Vetor tangente - Tangent vector

Em matemática , um vector tangente é um vector que é tangente a uma curva ou superfície em um determinado ponto. Os vetores tangentes são descritos na geometria diferencial das curvas no contexto das curvas em R ⁿ . Mais geralmente, os vetores tangentes são elementos de um espaço tangente de uma variedade diferenciável . Os vetores tangentes também podem ser descritos em termos de germes . Formalmente, um vetor tangente no ponto é uma derivação linear da álgebra definida pelo conjunto de germes em . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Motivação

Antes de prosseguir para uma definição geral do vetor tangente, discutimos seu uso em cálculo e suas propriedades tensoriais .

Cálculo

Let Ser uma curva suave paramétrica . O vetor tangente é dado por , onde usamos um primo em vez do ponto usual para indicar a diferenciação em relação ao parâmetro t . O vetor tangente unitário é dado por ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {r} ^ {\ prime} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} (t) = {\ frac {\ mathbf {r} ^ {\ prime} (t)} {| \ mathbf {r} ^ {\ prime} (t) |}} \, .}$

Exemplo

Dada a curva

${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ {(1 + t ^ {2}, e ^ {2t}, \ cos {t}) | \ t \ in \ mathbb {R} \}}$

em , o vetor tangente unitário em é dado por ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} (0) = {\ frac {\ mathbf {r} ^ {\ prime} (0)} {\ | \ mathbf {r} ^ {\ prime} (0) \ |}} = \ left. {\ frac {(2t, 2e ^ {2t}, \ - \ sin {t})} {\ sqrt {4t ^ {2} + 4e ^ {4t} + \ sin ^ {2} {t }}}} \ right | _ {t = 0} = (0,1,0) \ ,.}$

Contravariância

Se é dado parametricamente no sistema de coordenadas n- dimensional x ⁱ (aqui usamos sobrescritos como um índice em vez do subscrito usual) por ou ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = (x ^ {1} (t), x ^ {2} (t), \ ldots, x ^ {n} (t))}$

${\ displaystyle \ mathbf {r} = x ^ {i} = x ^ {i} (t), \ quad a \ leq t \ leq b \ ,,}$

então o campo vetorial tangente é dado por ${\ displaystyle \ mathbf {T} = T ^ {i}}$

${\ displaystyle T ^ {i} = {\ frac {dx ^ {i}} {dt}} \,}$

Sob uma mudança de coordenadas

${\ displaystyle u ^ {i} = u ^ {i} (x ^ {1}, x ^ {2}, \ ldots, x ^ {n}), \ quad 1 \ leq i \ leq n}$

o vector tangente na u ⁱ sistema de coordenada x é dada pela ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {T}}} = {\ bar {T}} ^ {i}}$

${\ displaystyle {\ bar {T}} ^ {i} = {\ frac {du ^ {i}} {dt}} = {\ frac {\ parcial u ^ {i}} {\ parcial x ^ {s} }} {\ frac {dx ^ {s}} {dt}} = T ^ {s} {\ frac {\ parcial u ^ {i}} {\ parcial x ^ {s}}}}$

onde usamos a convenção de soma de Einstein . Portanto, um vetor tangente de uma curva suave se transformará em um tensor contravariante de ordem um sob uma mudança de coordenadas.

Definição

Seja uma função diferenciável e seja um vetor . Definimos a derivada direcional na direção em um ponto por ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle D _ {\ mathbf {v}} f (\ mathbf {x}) = \ left. {\ frac {d} {dt}} f (\ mathbf {x} + t \ mathbf {v}) \ right | _ {t = 0} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x_ {i}}} (\ mathbf {x}) \, .}$

O vetor tangente no ponto pode então ser definido como ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} (f (\ mathbf {x})) \ equiv (D _ {\ mathbf {v}} (f)) (\ mathbf {x}) \ ,.}$

Propriedades

Sejam funções diferenciáveis, sejam vetores tangentes em at e let . Então ${\ displaystyle f, g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}, \ mathbf {w}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$

1. ${\ displaystyle (a \ mathbf {v} + b \ mathbf {w}) (f) = a \ mathbf {v} (f) + b \ mathbf {w} (f)}$
2. ${\ displaystyle \ mathbf {v} (af + bg) = a \ mathbf {v} (f) + b \ mathbf {v} (g)}$
3. ${\ displaystyle \ mathbf {v} (fg) = f (\ mathbf {x}) \ mathbf {v} (g) + g (\ mathbf {x}) \ mathbf {v} (f) \ ,.}$

Vetor tangente em variedades

Let Ser uma variedade diferenciável e deixe ser a álgebra de funções diferenciáveis ​​de valor real em . Em seguida, o vetor tangente a um ponto na variedade é dado pela derivação que deve ser linear - ou seja, para qualquer e temos ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A (M)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle D_ {v}: A (M) \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f, g \ in A (M)}$${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle D_ {v} (af + bg) = aD_ {v} (f) + bD_ {v} (g) \,}$

Observe que a derivação terá, por definição, a propriedade Leibniz

${\ displaystyle D_ {v} (f \ cdot g) (x) = D_ {v} (f) (x) \ cdot g (x) + f (x) \ cdot D_ {v} (g) (x) \ ,.}$

Veja também

• Superfície diferenciável # Plano tangente e vetor normal

Referências

Bibliografia

• Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces , Boca Raton: CRC Press.
• Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts , Austrália: Thomson / Brooks / Cole.
• Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus , Nova York: McGraw-Hill.