Conjunto limitado (espaço vetorial topológico) - Bounded set (topological vector space)

Em análise funcional e áreas relacionadas da matemática , um conjunto em um espaço vetorial topológico é chamado de limitado ou von Neumann limitado , se todas as vizinhanças do vetor zero puderem ser infladas para incluir o conjunto. Um conjunto que não é limitado é denominado ilimitado .

Conjuntos limitados são uma maneira natural de definir topologias polares localmente convexas nos espaços vetoriais em um par dual , já que o polar de um conjunto limitado é um conjunto absolutamente convexo e absorvente . O conceito foi introduzido pela primeira vez por John von Neumann e Andrey Kolmogorov em 1935.

Definição

Para qualquer conjunto e escalar, deixe${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle s,}$${\ displaystyle sA: = \ {sa: a \ in A \}.}$

Dado um espaço topológico vector (TVS) ao longo de um campo de um subconjunto de chama von Neumann delimitada ou apenas limitada em se qualquer das seguintes condições são satisfeitas equivalentes: ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

1. Definição : Para cada vizinhança da origem existe um real tal que para todos os escalares satisfazendo${\ displaystyle V}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle B \ subseteq sV}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle | s | \ geq r.}$
   • Essa foi a definição introduzida por John von Neumann em 1935.
2. ${\ displaystyle B}$é absorvido por todos os bairros de origem.
3. Para cada bairro da origem existe um escalar tal que${\ displaystyle V}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle B \ subseteq sV.}$
4. Para cada vizinhança da origem existe um real tal que para todos os escalares satisfazendo${\ displaystyle V}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle sB \ subseteq V}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle | s | \ leq r.}$
5. Para cada bairro da origem existe um real tal que para todo real${\ displaystyle V}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle tB \ subseteq V}$${\ displaystyle 0 <t \ leq r.}$
6. Qualquer uma das 4 condições acima, mas com a palavra "vizinhança" substituída por qualquer um dos seguintes: " vizinhança equilibrada ", "vizinhança equilibrada aberta", "vizinhança equilibrada fechada", "vizinhança aberta", "vizinhança fechada".
   • Por exemplo, a Condição 2 pode se tornar: é limitada se e somente se for absorvida por cada vizinhança equilibrada da origem.${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$
7. Para cada sequência de escalares que converge para 0 e cada sequência na sequência converge para 0 em${\ displaystyle \ left (s_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ left (b_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle \ left (s_ {i} b_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle X.}$
   • Esta foi a definição de "limitado" que Andrey Kolmogorov usou em 1934, que é a mesma que a definição introduzida por Stanisław Mazur e Władysław Orlicz em 1933 para TVS metrizáveis. Kolmogorov usou esta definição para provar que um TVS é seminomável se e somente se ele tiver uma vizinhança convexa limitada da origem.
8. Para cada sequência na sequência em${\ displaystyle \ left (b_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {i}} b_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty} \ to 0}$${\ displaystyle X.}$
9. Cada subconjunto contável de é limitado (de acordo com qualquer condição de definição diferente desta).${\ displaystyle B}$

enquanto se for um espaço localmente convexo , cuja topologia é definida por uma família de seminormes contínuos , esta lista pode ser estendida para incluir: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

10. ${\ displaystyle p (B)}$ é limitado para todos ${\ displaystyle p \ in {\ mathcal {P}}.}$
11. Existe uma sequência de escalares diferentes de zero, de modo que cada sequência na sequência é limitada por (de acordo com qualquer condição de definição diferente desta).${\ displaystyle \ left (s_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ left (b_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle \ left (s_ {i} b_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle X}$
12. Pois tudo é limitado (de acordo com qualquer condição de definição diferente desta) no espaço semiformado${\ displaystyle p \ in {\ mathcal {P}},}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle (X, p).}$

enquanto se for um espaço seminormizado com seminorma (observe que todo espaço normatizado é um espaço seminormado e toda norma é uma seminorma), então esta lista pode ser estendida para incluir: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p}$

13. Existe um real que para todos${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle p (b) \ leq r}$${\ displaystyle b \ in B.}$

enquanto se for um subespaço vetorial do TVS , esta lista pode ser estendida para incluir: ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$

14. ${\ displaystyle B}$ está contido no fechamento de ${\ displaystyle \ {0 \}.}$

Um subconjunto que não é limitado é chamado de ilimitado .

Bornologia e sistemas fundamentais de conjuntos limitados

A coleção de todos os conjuntos limitados em um espaço vetorial topológico é chamado o bornology von Neumann ou o ( canônica ) bornology de${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$

Um sistema básico ou fundamental de conjuntos limitados de é um conjunto de subconjuntos limitados de tal que cada subconjunto limitado de é um subconjunto de alguns. O conjunto de todos os subconjuntos limitados de forma trivialmente um sistema fundamental de conjuntos limitados de${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}}.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$

Exemplos

Em qualquer TVS localmente convexo , o conjunto de discos fechados e limitados é uma base do conjunto limitado.

Propriedades de estabilidade

Seja qualquer espaço vetorial topológico (TVS) (não necessariamente Hausdorff ou localmente convexo). ${\ displaystyle X}$

• Em qualquer TVS, uniões finitas, somas finitas, múltiplos escalares, subconjuntos, fechamentos, interiores e cascos balanceados de conjuntos limitados são novamente limitados.
• Em qualquer TVS localmente convexo , o casco convexo de um conjunto limitado é novamente limitado. Isso pode não ser verdade se o espaço não for localmente convexo.
• A imagem de um conjunto limitado sob um mapa linear contínuo é um subconjunto limitado do codomínio.
• Um subconjunto de um produto arbitrário de TVSs é limitado se e somente se todas as suas projeções são limitadas.
• Se é um subespaço vetorial de um TVS e se, então, é limitado em se e somente se é limitado em${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq M,}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X.}$

Exemplos e condições suficientes

• Em qualquer espaço vetorial topológico (TVS), conjuntos finitos são limitados.
• Cada subconjunto totalmente limitado de um TVS é limitado.
• Cada conjunto relativamente compacto em um espaço vetorial topológico é limitado. Se o espaço estiver equipado com a topologia fraca, o inverso também é verdadeiro.
• O conjunto de pontos de uma sequência de Cauchy é limitado, o conjunto de pontos de uma rede de Cauchy não precisa ser limitado.
• Em qualquer TVS, cada subconjunto do fechamento de é limitado.${\ displaystyle \ {0 \}}$

Não exemplos

• Em qualquer TVS, qualquer subespaço vetorial que não esteja contido no fechamento de é ilimitado (ou seja, não é limitado).${\ displaystyle \ {0 \}}$
• Existe um espaço Fréchet com um subconjunto limitado e também um subespaço de vetor denso , que não está contido no fechamento (em ) de qualquer subconjunto limitado de${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M.}$

Propriedades

• Finitos sindicatos , finitos somas de Minkowski , fechamentos , interiores , bem como cascos equilibradas de conjuntos delimitadas são delimitadas.
• A imagem de um conjunto limitado em um mapa linear contínuo é limitada.
• Em um espaço localmente convexo, o envelope convexo de um conjunto limitado é limitado.
  • Sem a convexidade local, isso é falso, pois os espaços Lp para não têm subconjuntos convexos abertos não triviais.${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle 0 <p <1}$
• Um espaço vetorial topológico localmente convexo tem uma vizinhança limitada de zero se e somente se sua topologia puder ser definida por um único seminorm .
• O polar de um conjunto limitado é um conjunto absolutamente convexo e absorvente.

Generalização

A definição de conjuntos limitados pode ser generalizada para módulos topológicos . Um subconjunto de um módulo topológico sobre um anel topológico é limitado se para qualquer vizinhança de existe uma vizinhança de tal${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle 0_ {M}}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle 0_ {R}}$${\ displaystyle wA \ subseteq B.}$

Veja também

• Conjunto Bornívoro  - Um conjunto que pode absorver qualquer subconjunto limitado
• Função limitada  - função matemática
• Operador limitado  - um operador linear que envia subconjuntos limitados para subconjuntos limitados
• Ponto de limitação  - conceito matemático relacionado a subconjuntos de espaços vetoriais
• Espaço compacto  - noções topológicas de todos os pontos sendo "próximos"
• Limite local
• Espaço vetorial topológico localmente convexo  - Um espaço vetorial com uma topologia definida por conjuntos abertos convexos
• Espaço totalmente delimitado
• Espaço vetorial topológico  - espaço vetorial com noção de proximidade

Referências

Bibliografia

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espaços vetoriais topológicos: a teoria sem condições de convexidade . Notas de aula em matemática. 639 . Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003 .
• Berberian, Sterling K. (1974). Aulas teóricas de Análise Funcional e Teoria do Operador . Textos de Pós-Graduação em Matemática. 15 . Nova York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401 .
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Certos espaces topologiques de vetoriais [ Topological Vector Spaces: Capítulos 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Traduzido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Conway, John (1990). Um curso de análise funcional . Textos de Pós-Graduação em Matemática . 96 (2ª ed.). Nova York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Edwards, Robert E. (1995). Análise Funcional: Teoria e Aplicações . Nova York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Grothendieck, Alexander (1973). Espaços vetoriais topológicos . Traduzido por Chaljub, Orlando. Nova York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• Jarchow, Hans (1981). Espaços localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espaço vectorial topológico I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Traduzido por Garling, DJH Nova York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espaços vetoriais topológicos . Matemática pura e aplicada (segunda edição). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Espaços vetoriais topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. 53 . Cambridge University Press . pp. 44–46.
• Rudin, Walter (1991). Análise funcional . Série Internacional em Matemática Pura e Aplicada. 8 (segunda edição). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Espaços vetoriais topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics . 53 . Cambridge England: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Schaefer, HH (1970). Espaços vetoriais topológicos . GTM . 3 . Springer-Verlag . pp. 25–26. ISBN 0-387-05380-8.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espaços vetoriais topológicos . GTM . 8 (segunda edição). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos em espaços vetoriais topológicos . Mineola, Nova York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .