Equação diferencial complexa - Complex differential equation
Uma equação diferencial complexa é uma equação diferencial cujas soluções são funções de uma variável complexa .
Construir integrais envolve a escolha de qual caminho seguir, o que significa que singularidades e pontos de ramificação da equação precisam ser estudados. A continuação analítica é usada para gerar novas soluções e isso significa que as considerações topológicas, como monodromia , coberturas e conexão, devem ser levadas em consideração.
Existência e teoremas de singularidade envolvem o uso de majorants e minorants .
O estudo de ODEs racionais de segunda ordem no plano complexo levou à descoberta de novas funções especiais transcendentais , que agora são conhecidas como transcendentes de Painlevé .
A teoria de Nevanlinna pode ser usada para estudar equações diferenciais complexas. Isso leva a extensões do teorema de Malmquist .
Generalizações
As generalizações incluem equações diferenciais parciais em várias variáveis complexas ou equações diferenciais em variedades complexas . Além disso, existem pelo menos algumas maneiras de estudar equações de diferença complexas : estudar funções holomórficas que satisfaçam as relações funcionais dadas pela equação de diferença ou estudar análogos discretos de holomorficidade, como funções monodiféricas . Também equações integrais podem ser estudadas no domínio complexo.
História
Alguns dos primeiros contribuintes para a teoria de equações diferenciais complexas incluem:
- Pierre Boutroux
- Paul Painlevé
- Lazarus Fuchs
- Henri Poincaré
- David Hilbert
- George David Birkhoff
- Kōsaku Yosida
- Hans Wittich
- Charles Briot
- Jean Claude Bouquet
- Johannes Malmquist
Veja também
- Método Frobenius
- Equação de Heun
- Equação diferencial hipergeométrica
- Equação diferencial de Riemann
- Problema Riemann-Hilbert
- Correspondência Riemann-Hilbert
- Derivada de Schwarz
- Equações de Knizhnik-Zamolodchikov
Referências
Leitura adicional
- Einar Hille (1976). Equações diferenciais ordinárias no domínio complexo . Wiley. ISBN 978-0-471-39964-3 . , reimpresso por Dover, 1997.
- E. Ince (1926). Equações diferenciais ordinárias . Dover. , reimpresso por Dover, 2003.
- Gromak, Laine, Shimomura (2002). Equações diferenciais de Painlevé no plano complexo . de Gruyter. ISBN 978-3-11-017379-6 . CS1 maint: vários nomes: lista de autores ( link )
- Ilpo Laine (1992). Teoria de Nevanlinna e equações diferenciais complexas . de Gruyter. ISBN 978-3-11-013422-3 .
- Niels Erik Nörlund (1924). Vorlesungen uber Differenzenrechnung . Springer. , reimpresso por Chelsea 1954