Aceleração (geometria diferencial) - Acceleration (differential geometry)

Em matemática e física , a aceleração é a taxa de variação da velocidade de uma curva em relação a uma determinada conexão linear . Esta operação nos fornece uma medida da taxa e direção da "curva".

Definição formal

Considere um manifold diferenciável com uma determinada conexão . Let Ser uma curva com vetor tangente , ou seja, velocidade,, com parâmetro . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ gamma \ colon \ mathbb {R} \ para M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (\ tau)}$${\ displaystyle \ tau}$

O vetor de aceleração de é definido por , onde denota a derivada covariante associada a . ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}}}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle \ Gamma}$

É uma derivada covariante , e muitas vezes é denotada por ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = {\ frac {\ nabla {\ dot {\ gamma}}} {d \ tau}}.}$

Com relação a um sistema de coordenadas arbitrário , e sendo os componentes da conexão (ou seja, derivada covariante ) em relação a este sistema de coordenadas, definido por ${\ displaystyle (x ^ {\ mu})}$${\ displaystyle (\ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu})}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu}: = \ nabla _ {\ parcial / \ parcial x ^ {\ mu}}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ partial / \ partial x ^ {\ mu}} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ nu}}} = \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ lambda}}},}$

para o campo de vetor de aceleração obtém-se: ${\ displaystyle a ^ {\ mu}: = (\ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}}) ^ {\ mu}}$

${\ displaystyle a ^ {\ mu} = v ^ {\ rho} \ nabla _ {\ rho} v ^ {\ mu} = {\ frac {dv ^ {\ mu}} {d \ tau}} + \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ nu \ lambda} v ^ {\ nu} v ^ {\ lambda} = {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {d \ tau ^ {2 }}} + \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ nu \ lambda} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} {\ frac {dx ^ {\ lambda}} {d \ tau}},}$

onde é a expressão local para o caminho e . ${\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ tau): = \ gamma ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle v ^ {\ rho}: = ({\ dot {\ gamma}}) ^ {\ rho}}$

O conceito de aceleração é um conceito derivado covariante. Em outras palavras, para definir a aceleração, uma estrutura adicional on deve ser fornecida. ${\ displaystyle M}$

Usando a notação de índice abstrato , a aceleração de uma dada curva com vetor tangente unitário é dada por . ${\ displaystyle \ xi ^ {a}}$${\ displaystyle \ xi ^ {b} \ nabla _ {b} \ xi ^ {a}}$

Veja também

• Aceleração
• Derivado covariante

Notas

Referências

• Friedman, M. (1983). Fundamentos das teorias do espaço-tempo . Princeton: Princeton University Press. ISBN   0-691-07239-6 .
• Dillen, FJE; Verstraelen, LCA (2000). Manual de geometria diferencial . Volume 1. Amsterdam: North-Holland. ISBN   0-444-82240-2 .
• Pfister, Herbert; King, Markus (2015). Inércia e Gravitação. A Natureza e Estrutura Fundamentais do Espaço-Tempo . The Lecture Notes in Physics. Volume 897. Heidelberg: Springer. doi : 10.1007 / 978-3-319-15036-9 . ISBN   978-3-319-15035-2 .