Representação de Gelfand - Gelfand representation

Na matemática , a representação de Gelfand na análise funcional (em homenagem a IM Gelfand ) é uma de duas coisas:

• uma forma de representar conmutativos algebras Banach como álgebra de funções contínuas;
• o fato de que para álgebras C * comutativas , esta representação é um isomorfismo isométrico.

No primeiro caso, pode-se considerar a representação de Gelfand como uma generalização de longo alcance da transformada de Fourier de uma função integrável. No último caso, o teorema da representação de Gelfand-Naimark é uma via no desenvolvimento da teoria espectral para operadores normais e generaliza a noção de diagonalizar uma matriz normal .

Observações históricas

Uma das aplicações originais de Gelfand (e que historicamente motivou muito do estudo das álgebras de Banach) foi dar uma prova muito mais curta e mais conceitual de um famoso lema de Norbert Wiener (veja a citação abaixo), caracterizando os elementos das álgebras de grupo L ¹ ( R ) e cuja tradução abrange subespaços densos nas respectivas álgebras. ${\ displaystyle \ ell ^ {1} ({\ mathbf {Z}})}$

O modelo de álgebra

Para qualquer espaço topológico X de Hausdorff localmente compacto , o espaço C ₀ ( X ) de funções de valor complexo contínuas em X que desaparecem no infinito é de uma forma natural uma álgebra C * comutativa:

• A estrutura da álgebra sobre os números complexos é obtida considerando as operações pontuais de adição e multiplicação.
• A involução é uma conjugação complexa pontual.
• A norma é a norma uniforme sobre funções.

A importância de X ser localmente compacto e de Hausdorff é que isso transforma X em um espaço completamente regular . Nesse espaço, cada subconjunto fechado de X é o conjunto zero comum de uma família de funções contínuas de valor complexo em X , permitindo que se recupere a topologia de X de C ₀ ( X ).

Note-se que C ₀ ( X ) é unital se e somente se X é compacto , caso em que C ₀ ( X ) é igual a C ( X ), o álgebra de todas as funções de valor complexo contínuas em X .

Representação de Gelfand de uma álgebra de Banach comutativa

Let Ser uma álgebra de Banach comutativa , definida sobre o campo dos números complexos. Um homomorfismo de álgebra diferente de zero (um funcional linear multiplicativo) é chamado de caractere de ; o conjunto de todos os caracteres de é denotado por . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ Phi \ colon A \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$

Pode-se mostrar que cada caractere on é automaticamente contínuo e, portanto, é um subconjunto do espaço de funcionais lineares contínuos on ; além disso, quando equipado com a topologia fraca- * relativa , acaba sendo localmente compacto e de Hausdorff. (Isso segue do teorema de Banach-Alaoglu .) O espaço é compacto (na topologia recém-definida) se e somente se a álgebra tiver um elemento de identidade. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ displaystyle A}$

Dado , define-se a função por . A definição e a topologia nele garantem que seja contínuo e desapareça no infinito , e que o mapa defina um homomorfismo de álgebra com redução de normas e preservação de unidade de a . Esse homomorfismo é a representação de Gelfand e a transformação de Gelfand do elemento . Em geral, a representação não é injetiva nem sobrejetiva. ${\ displaystyle a \ in A}$${\ displaystyle {\ widehat {a}}: \ Phi _ {A} \ to {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle {\ widehat {a}} (\ phi) = \ phi (a)}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ displaystyle {\ widehat {a}}}$${\ displaystyle a \ mapsto {\ widehat {a}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C_ {0} (\ Phi _ {A})}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ widehat {a}}}$${\ displaystyle a}$

No caso em que tem um elemento de identidade, há uma bijeção entre e o conjunto de ideais máximos em (isso se baseia no teorema de Gelfand-Mazur ). Como consequência, o núcleo da representação de Gelfand pode ser identificado com o radical Jacobson de . Assim, a representação de Gelfand é injetiva se e somente se for (Jacobson) semisimples . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A \ a C_ {0} (\ Phi _ {A})}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Exemplos

No caso em que , a álgebra de grupo de , então é homeomórfica a e a transformada de Gelfand de é a transformada de Fourier . ${\ displaystyle A = L ^ {1} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f \ in L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$

No caso em que , a álgebra de convolução da meia-linha real é homeomórfica a , e a transformada de Gelfand de um elemento é a transformada de Laplace . ${\ displaystyle A = L ^ {1} (\ mathbb {R} _ {+})}$${\ displaystyle L ^ {1}}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C} ~ \ dois pontos ~ \ operatorname {Re} (z) \ geq 0 \}}$${\ displaystyle f \ in L ^ {1} (\ mathbb {R} _ {+})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} f}$

O caso C * -álgebra

Como motivação, considere o caso especial A = C ₀ ( X ). Dado x em X , seja uma avaliação pontual em x , ie . Então é um caractere em A , e pode ser mostrado que todos os caracteres de A são desta forma; uma análise mais precisa mostra que podemos identificar Φ _A com X , não apenas como conjuntos, mas como espaços topológicos. A representação de Gelfand é então um isomorfismo ${\ displaystyle \ varphi _ {x} \ in A ^ {*}}$${\ displaystyle \ varphi _ {x} (f) = f (x)}$${\ displaystyle \ varphi _ {x}}$

${\ displaystyle C_ {0} (X) \ a C_ {0} (\ Phi _ {A}). \}$

O espectro de uma álgebra C * comutativa

O espectro ou espaço de Gelfand de uma C * -álgebra A comutativa , denotada por  , consiste no conjunto de homomorfismos diferentes de zero * de A aos números complexos. Elementos do espectro são chamados personagens em A . (Pode-se mostrar que todo homomorfismo de álgebra de A aos números complexos é automaticamente um * -homomorfismo , de modo que esta definição do termo 'personagem' concorda com a anterior.)

Em particular, o espectro de uma álgebra C * comutativa é um espaço de Hausdorff localmente compacto: No caso unital, ou seja, onde a álgebra C * tem um elemento de unidade multiplicativa 1, todos os caracteres f devem ser unitais, ou seja, f (1) é o complexo número um. Isso exclui o homomorfismo zero. Portanto,  é fechado sob convergência fraca- * e o espectro é realmente compacto . No caso não unital, o fechamento fraco- * de  é  ∪ {0}, onde 0 é o homomorfismo zero, e a remoção de um único ponto de um espaço de Hausdorff compacto produz um espaço de Hausdorff localmente compacto.

Observe que espectro é uma palavra sobrecarregada. Também se refere ao espectro σ ( x ) de um elemento x de uma álgebra com uma unidade, isto é o conjunto de números complexos de r para a qual x  -  r 1 não pode ser invertida em uma . Para unital C * -álgebras, os dois conceitos são ligados na seguinte maneira: σ ( x ) é o conjunto de números complexos f ( x ), onde f gamas mais espaço de Gelfand Uma . Junto com a fórmula do raio espectral , isso mostra que  é um subconjunto da bola unitária de A * e, como tal, pode receber a topologia relativa fraca- *. Esta é a topologia da convergência pontual. Uma rede { f _k } _k de elementos do espectro de A converge para f se e somente se para cada x em A , a rede de números complexos { f _k ( x )} _k converge para f ( x ).

Se A for uma álgebra C * separável , a topologia fraca- * será metrizável em subconjuntos limitados. Assim, o espectro de uma C * -álgebra A separável comutativa pode ser considerado um espaço métrico. Portanto, a topologia pode ser caracterizada por meio da convergência de sequências.

De forma equivalente, σ ( x ) é o intervalo de γ ( x ), onde γ é a representação de Gelfand.

Declaração do teorema de Gelfand-Naimark comutativo

Deixe Um ser um conmutativo C * -álgebra e deixar X ser o espectro de Uma . Deixar

${\ displaystyle \ gamma: A \ a C_ {0} (X)}$

seja a representação de Gelfand definida acima.

Teorema . O mapa de Gelfand γ é um isomorfismo * isométrico de A para C ₀ ( X ).

Veja a referência de Arveson abaixo.

O espectro de uma C * -álgebra comutativa também pode ser visto como o conjunto de todos os ideais máximos m de A , com a topologia casco-núcleo . (Veja as observações anteriores para o caso geral da álgebra de Banach comutativa.) Para qualquer m, o quociente da álgebra A / m é unidimensional (pelo teorema de Gelfand-Mazur) e, portanto, qualquer a em A dá origem a um complexo função de valor em Y .

No caso de C * -álgebras com unidade, o mapa do espectro dá origem a um functor contravariante da categoria de C * -álgebras com unidade e preservação de unidade * -homomorfismos contínuos, para a categoria de espaços compactos de Hausdorff e mapas contínuos. Este functor é a metade de uma equivalência contravariante entre essas duas categorias (seu adjunto sendo o functor que atribui a cada espaço de Hausdorff compacto X a C * -álgebra C ₀ ( X )). Em particular, dado espaços Hausdorff compactos X e Y , em seguida, C ( X ) é isomorfa a C ( Y ) (C * como um -álgebra) se e só se X é homeomorfos para Y .

O teorema 'completo' de Gelfand-Naimark é o resultado de C * -álgebras A não comutativas arbitrárias (abstratas) , que embora não sejam totalmente análogas à representação de Gelfand, fornecem uma representação concreta de A como uma álgebra de operadores.

Formulários

Uma das aplicações mais significativas é a existência de um cálculo funcional contínuo para elementos normais em C * -álgebra A : Um elemento x é normal se e somente se x comutar com seu adjunto x * , ou equivalentemente se e somente se ele gerar um comutativa C * -álgebra C * ( x ). Pelo isomorfismo de Gelfand aplicado a C * ( x ), isso é * -isomórfico para uma álgebra de funções contínuas em um espaço localmente compacto. Esta observação leva quase imediatamente a:

Teorema . Deixe Um ser um C * -álgebra com identidade e x um elemento de Uma . Então, há um * -morfismo f → f ( x ) da álgebra de funções contínuas no espectro σ ( x ) em A tal que

• Ele mapeia 1 para a identidade multiplicativa de A ;
• Ele mapeia a função de identidade no espectro para x .

Isso nos permite aplicar funções contínuas a operadores normais limitados no espaço de Hilbert.

Referências

• Arveson, W. (1981). Um convite para C * -Algebras . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0.
• Bonsall, FF; Duncan, J. (1973). Álgebras Normais completas . Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
• Conway, JB (1990). Um curso de análise funcional . Textos de Pós-Graduação em Matemática. 96 . Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.
• Wiener, N. (1932). "Teoremas de Tauber". Ann. da matemática . II. Annals of Mathematics. 33 (1): 1–100. doi : 10.2307 / 1968102 . JSTOR  1968102 .