Categoria de espaços topológicos - Category of topological spaces

Em matemática , a categoria de espaços topológicos , frequentemente denotada como Top , é a categoria cujos objetos são espaços topológicos e cujos morfismos são mapas contínuos . Esta é uma categoria porque a composição de dois mapas contínuos é novamente contínua e a função de identidade é contínua. O estudo de Top e de propriedades de espaços topológicos usando as técnicas da teoria das categorias é conhecido como topologia categórica .

NB Alguns autores usam o nome Top para as categorias com variedades topológicas ou com espaços gerados compactamente como objetos e mapas contínuos como morfismos.

Como uma categoria concreta

Como muitas categorias, a categoria Top é uma categoria concreta , o que significa que seus objetos são conjuntos com estrutura adicional (ou seja, topologias) e seus morfismos são funções que preservam essa estrutura. Existe um functor de esquecimento natural

U  : Topo → Definir

à categoria de conjuntos que atribui a cada espaço topológico o conjunto subjacente e a cada mapa contínuo a função subjacente .

O functor esquecido U tem um adjunto à esquerda

D  : Definir → Superior

que equipa um determinado conjunto com a topologia discreta , e um adjunto direito

I  : Definir → Superior

que equipa um determinado conjunto com a topologia indiscreta . Ambos os functores são, na verdade, inversos à direita de U (o que significa que UD e UI são iguais ao functor de identidade em Set ). Além disso, uma vez que qualquer função entre espaços discretos ou indiscretos é contínua, ambos os functores fornecem embeddings completos de Set into Top .

Top também é fibra completa, o que significa que a categoria de todas as topologias em um determinado conjunto X (chamada de fibra de U acima de X ) forma uma rede completa quando ordenada por inclusão . O maior elemento nesta fibra é a topologia discreta em X , enquanto o menor elemento é a topologia indiscreta.

Top é o modelo do que é chamado de categoria topológica . Essas categorias são caracterizadas pelo fato de que cada origem estruturada tem um aumento inicial exclusivo . Em Top, a elevação inicial é obtida colocando a topologia inicial na fonte. As categorias topológicas têm muitas propriedades em comum com Top (como integridade de fibra, functores discretos e indiscretos e elevação única de limites). ${\ displaystyle (X \ para UA_ {i}) _ {I}}$ ${\ displaystyle (A \ a A_ {i}) _ {I}}$

Limites e colimitos

A categoria Top é completa e cocompleta , o que significa que todos os pequenos limites e colimites existem no Top . Na verdade, o functor esquecido U  : Top → Set eleva exclusivamente os limites e colimites e os preserva também. Portanto, (co) limites em Top são dados colocando topologias nos (co) limites correspondentes em Conjunto .

Especificamente, se F é um diagrama em Top e ( L , φ  : L → F ) é um limite de UF em Set , o limite correspondente de F em Top é obtido colocando a topologia inicial em ( L , φ  : L → F ) Dualmente, os colimites em Top são obtidos colocando a topologia final nos colimites correspondentes em Set .

Ao contrário de muitas categorias algébricas , o functor esquecido U  : Top → Set não cria ou reflete limites, pois normalmente haverá cones não universais em Top cobrindo cones universais em Set .

Exemplos de limites e colimitos no topo incluem:

• O conjunto vazio (considerado como um espaço topológico) é o objeto inicial de Top ; qualquer espaço topológico singleton é um objeto terminal . Portanto, não há nenhum objeto no Top .
• O produto em Top é fornecido pela topologia do produto no produto cartesiano . O coproduto é dado pela união disjunta de espaços topológicos.
• O equalizador de um par de morfismos é dado colocando a topologia do subespaço no equalizador teórico do conjunto. Dualmente, o coequalizador é dado colocando a topologia de quociente no coequalizador teórico de conjuntos.
• Limites diretos e limites inversos são os limites teóricos do conjunto com a topologia final e a topologia inicial, respectivamente.
• Os espaços auxiliares são um exemplo de pushouts em Top .

Outras propriedades

• Os monomorfismos em Top são os mapas contínuos injetivos , os epimorfismos são os mapas contínuos sobrejetivos e os isomorfismos são os homeomorfismos .
• Os monomorfismos extremos são (até o isomorfismo) os embeddings de subespaço . Na verdade, em Top, todos os monomorfismos extremos satisfazem a propriedade mais forte de ser regular .
• Os epimorfismos extremos são (essencialmente) os mapas de quociente . Todo epimorfismo extremo é regular.
• Os monomorfismos divididos são (essencialmente) as inclusões de retrai em seu espaço ambiente.
• Os epimorfismos divididos são (até o isomorfismo) os mapas sobrejetivos contínuos de um espaço em um de seus retraídos.
• Não há morfismos zero em Top e, em particular, a categoria não é pré-aditiva .
• Top não é cartesiano fechado (e, portanto, também não é um topos ), pois não possui objetos exponenciais para todos os espaços. Quando esse recurso é desejado, muitas vezes se restringe à subcategoria completa de espaços de Hausdorff gerados compactamente CGHaus . No entanto, Top está contido na categoria exponencial de pseudotopologias , que é em si uma subcategoria da categoria (também exponencial) de espaços de convergência .

Relacionamentos com outras categorias

• A categoria dos espaços topológicos pontas Top _• é uma categoria coslice sobre Top .
• A categoria de homotopia hTop possui espaços topológicos para objetos e classes de equivalência de homotopia de mapas contínuos para morfismos. Esta é uma categoria de quociente de Top . Da mesma forma, pode-se formar a categoria de homotopia pontiaguda hTop _• .
• O topo contém a importante categoria de espaços Haus of Hausdorff como uma subcategoria completa . A estrutura adicionada desta subcategoria permite mais epimorfismos: na verdade, os epimorfismos nesta subcategoria são precisamente aqueles morfismos com imagens densas em seus codomínios , de modo que os epimorfismos não precisam ser sobrejetivos .
• Top contém a subcategoria completa CGHaus de espaços Hausdorff gerados compactamente , que tem a importante propriedade de ser uma categoria cartesiana fechada, embora ainda contenha todos os espaços típicos de interesse. Isso torna o CGHaus uma categoria particularmente conveniente de espaços topológicos que é freqüentemente usado no lugar do Top .
• O functor esquecido para Set tem um adjunto esquerdo e direito, conforme descrito acima na seção de categoria concreta.
• Existe um functor para a categoria de locales Loc enviando um espaço topológico para sua localidade de conjuntos abertos. Este functor possui um adjoint à direita que envia cada localidade para seu espaço topológico de pontos. Esta adjunção restringe-se a uma equivalência entre a categoria de espaços sóbrios e locais espaciais.
• A hipótese de homotopia relaciona Top com ∞Grpd , a categoria dos ∞-grupóides . A conjectura afirma que ∞-grupóides são equivalentes a espaços topológicos módulo de equivalência de homotopia fraca .

Veja também

• Categoria de grupos
• Categoria de espaços métricos
• Categoria de conjuntos
• Categoria de espaços topológicos com ponto de base
• Categoria de espaços vetoriais  topológicos - categoria topológica

Citações

Referências