Mapa de Baker - Baker's map

Exemplo de uma medida que é invariante sob a ação do mapa do padeiro (não girado): uma medida invariável . Aplicar o mapa do padeiro a esta imagem sempre resulta exatamente na mesma imagem.

Na teoria dos sistemas dinâmicos , o mapa do padeiro é um mapa caótico do quadrado da unidade em si mesmo. Seu nome vem de uma operação de amassamento que os padeiros aplicam à massa: a massa é cortada ao meio e as duas metades são empilhadas uma sobre a outra e comprimidas.

O mapa do padeiro pode ser entendido como o operador de deslocamento bilateral de um modelo de rede bi-infinito de dois estados . O mapa do padeiro é topologicamente conjugado ao mapa da ferradura . Na física , uma cadeia de mapas de padeiro acoplados pode ser usada para modelar a difusão determinística .

Como acontece com muitos sistemas dinâmicos determinísticos , o mapa do padeiro é estudado por sua ação no espaço de funções definidas no quadrado da unidade. O mapa do padeiro define um operador no espaço de funções, conhecido como o operador de transferência do mapa. O mapa do padeiro é um modelo exatamente solucionável de caos determinístico , em que as autofunções e autovalores do operador de transferência podem ser explicitamente determinados.

Definição formal

Existem duas definições alternativas do mapa do padeiro que são de uso comum. Uma definição dobra ou gira uma das metades fatiadas antes de juntá-la (semelhante ao mapa em ferradura ) e a outra não.

O mapa do padeiro dobrado atua no quadrado da unidade como

${\ displaystyle S _ {\ text {baker-dobrado}} (x, y) = {\ begin {cases} (2x, y / 2) & {\ text {for}} 0 \ leq x <{\ frac {1 } {2}} \\ (2-2x, 1-y / 2) & {\ text {for}} {\ frac {1} {2}} \ leq x <1. \ end {cases}}}$

Quando a seção superior não está dobrada, o mapa pode ser escrito como

${\ displaystyle S _ {\ text {baker-unfolded}} (x, y) = \ left (2x- \ left \ lfloor 2x \ right \ rfloor, \ {\ frac {y + \ left \ lfloor 2x \ right \ rfloor} {2}} \ direita).}$

O mapa do padeiro dobrado é um análogo bidimensional do mapa da barraca

${\ displaystyle S _ {\ mathrm {tent}} (x) = {\ begin {cases} 2x & {\ text {for}} 0 \ leq x <{\ frac {1} {2}} \\ 2 (1- x) & {\ text {for}} {\ frac {1} {2}} \ leq x <1 \ end {cases}}}$

enquanto o mapa desdobrado é análogo ao mapa de Bernoulli . Ambos os mapas são conjugados topologicamente. O mapa de Bernoulli pode ser entendido como o mapa que progressivamente corta os dígitos da expansão diádica de x . Ao contrário do mapa da barraca, o mapa do padeiro é invertível.

Propriedades

O mapa do padeiro preserva a medida de Lebesgue bidimensional .

Aplicação repetida do mapa do padeiro em pontos coloridos em vermelho e azul, inicialmente separados. Após várias iterações, os pontos vermelhos e azuis parecem estar completamente misturados.

O mapa é uma mistura forte e é uma mistura topológica .

O operador de transferência mapeia funções no quadrado da unidade para outras funções no quadrado da unidade; é dado por ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ left [Uf \ right] (x, y) = (f \ circ S ^ {- 1}) (x, y).}$

Tocar mídia

O quadrado da unidade de origem está no topo e a parte inferior mostra o resultado conforme o quadrado é varrido da esquerda para a direita.

O operador de transferência é unitário no espaço de Hilbert de funções integráveis ao quadrado no quadrado da unidade. O espectro é contínuo e, como o operador é unitário, os autovalores estão no círculo unitário. O operador de transferência não é unitário no espaço de funções polinomiais na primeira coordenada e integráveis ​​ao quadrado na segunda. Neste espaço, ele tem um espectro discreto, não unitário e decadente. ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} \ otimes L_ {y} ^ {2}}$

Como operador de turno

O mapa do padeiro pode ser entendido como o operador de deslocamento bilateral na dinâmica simbólica de uma rede unidimensional. Considere, por exemplo, a string bi-infinita

${\ displaystyle \ sigma = \ left (\ ldots, \ sigma _ {- 2}, \ sigma _ {- 1}, \ sigma _ {0}, \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ ldots \ right)}$

onde cada posição na string pode assumir um dos dois valores binários . A ação do operador shift nesta string é ${\ displaystyle \ sigma _ {k} \ in \ {0,1 \}}$

${\ displaystyle \ tau (\ ldots, \ sigma _ {k}, \ sigma _ {k + 1}, \ sigma _ {k + 2}, \ ldots) = (\ ldots, \ sigma _ {k-1} , \ sigma _ {k}, \ sigma _ {k + 1}, \ ldots)}$

ou seja, cada posição da rede é deslocada um para a esquerda. A string bi-infinita pode ser representada por dois números reais como ${\ displaystyle 0 \ leq x, y \ leq 1}$

${\ displaystyle x (\ sigma) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ sigma _ {- k} 2 ^ {- (k + 1)}}$

e

${\ displaystyle y (\ sigma) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ sigma _ {k + 1} 2 ^ {- (k + 1)}.}$

Nesta representação, o operador shift tem a forma

${\ displaystyle \ tau (x, y) = \ left (2x- \ left \ lfloor 2x \ right \ rfloor, \ {\ frac {y + \ left \ lfloor 2x \ right \ rfloor} {2}} \ right)}$

que é visto como o mapa do padeiro desdobrado dado acima.

Veja também

• Processo Bernoulli

Referências

• Hiroshi H. Hasagawa e William C. Saphir (1992). “Unitariedade e irreversibilidade em sistemas caóticos”. Physical Review A . 46 : 7401. CiteSeerX  10.1.1.31.9775 . doi : 10.1103 / PhysRevA.46.7401 .
• Ronald J. Fox, "Construction of the Jordan basis for the Baker map", Chaos , 7 p 254 (1997) doi : 10.1063 / 1.166226
• Dean J. Driebe, Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry , (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Holanda ISBN  0-7923-5564-4 (Exposição das funções próprias do mapa de Baker) .