Casal (mecânica) - Couple (mechanics)

Na mecânica , um casal é um sistema de forças com uma resultante (aka net ou soma) momento , mas nenhuma força resultante.

Um termo melhor é casal de força ou momento puro . Seu efeito é criar rotação sem translação ou, mais geralmente, sem qualquer aceleração do centro de massa . Na mecânica do corpo rígido , os pares de forças são vetores livres , o que significa que seus efeitos em um corpo são independentes do ponto de aplicação.

O momento resultante de um par é chamado de torque . Isso não deve ser confundido com o termo torque usado na física, onde é apenas sinônimo de momento. Em vez disso, o torque é um caso especial de momento. O torque possui propriedades especiais que o momento não possui, em particular a propriedade de ser independente do ponto de referência, conforme descrito a seguir.

Casal simples

Definição

Um par é um par de forças, de magnitude igual, dirigidas de forma oposta e deslocadas por uma distância ou momento perpendicular.

O tipo mais simples de casal consiste em duas forças iguais e opostas cujas linhas de ação não coincidem. Isso é chamado de "casal simples". As forças têm um efeito de rotação ou momento denominado torque em torno de um eixo que é normal (perpendicular) ao plano das forças. A unidade SI para o torque do casal é newton metro .

Se as duas forças são $F$ e $-F$ , então a magnitude do torque é dada pela seguinte fórmula:

{\ displaystyle \ tau = Fd \,}

Onde

{\ displaystyle \ tau}

é o momento do casal

F

é a magnitude da força

d

é a distância perpendicular (momento) entre as duas forças paralelas

A magnitude do torque é igual a $F • d$ , com a direção do torque dada pelo vetor unitário , que é perpendicular ao plano contendo as duas forças e positivo sendo um par no sentido anti-horário. Quando $d$ é tomado como um vetor entre os pontos de ação das forças, então o torque é o produto vetorial de $d$ e $F$ , ou seja, ${\ displaystyle {\ hat {e}}}$

{\ displaystyle \ mathbf {\ tau} = | \ mathbf {d} \ times \ mathbf {F} |.}

Independência do ponto de referência

O momento de uma força só é definido em relação a um determinado ponto $P$ (diz-se que é o "momento sobre $P$ ") e, em geral, quando $P$ é alterado, o momento também muda. Porém, o momento (torque) de um par é independente do ponto de referência $P$ : Qualquer ponto dará o mesmo momento. Em outras palavras, um vetor de torque, ao contrário de qualquer outro vetor de momento, é um "vetor livre". (Este fato é chamado de Teorema do Segundo Momento de Varignon .)

A prova desta afirmação é a seguinte: Suponha que haja um conjunto de vetores de força $F 1$ , $F 2$ , etc. que formam um par, com vetores de posição (cerca de alguma origem $P$ ), $r 1$ , $r 2$ , etc., respectivamente . O momento sobre $P$ é

{\ displaystyle M = \ mathbf {r} _ {1} \ times \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {r} _ {2} \ times \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots}

Agora escolhemos um novo ponto de referência $P '$ que difere de $P$ pelo vetor $r$ . O novo momento é

{\ displaystyle M '= (\ mathbf {r} _ {1} + \ mathbf {r}) \ times \ mathbf {F} _ {1} + (\ mathbf {r} _ {2} + \ mathbf {r }) \ times \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots}

Agora, a propriedade distributiva do produto vetorial implica

{\ displaystyle M '= \ left (\ mathbf {r} _ {1} \ times \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {r} _ {2} \ times \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots \ right) + \ mathbf {r} \ times \ left (\ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots \ right).}

No entanto, a definição de um par de força significa que

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots = 0.}

Portanto,

{\ displaystyle M '= \ mathbf {r} _ {1} \ times \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {r} _ {2} \ times \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots = M}

Isso prova que o momento é independente do ponto de referência, o que prova que um casal é um vetor livre.

Forças e casais

Uma força F aplicada a um corpo rígido a uma distância d do centro de massa tem o mesmo efeito que a mesma força aplicada diretamente ao centro de massa e um par Cℓ = Fd . O casal produz uma aceleração angular do corpo rígido perpendicular ao plano do casal. A força no centro de massa acelera o corpo na direção da força sem mudança na orientação. Os teoremas gerais são:

Uma única força atuando em qualquer ponto O ′ de um corpo rígido pode ser substituída por uma força igual e paralela F atuando em qualquer ponto O e um par com forças paralelas a F cujo momento é M = Fd , sendo d a separação de O e O ′ . Por outro lado, um casal e uma força no plano do casal podem ser substituídos por uma única força, devidamente localizada.

Qualquer casal pode ser substituído por outro no mesmo plano da mesma direção e momento, tendo qualquer força desejada ou qualquer braço desejado.

Formulários

Os casais são muito importantes na engenharia mecânica e nas ciências físicas. Alguns exemplos são:

As forças exercidas por uma mão em uma chave de fenda
As forças exercidas pela ponta de uma chave de fenda na cabeça de um parafuso
Forças de arrasto atuando em uma hélice giratória
Forças em um dipolo elétrico em um campo elétrico uniforme.
O sistema de controle de reação em uma nave espacial.
Força exercida pelas mãos no volante.

Em um cristal líquido , é a rotação de um eixo óptico denominado diretor que produz a funcionalidade desses compostos. Como Jerald Ericksen explicou

À primeira vista, pode parecer que o que está envolvido é a óptica ou a eletrônica, e não a mecânica. Na verdade, as mudanças no comportamento óptico, etc. estão associadas a mudanças na orientação. Por sua vez, são produzidos por casais. Grosso modo, é semelhante a dobrar um fio aplicando pares.

Veja também

Referências

HF Girvin (1938) Applied Mechanics , §28 Couples, pp 33,4, Scranton Pennsylvania: International Textbook Company.

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