, capilares e vênulas, os números de Womersley são menores que um. Nessas regiões, a força de inércia torna-se menos importante e o fluxo é determinado pelo equilíbrio das tensões viscosas e do gradiente de pressão. Isso é chamado de microcirculação .

Alguns valores típicos para o número de Womersley no sistema cardiovascular de um canino a uma frequência cardíaca de 2 Hz são:

• Aorta ascendente - 13,2
• Aorta descendente - 11,5
• Aorta abdominal - 8
• Artéria femoral - 3,5
• Artéria carótida - 4,4
• Arteríolas —0,04
• Capilares - 0,005
• Vênulas - 0,035
• Veia cava inferior - 8,8
• Artéria pulmonar principal - 15

Tem-se argumentado que as leis de escala biológica universal (relações de potência-lei que descrevem a variação de quantidades, como taxa metabólica, tempo de vida, comprimento, etc., com a massa corporal) são uma consequência da necessidade de minimização de energia, a natureza fractal do sistema vascular redes, e o cruzamento de alto para baixo fluxo de número de Womersley à medida que se progride de navios grandes para pequenos.

Referências