Embalagem de esfera em um cilindro - Sphere packing in a cylinder

Uma estrutura colunar ou cristal é um arranjo cilíndrico que se forma, no contexto de embalagens de esfera cilíndrica, no interior ou na superfície de um confinamento colunar. Esferas de tamanho idêntico são montadas na superfície de um cilindro em uma estrutura colunar ordenada, se o diâmetro do cilindro for de ordem de magnitude semelhante. ${\ displaystyle d}$

Uma estrutura colunar ordenada típica é montada soltando bolas de golfe sequencialmente dentro de um tubo.

Aparência na ciência

Estruturas colunares aparecem em vários campos de pesquisa em uma ampla gama de escalas de comprimento de metros até a nanoescala. Em maior escala, essas estruturas podem ser encontradas na botânica, onde as sementes de uma planta se agrupam ao redor do caule. Em uma escala menor, bolhas de tamanho igual se cristalizam em estruturas de espuma colunar quando confinadas em um tubo de vidro. Na nanociência, tais estruturas podem ser encontradas em objetos feitos pelo homem que estão em escalas de comprimento de um mícron à nanoescala.

Botânica

As estruturas colunares foram estudadas pela primeira vez na botânica devido às suas diversas aparências nas plantas. D'Arcy Thompson analisou tal arranjo das partes da planta ao redor do caule em seu livro " On Growth and Form " (1917). Mas também são de interesse em outras áreas biológicas, incluindo bactérias, vírus, microtúbulos , bem como a notocorda do peixe-zebra .

Uma das maiores flores onde os frutos se arrumam em uma forma cilíndrica regular é o titan arum . Esta flor pode ter até 3 m de altura e é encontrada nativamente apenas no oeste de Sumatra e oeste de Java.

Em escalas de comprimento menores, os frutos do arum maculatum formam uma estrutura colunar no outono. Seus frutos são semelhantes aos da flor do cadáver, uma vez que o titan arum é seu parente maior. No entanto, o cuco é muito menor em altura (altura ≈ 20 cm). O arranjo da baga varia de acordo com o tamanho do caule.

Outra planta que pode ser encontrada em muitos jardins de áreas residenciais é o pincel australiano . Ele monta suas cápsulas de sementes em torno de um ramo da planta. A estrutura depende do tamanho da cápsula da semente para o tamanho do ramo.

Espumas

Uma outra ocorrência de arranjo colunar ordenado na macroescala são estruturas de espuma confinadas dentro de um tubo de vidro. Eles podem ser realizados experimentalmente com bolhas de sabão de tamanhos iguais dentro de um tubo de vidro, produzidas pelo sopro de ar de fluxo constante de gás através de uma agulha embebida em uma solução de surfactante. Colocando a coluna de espuma resultante sob drenagem forçada (alimentando-a com solução surfactante do topo), a espuma pode ser ajustada para uma estrutura seca (bolhas em forma de poliedros ) ou úmida (bolhas esféricas).

Devido a esta configuração experimental simples, muitas estruturas colunares foram descobertas e investigadas no contexto de espumas com experimentos e simulação. Muitas simulações foram realizadas usando o Surface Evolver para investigar a estrutura seca ou o modelo de esfera dura para o limite úmido onde as bolhas são esféricas.

Na estrutura em zigue-zague, as bolhas são empilhadas umas sobre as outras em forma de w contínuo. Para esta estrutura particular, uma interface móvel com o aumento da fração líquida foi relatada por Hutzler et al. em 1997. Isso incluiu uma interface de torção de 180 ° inesperada, cuja explicação ainda está faltando.

A primeira observação experimental de uma estrutura de deslizamento de linha foi descoberta por Winkelmann et al. em um sistema de bolhas.

Outras estruturas descobertas incluem estruturas complexas com esferas internas / células de espuma. Algumas estruturas de espuma seca com células internas foram encontradas consistindo de uma cadeia de dodecaedros pentagonais ou células Kelvin no centro do tubo. Para muitos outros arranjos desse tipo, foi observado que a camada de bolha externa é ordenada, com cada camada interna se assemelhando a uma estrutura colunar diferente e mais simples, usando tomografia de raios-X .

Nanociência

Estruturas colunares também têm sido intensamente estudadas no contexto de nanotubos . Suas propriedades físicas ou químicas podem ser alteradas prendendo partículas idênticas dentro delas. Isso geralmente é feito por fulerenos automontados, como C60 , C70 ou C78 em nanotubos de carbono, mas também nanotubos de nitreto de boro

Essas estruturas também se montam quando as partículas são revestidas na superfície de um esferocilindro, como no contexto da pesquisa farmacêutica. Lazáro et al. examinou a morfologia das proteínas do capsídeo do vírus automontadas em torno de nanobastões de metal. As partículas do medicamento foram revestidas o mais densamente possível em um esferocilindro para fornecer o melhor tratamento médico.

Wu et al. hastes construídas do tamanho de vários mícrons. Esses microbastões são criados compactando densamente as partículas coloidais de sílica dentro dos poros cilíndricos. Ao solidificar as estruturas montadas, os microrods foram fotografados e examinados por meio de microscopia eletrônica de varredura (MEV).

Arranjos colunares também são investigados como possíveis candidatos de metamateriais ópticos (isto é, materiais com índice de refração negativo) que encontram aplicações em superlentes ou camuflagem óptica. Tanjeem et al. estão construindo tal ressonador por nanoesferas de automontagem na superfície do cilindro. As nanoesferas são suspensas em uma solução SDS juntamente com um cilindro de diâmetro , muito maior que o diâmetro das nanoesferas ( ). As nanoesferas então aderem à superfície dos cilindros por uma força de esgotamento . ${\ textstyle D}$${\ displaystyle d}$${\ textstyle D / d \ approx 3 {\ text {to}} 5}$

Classificação usando notação filotática

A forma mais comum de classificar estruturas colunares ordenadas usa a notação filotática , adotada da botânica. É usado para descrever arranjos de folhas de uma planta, pinhas ou abacaxis, mas também padrões planos de florzinhas em uma cabeça de girassol. Enquanto o arranjo no primeiro é cilíndrico, as espirais no último são dispostas em um disco. Para estruturas colunares, a filotaxia no contexto de estruturas cilíndricas é adotada.

A notação filotática descreve tais estruturas por um trio de inteiros positivos com . Cada número , e descreve uma família de espirais no empacotamento tridimensional. Eles contam o número de espirais em cada direção até que a espiral se repita. Esta notação, no entanto, só se aplica a redes triangulares e, portanto, é restrita às estruturas ordenadas sem esferas internas. ${\ displaystyle (l = m + n, m, n)}$${\ textstyle l \ geq m \ geq n}$${\ textstyle l}$${\ displaystyle m}$${\ textstyle n}$

Tipos de estruturas colunares ordenadas sem esferas internas

Estruturas colunares ordenadas sem esferas internas são categorizadas em duas classes distintas: estruturas uniformes e lineares . Para cada estrutura que pode ser identificada com o trio , existe uma estrutura uniforme e pelo menos um deslizamento de linha. ${\ textstyle (l, m, n)}$

Estrutura uniforme

Uma estrutura uniforme é identificada por cada esfera tendo o mesmo número de vizinhos em contato. Isso dá a cada esfera uma vizinhança idêntica. Na imagem de exemplo ao lado, cada esfera tem seis contatos vizinhos.

O número de contatos é melhor visualizado na rede de contatos implementada. Ele é criado desenrolando a rede de contato em um plano de altura e ângulo azimutal de cada esfera. Para uma estrutura uniforme como a da imagem de exemplo, isso leva a uma rede hexagonal regular . Cada ponto neste padrão representa uma esfera da embalagem e cada linha um contato entre esferas adjacentes. ${\ textstyle z}$${\ textstyle \ theta}$

Para todas as estruturas uniformes acima de uma proporção de diâmetro de , a rede hexagonal regular é sua característica de caracterização, uma vez que este tipo de rede tem o número máximo de contatos. Para estruturas uniformes diferentes, o padrão de contato estendido varia apenas por uma rotação no plano. Cada estrutura uniforme é assim distinguida por seu vetor de periodicidade , que é definido pelo tripleto filotático . ${\ displaystyle D / d> 2.0}$${\ displaystyle (l, m, n)}$${\ textstyle z {\ text {-}} \ theta}$${\ textstyle V}$${\ displaystyle (l, m, n)}$

Estrutura de deslizamento de linha

Para cada estrutura uniforme, também existe uma estrutura relacionada, mas diferente, chamada de arranjo de deslizamento de linha.

As diferenças entre as estruturas uniformes e lineares são marginais e difíceis de detectar nas imagens dos pacotes de esferas. No entanto, ao comparar suas redes de contato implementadas, pode-se perceber que certas linhas (que representam os contatos) estão faltando.

Todas as esferas em uma estrutura uniforme têm o mesmo número de contatos, mas o número de contatos para as esferas em um deslizamento de linha pode diferir de esfera para esfera. Para o exemplo de deslizamento de linha na imagem do lado direito, algumas esferas contam cinco e outras seis contatos. Assim, uma estrutura de deslizamento de linha é caracterizada por essas lacunas ou perda de contatos.

Essa estrutura é denominada deslizamento de linha porque as perdas de contatos ocorrem ao longo de uma linha na rede de contatos instalada. Foi identificado pela primeira vez por Picket et al. , mas não denominado deslizamento de linha.

A direção em que ocorre a perda de contatos pode ser denotada na notação filotática , uma vez que cada número representa um dos vetores da rede hexagonal. Isso geralmente é indicado por um número em negrito. ${\ textstyle (l, m, n)}$

Ao cisalhar a linha de esferas abaixo da perda de contato contra uma linha acima da perda de contato, pode-se regenerar duas estruturas uniformes relacionadas a esse deslizamento de linha. Assim, cada deslizamento de linha está relacionado a duas estruturas uniformes adjacentes, uma em uma proporção de diâmetro superior e outra em uma proporção de diâmetro inferior . ${\ textstyle D / d}$

Winkelmann et al. foram os primeiros a realizar experimentalmente essa estrutura usando bolhas de sabão em um sistema de esferas deformáveis.

Pacotes de esferas densas em cilindros

Estruturas colunares surgem naturalmente no contexto de pacotes de esferas duras densas dentro de um cilindro. Mughal et al. estudaram tais gaxetas usando recozimento simulado até a razão de diâmetro de diâmetro do cilindro para diâmetro da esfera . Isso inclui algumas estruturas com esferas internas que não estão em contato com a parede do cilindro. ${\ textstyle D / d = 2,873}$${\ textstyle D}$${\ textstyle d}$

Eles calcularam a fração de empacotamento para todas essas estruturas em função da proporção do diâmetro. Nos picos desta curva estão as estruturas uniformes. Entre essas relações de diâmetro discretas estão as cunhas de linha em uma densidade de empacotamento mais baixa. Sua fração de empacotamento é significativamente menor do que a de um empacotamento de rede não confinada, como fcc , bcc ou hcp, devido ao volume livre deixado pelo confinamento cilíndrico.

A rica variedade de tais estruturas ordenadas também pode ser obtida por deposição sequencial das esferas no cilindro. Chan reproduziu todos os empacotamentos de esferas densas usando um algoritmo, no qual as esferas são colocadas sequencialmente e deixadas cair dentro do cilindro. ${\ textstyle D / d <2,7013}$

Mughal et al. também descobriu que tais estruturas podem estar relacionadas a embalagens de disco na superfície de um cilindro. A rede de contato de ambas as embalagens é idêntica. Para ambos os tipos de embalagem, verificou-se que diferentes estruturas uniformes são conectadas entre si por deslizamentos de linha.

Fu et al. estendeu este trabalho para relações de diâmetro mais altas usando programação linear e descobriu 17 novas estruturas densas com esferas internas que não estão em contato com a parede do cilindro. ${\ textstyle D / d <4.0}$

Uma variedade semelhante de estruturas cristalinas densas também foi descoberta para embalagens colunares de esferóides por meio de simulações de Monte Carlo . Tais embalagens incluem estruturas aquirais com orientações esferóides específicas e estruturas helicoidais quirais com orientações esferóides rotativas.

Estruturas colunares criadas por rotações rápidas

Um outro método dinâmico para montar tais estruturas foi introduzido por Lee et al . Aqui, os grânulos poliméricos são colocados junto com um fluido de densidade mais alta dentro de um torno rotativo .

Quando o torno está estático, as contas flutuam sobre o líquido. Com o aumento da velocidade de rotação, a força centrípeta empurra o fluido para fora e os grânulos em direção ao eixo central. Portanto, os grânulos são essencialmente confinados por um potencial dado pela energia rotacional

onde está a massa dos cordões, a distância do eixo central e a velocidade de rotação. Devido à proporcionalidade, o potencial confinante se assemelha ao de um oscilador harmônico cilíndrico . ${\ textstyle m}$${\ textstyle R}$${\ textstyle \ omega}$${\ textstyle R ^ {2}}$

Dependendo do número de esferas e da velocidade de rotação, uma variedade de estruturas ordenadas que são comparáveis ​​aos pacotes de esferas densas foram descobertas.

Uma teoria abrangente para este experimento foi desenvolvida por Winkelmann et al. É baseado em cálculos analíticos de energia usando um modelo de esfera genérico e prevê transições de estrutura

peritectoide .

Veja também

• Embalagem de esfera
• Empacotamento de esferas iguais
• Problemas de embalagem

Referências

links externos

• Becker, Aaron T. e Huang, L. "Packing spheres into a Thin Cylinder" . MathWorld .