Absorção (lógica) - Absorption (logic)

Regras de transformação
Cálculo proposicional
Regras de inferência
Introdução  / eliminação de implicações ( modus ponens ) Introdução  / eliminação bicondicional Introdução  / eliminação de conjunção Introdução  / eliminação de disjunção Silogismo disjuntivo  / hipotético Dilema construtivo  / destrutivo Absorção  / modus tollens  / modus ponendo tollens
Regras de substituição
Associatividade Comutatividade Distributividade Negação dupla Leis De Morgan Transposição Implicação material Exportação Tautologia Introdução de negação
Lógica de predicado
Generalização  / instanciação universal Generalização  / instanciação existencial
v t e

A absorção é uma forma de argumento válida e regra de inferência da lógica proposicional . A regra afirma que se implica , então implica e . A regra permite introduzir conjunções às provas . É chamada de lei de absorção porque o termo é "absorvido" pelo termo no conseqüente . A regra pode ser declarada: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle {\ frac {P \ to Q} {\ portanto P \ to (P \ land Q)}}}$

onde a regra é que sempre que uma instância de " " aparecer em uma linha de uma prova, " " pode ser colocado em uma linha subsequente. ${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle P \ to (P \ land Q)}$

Notação formal

A regra de absorção pode ser expressa como um sequente :

${\ displaystyle P \ to Q \ vdash P \ to (P \ land Q)}$

onde está um símbolo metalógico que significa que é uma consequência sintática de algum sistema lógico ; ${\ displaystyle \ vdash}$${\ displaystyle P \ to (P \ land Q)}$${\ displaystyle (P \ rightarrow Q)}$

e expresso como uma tautologia funcional de verdade ou teorema da lógica proposicional . O princípio foi declarado como um teorema da lógica proposicional por Russell e Whitehead em Principia Mathematica como:

${\ displaystyle (P \ to Q) \ leftrightarrow (P \ to (P \ land Q))}$

onde , e são proposições expressas em algum sistema formal . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

Exemplos

Se chover, usarei meu casaco.
Portanto, se chover, então choverá e eu usarei meu casaco.

Prova por tabela de verdade

${\ displaystyle P}$	${\ displaystyle Q}$	${\ displaystyle P \ rightarrow Q}$	${\ displaystyle P \ rightarrow (P \ land Q)}$
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	T	T
F	F	T	T

Prova formal

Proposição	Derivação
${\ displaystyle P \ rightarrow Q}$	Dado
${\ displaystyle \ neg P \ lor Q}$	Implicação material
${\ displaystyle \ neg P \ lor P}$	Lei do Meio Excluído
${\ displaystyle (\ neg P \ lor P) \ land (\ neg P \ lor Q)}$	Conjunção
${\ displaystyle \ neg P \ lor (P \ land Q)}$	Distribuição Reversa
${\ displaystyle P \ rightarrow (P \ land Q)}$	Implicação material

Veja também

• Lei de Absorção

Referências