Limite inverso - Inverse limit

Em matemática , o limite inverso (também chamado de limite projetivo ) é uma construção que permite "colar" vários objetos relacionados , sendo o processo de colagem preciso especificado por morfismos entre os objetos. Assim, os limites inversos podem ser definidos em qualquer categoria, embora sua existência dependa da categoria considerada. Eles são um caso especial do conceito de limite na teoria das categorias.

Ao trabalhar na categoria dual , ou seja, revertendo as setas, um limite inverso torna-se um limite direto ou limite injetivo , e um limite torna-se um colimite .

Definição formal

Objetos algébricos

Partimos da definição de um sistema inverso (ou sistema projetivo) de grupos e homomorfismos . Deixe ( , ≤) ser um poset dirigido (nem todos os autores exigem que I seja dirigido). Seja ( A _i ) _{i ∈ I} uma família de grupos e suponha que temos uma família de homomorfismos para todos (observe a ordem) com as seguintes propriedades: ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle f_ {ij}: A_ {j} \ para A_ {i}}$${\ displaystyle i \ leq j}$

1. ${\ displaystyle f_ {ii}}$é a identidade ligada ,${\ displaystyle A_ {i}}$
2. ${\ displaystyle f_ {ik} = f_ {ij} \ circ f_ {jk} \ quad {\ text {para todos}} \ quad i \ leq j \ leq k.}$

Então, o par é chamado de sistema inverso de grupos e morfismos acabados , e os morfismos são chamados de morfismos de transição do sistema. ${\ displaystyle ((A_ {i}) _ {i \ in I}, (f_ {ij}) _ {i \ leq j \ in I})}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle f_ {ij}}$

Definimos o limite inverso do sistema inverso como um subgrupo particular do produto direto de : ${\ displaystyle ((A_ {i}) _ {i \ in I}, (f_ {ij}) _ {i \ leq j \ in I})}$${\ displaystyle A_ {i}}$

${\ displaystyle A = \ varprojlim _ {i \ in I} {A_ {i}} = \ left \ {\ left. {\ vec {a}} \ in \ prod _ {i \ in I} A_ {i} \; \ right | \; a_ {i} = f_ {ij} (a_ {j}) {\ text {para todos}} i \ leq j {\ text {in}} I \ right \}.}$

O limite inverso vem equipado com projeções naturais π  \\  π _i : → que selecionam o i ésimo componente do produto direto para cada in . O limite inverso e as projeções naturais satisfazem uma propriedade universal descrita na próxima seção. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle I}$

Esta mesma construção pode ser realizada se os 's forem conjuntos , semigrupos, espaços topológicos, anéis , módulos (sobre um anel fixo), álgebras (sobre um anel fixo), etc., e os homomorfismos forem morfismos na categoria correspondente . O limite inverso também pertencerá a essa categoria. ${\ displaystyle A_ {i}}$

Definição geral

O limite inverso pode ser definido abstratamente em uma categoria arbitrária por meio de uma propriedade universal . Let Ser um sistema inverso de objetos e morfismos em uma categoria C (mesma definição como acima). O limite inverso desse sistema é um objeto X em C junto com morfismos π _i : X → X _i (chamados de projeções ) satisfazendo π _i = ∘ π _j para todo i ≤ j . O par ( X , π _i ) deve ser universal no sentido de que para qualquer outro par ( Y , ψ _i ) existe um morfismo único u : Y → X tal que o diagrama ${\ textstyle (X_ {i}, f_ {ij})}$${\ displaystyle f_ {ij}}$

comuta para todos i ≤ j . O limite inverso é frequentemente denotado

${\ displaystyle X = \ varprojlim X_ {i}}$

com o sistema inverso sendo compreendido. ${\ textstyle (X_ {i}, f_ {ij})}$

Em algumas categorias, o limite inverso de certos sistemas inversos não existe. Se assim for, no entanto, é único em um sentido forte: dados quaisquer dois limites inversos X e X ' de um sistema inverso, existe um isomorfismo único X ′ → X comutando com os mapas de projeção.

Sistemas inversos e limites inversos em uma categoria C admitem uma descrição alternativa em termos de functores . Qualquer conjunto I parcialmente ordenado pode ser considerado como uma pequena categoria onde os morfismos consistem em setas i → j se e somente se i ≤ j . Um sistema inverso é, então, apenas um functor contravariant I → C . Let ser a categoria desses functores (com transformações naturais como morfismos). Um objecto X de C pode ser considerado um sistema trivial inversa, onde todos os objectos são igual a X e todos seta são a identidade de X . Isso define um "functor trivial" de C a O limite direto, se existir, é definido como um adjunto direito desse functor trivial. ${\ displaystyle C ^ {I ^ {\ mathrm {op}}}}$${\ displaystyle C ^ {I ^ {\ mathrm {op}}}.}$

Exemplos

• O anel dos inteiros p -adic é o limite inverso dos anéis (ver aritmética modular ) com o conjunto de índices sendo os números naturais com a ordem usual, e os morfismos sendo "levar o resto". Ou seja, considera-se sequências de inteiros tais que cada elemento da sequência "projeta" para baixo para os anteriores, a saber, que sempre que A topologia natural nos inteiros p -adic é a implícita aqui, ou seja, a topologia do produto com conjuntos de cilindros como os conjuntos abertos.${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (n_ {1}, n_ {2}, \ pontos)}$${\ displaystyle n_ {i} \ equiv n_ {j} {\ mbox {mod}} p ^ {i}}$${\ displaystyle i <j.}$
• O solenóide p -adic é o limite inverso dos grupos topológicos com o conjunto de índices sendo os números naturais com a ordem usual, e os morfismos sendo "resto". Ou seja, considera-se sequências de números reais tais que cada elemento da sequência "projeta" até os anteriores, ou seja, sempre que${\ displaystyle \ mathbb {R} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ dots)}$${\ displaystyle x_ {i} \ equiv x_ {j} {\ mbox {mod}} p ^ {i}}$${\ displaystyle i <j.}$
• O anel da série de potências formais sobre um anel comutativo R pode ser pensado como o limite inverso dos anéis , indexado pelos números naturais como normalmente ordenados, com os morfismos de a dados pela projeção natural.${\ displaystyle \ textstyle R [[t]]}$${\ displaystyle \ textstyle R [t] / t ^ {n} R [t]}$${\ displaystyle \ textstyle R [t] / t ^ {n + j} R [t]}$${\ displaystyle \ textstyle R [t] / t ^ {n} R [t]}$
• Grupos pró-finitos são definidos como limites inversos de grupos finitos (discretos).
• Seja o conjunto de índices I de um sistema inverso ( X _i , ) o maior elemento m . Então a projeção natural π _m : X → X _m é um isomorfismo.${\ displaystyle f_ {ij}}$
• Na categoria dos conjuntos , todo sistema inverso possui um limite inverso, que pode ser construído de forma elementar como um subconjunto do produto dos conjuntos que formam o sistema inverso. O limite inverso de qualquer sistema inverso de conjuntos finitos não vazios é não vazio. Esta é uma generalização do lema de Kőnig na teoria dos grafos e pode ser provada com o teorema de Tychonoff , vendo os conjuntos finitos como espaços discretos compactos e, em seguida, aplicando a caracterização da propriedade de interseção finita da compactação.
• Na categoria de espaços topológicos , todo sistema inverso tem um limite inverso. É construído colocando a topologia inicial no limite inverso teórico do conjunto subjacente. Isso é conhecido como topologia de limite .
  • O conjunto de strings infinitas é o limite inverso do conjunto de strings finitas e, portanto, é dotado da topologia limite. Como os espaços originais são discretos , o espaço limite é totalmente desconectado . Esta é uma maneira de perceber os números p -adic e o conjunto Cantor (como strings infinitas).

Functores derivados do limite inverso

Para uma categoria C abeliana , o functor de limite inverso

${\ displaystyle \ varprojlim: C ^ {I} \ rightarrow C}$

é deixado exato . Se I é ordenado (não simplesmente parcialmente ordenado) e contável , e C é a categoria Ab dos grupos abelianos, a condição de Mittag-Leffler é uma condição nos morfismos de transição f _ij que garante a exatidão de . Especificamente, Eilenberg construiu um functor ${\ displaystyle \ varprojlim}$

${\ displaystyle \ varprojlim {} ^ {1}: \ operatorname {Ab} ^ {I} \ rightarrow \ operatorname {Ab}}$

(pronuncia-se "lim um") de modo que se ( A _i , f _ij ), ( B _i , g _ij ) e ( C _i , h _ij ) são três sistemas inversos de grupos abelianos, e

${\ displaystyle 0 \ rightarrow A_ {i} \ rightarrow B_ {i} \ rightarrow C_ {i} \ rightarrow 0}$

é uma sequência curta e exata de sistemas inversos, então

${\ displaystyle 0 \ rightarrow \ varprojlim A_ {i} \ rightarrow \ varprojlim B_ {i} \ rightarrow \ varprojlim C_ {i} \ rightarrow \ varprojlim {} ^ {1} A_ {i}}$

é uma sequência exata em Ab .

Doença de Mittag-Leffler

Se os intervalos dos morfismos de um sistema inverso de grupos abelianos ( A _i , f _ij ) são estacionários , ou seja, para todo k existe j ≥ k tal que para todo i ≥ j  : diz-se que o sistema satisfaz o Mittag -Leffler condition . ${\ displaystyle f_ {kj} (A_ {j}) = f_ {ki} (A_ {i})}$

O nome "Mittag-Leffler" para esta condição foi dado por Bourbaki em seu capítulo sobre estruturas uniformes para um resultado semelhante sobre limites inversos de espaços uniformes de Hausdorff completos. Mittag-Leffler usou um argumento semelhante na demonstração do teorema de Mittag-Leffler .

As seguintes situações são exemplos em que a condição Mittag-Leffler é satisfeita:

• um sistema em que os morfismos f _ij são sobrejetivos
• um sistema de espaços vetoriais de dimensão finita ou grupos abelianos finitos ou módulos de comprimento finito ou módulos artinianos.

Um exemplo em que é não-zero é obtido tendo I a ser os não-negativos inteiros , deixando um _i = p ⁱ Z , B _i = Z , e C _i = B _I / Um _i = Z / p ⁱ Z . Então ${\ displaystyle \ varprojlim {} ^ {1}}$

${\ displaystyle \ varprojlim {} ^ {1} A_ {i} = \ mathbf {Z} _ {p} / \ mathbf {Z}}$

onde Z _p indica os números inteiros p-adic .

Resultados adicionais

De modo mais geral, se C é uma categoria abeliana arbitrária que tem injetivos suficientes , então o mesmo ocorre com C ^I , e os functores derivados corretos do functor limite inverso podem ser definidos. O n ° certo derivado functor é denotado

${\ displaystyle R ^ {n} \ varprojlim: C ^ {I} \ rightarrow C.}$

No caso em que C satisfaz o axioma de Grothendieck (AB4 *) , Jan-Erik Roos generalizou o functor lim ¹ em Ab ^I para séries de functores lim ⁿ tais que

${\ displaystyle \ varprojlim {} ^ {n} \ cong R ^ {n} \ varprojlim.}$

Pensou-se por quase 40 anos que Roos tinha provado (em Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications. ) Que lim ¹ A _i = 0 para ( A _i , f _ij ) um sistema inverso com morfismos de transição sobrejetiva e I o conjunto de inteiros não negativos (tais sistemas inversos são freqüentemente chamados de " sequências de Mittag-Leffler "). No entanto, em 2002, Amnon Neeman e Pierre Deligne construíram um exemplo de tal sistema em uma categoria que satisfaça (AB4) (além de (AB4 *)) com lim ¹ A _i ≠ 0. Desde então, Roos mostrou (em "Funtores derivados de limites inversos revisitados ") que seu resultado está correto se C tem um conjunto de geradores (além de satisfazer (AB3) e (AB4 *)).

Barry Mitchell mostrou (em "A dimensão cohomológica de um conjunto direcionado") que se I tem cardinalidade (o d- ésimo cardinal infinito ), então R ⁿ lim é zero para todos n ≥ d + 2. Isso se aplica ao I -indexado diagramas na categoria de módulos R , com R um anel comutativo; não é necessariamente verdadeiro em uma categoria abeliana arbitrária (ver "Funtores derivados de limites inversos revisitados" de Roos para exemplos de categorias abelianas nas quais lim ⁿ , em diagramas indexados por um conjunto contável, é diferente de zero para  n  > 1). ${\ displaystyle \ aleph _ {d}}$

Conceitos relacionados e generalizações

O dual categórico de um limite inverso é um limite direto (ou limite indutivo). Conceitos mais gerais são os limites e colimites da teoria das categorias. A terminologia é um tanto confusa: os limites inversos são uma classe de limites, enquanto os limites diretos são uma classe de colimites.

Veja também

• Limite direto ou indutivo

Notas

Referências

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC  40551484
• Bourbaki, Nicolas (1989), Topologia geral: Capítulos 1-4 , Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC  40551485
• Mac Lane, Saunders (setembro de 1998), Categories for the Working Mathematician (2ª ed.), Springer, ISBN 0-387-98403-8
• Mitchell, Barry (1972), "Anéis com vários objetos", Advances in Mathematics , 8 : 1-161, doi : 10.1016 / 0001-8708 (72) 90002-3 , MR  0294454
• Neeman, Amnon (2002), "A counterexample to a 1961" teorema "in homological algebra (com apêndice de Pierre Deligne)", Inventiones Mathematicae , 148 (2): 397–420, doi : 10.1007 / s002220100197 , MR  1906154
• Roos, Jan-Erik (1961), "Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications", CR Acad. Sci. Paris , 252 : 3702-3704, MR  0132091
• Roos, Jan-Erik (2006), "Derived functors of inverse limits revisited", J. London Math. Soc. , Series 2, 73 (1): 65–83, doi : 10.1112 / S0024610705022416 , MR  2197371
• Seção 3.5 de Weibel, Charles A. (1994). Uma introdução à álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 38 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324 . OCLC  36131259 .