A solução de Schwarzschild descreve o espaço-tempo sob a influência de um objeto massivo, não rotativo e esférico simétrico. É considerada por alguns como uma das soluções mais simples e úteis para as equações de campo de Einstein .
Suposições e notação
Trabalhando em um gráfico de coordenadas com coordenadas rotuladas de 1 a 4 respectivamente, começamos com a métrica em sua forma mais geral (10 componentes independentes, cada um dos quais é uma função suave de 4 variáveis). A solução é considerada esfericamente simétrica, estática e a vácuo. Para os fins deste artigo, essas suposições podem ser declaradas da seguinte forma (consulte os links relevantes para definições precisas):
- Um espaço - tempo esférico simétrico é aquele que é invariável sob rotações e tomando a imagem espelhada.
- Um espaço - tempo estático é aquele em que todos os componentes métricos são independentes da coordenada de tempo (de modo que ) e a geometria do espaço-tempo permanece inalterada sob uma reversão de tempo .
- Uma solução de vácuo é aquela que satisfaz a equação . A partir das equações de campo de Einstein (com constante cosmológica zero ), isso implica que, uma vez que a contração rende .
-
A assinatura métrica usada aqui é (+, +, +, -).
Diagonalizando a métrica
A primeira simplificação a ser feita é diagonalizar a métrica. Sob a transformação de coordenadas , todos os componentes métricas deve permanecer o mesmo. Os componentes métricos ( ) mudam sob esta transformação como:
-
( )
Mas, como esperamos (os componentes métricos permanecem os mesmos), isso significa que:
-
( )
Da mesma forma, as transformações de coordenadas e respectivamente fornecem:
-
( )
-
( )
Juntar tudo isso dá:
-
( )
e, portanto, a métrica deve estar no formato:
onde os quatro componentes métricos são independentes da coordenada de tempo (pela suposição estática).
Simplificando os componentes
Em cada hipersuperfície de constante , constante e constante (ou seja, em cada linha radial), deve depender apenas (por simetria esférica). Portanto, é uma função de uma única variável:
Um argumento semelhante aplicado ao mostra que:
Nas hipersuperfícies de constante e constante , é necessário que a métrica seja a de uma esfera 2:
Escolhendo uma dessas hipersuperfícies (aquela com raio , digamos), os componentes métricos restritos a esta hipersuperfície (que denotamos por e ) devem permanecer inalterados sob rotações através de e (novamente, por simetria esférica). Comparar as formas da métrica nesta hipersuperfície dá:
que imediatamente produz:
-
e
Mas isso é necessário para manter cada hipersuperfície; conseqüentemente,
-
e
Uma maneira intuitiva alternativa de ver isso e deve ser a mesma que para um espaço-tempo plano é que esticar ou comprimir um material elástico de maneira esférica simétrica (radialmente) não mudará a distância angular entre dois pontos.
Assim, a métrica pode ser colocada na forma:
com e funções ainda indeterminadas de . Observe que se ou for igual a zero em algum ponto, a métrica seria singular naquele ponto.
Calculando os símbolos de Christoffel
Usando a métrica acima, encontramos os símbolos de Christoffel , onde estão os índices . O sinal denota uma derivada total de uma função.
Usando as equações de campo para encontrar A (r) e B (r)
Para determinar e , as equações de campo de vácuo são empregadas:
Conseqüentemente:
onde uma vírgula é usada para definir o índice que está sendo usado para a derivada. Apenas três dessas equações não são triviais e, após simplificação, tornam-se:
(a quarta equação é apenas vezes a segunda equação), onde o primo significa a derivada r das funções. Subtrair a primeira e a terceira equações produz:
onde é uma constante real diferente de zero. Substituindo na segunda equação e arrumando dá:
que tem solução geral:
para alguma constante real diferente de zero . Portanto, a métrica para uma solução de vácuo estática e esférica simétrica agora tem a forma:
Observe que o espaço-tempo representado pela métrica acima é assintoticamente plano , ou seja , à medida que a métrica se aproxima da métrica de Minkowski e a variedade do espaço-tempo se assemelha à do espaço de Minkowski .
Usando a aproximação de campo fraco para encontrar K e S
Este diagrama fornece a rota para encontrar a solução de Schwarzschild usando a aproximação de campo fraco. A igualdade na segunda linha dá
g 44 = -
c 2 + 2
GM /
r , assumindo que a solução desejada degenera para a métrica de Minkowski quando o movimento acontece longe do buraco negro (
r se aproxima do infinito positivo).
A geodésica da métrica (obtida onde é extremizada) deve, em algum limite (por exemplo, em direção à velocidade infinita da luz), concordar com as soluções do movimento newtoniano (por exemplo, obtido pelas equações de Lagrange ). (A métrica também deve se limitar ao espaço de Minkowski quando a massa que ela representa desaparecer.)
(onde está a energia cinética e é a energia potencial devido à gravidade) As constantes e são totalmente determinadas por alguma variante desta abordagem; da aproximação de campo fraco chega-se ao resultado:
onde está a constante gravitacional , é a massa da fonte gravitacional e é a velocidade da luz. Verifica-se que:
-
e
Conseqüentemente:
-
e
Portanto, a métrica de Schwarzschild pode finalmente ser escrita na forma:
Observe que:
é a definição do raio de Schwarzschild para um objeto de massa , então a métrica de Schwarzschild pode ser reescrita na forma alternativa:
o que mostra que a métrica se torna singular ao se aproximar do horizonte de eventos (ou seja, ). A singularidade métrica não é física (embora haja uma singularidade física real em ), como pode ser mostrado usando uma transformação de coordenadas adequada (por exemplo, o sistema de coordenadas Kruskal-Szekeres ).
Derivação alternativa usando física conhecida em casos especiais
A métrica de Schwarzschild também pode ser derivada usando a física conhecida para uma órbita circular e uma massa pontual temporariamente estacionária. Comece com a métrica com coeficientes que são coeficientes desconhecidos de :
Agora aplique a equação de Euler-Lagrange à integral do comprimento do arco. Uma vez que é constante, o integrando pode ser substituído por porque a equação EL é exatamente a mesma se o integrando for multiplicado por qualquer constante. A aplicação da equação EL com o integrando modificado produz:
onde ponto denota diferenciação em relação a
Em uma órbita circular, então a primeira equação EL acima é equivalente a
A terceira lei do movimento de Kepler é
Em uma órbita circular, o período é igual, implicando
desde o ponto de massa é insignificante em comparação com a massa do corpo central Assim, e integrando este rendimentos , onde é uma constante desconhecida de integração. pode ser determinado definindo em qual caso o espaço-tempo é plano e assim e
Quando o ponto de massa é temporariamente parado, e A equação métrica original torna-se e a primeira equação acima torna-se EL Quando o ponto de massa é temporariamente parado, é a aceleração da gravidade , Assim
Forma alternativa em coordenadas isotrópicas
A formulação original da métrica usa coordenadas anisotrópicas nas quais a velocidade da luz não é a mesma nas direções radial e transversal. Arthur Eddington forneceu formas alternativas em coordenadas isotrópicas . Para coordenadas esféricas isotrópicos , , , coordenadas e mantêm-se inalterados, e, em seguida, (fornecida )
-
, e
Então, para coordenadas retangulares isotrópicos , , ,
-
A métrica então se torna, em coordenadas retangulares isotrópicas:
Dispensando a suposição estática - teorema de Birkhoff
Ao derivar a métrica de Schwarzschild, foi assumido que a métrica era vácuo, esfericamente simétrica e estática . Na verdade, a suposição estática é mais forte do que o necessário, pois o teorema de Birkhoff afirma que qualquer solução de vácuo esfericamente simétrica das equações de campo de Einstein é estacionária ; então, obtém-se a solução de Schwarzschild. O teorema de Birkhoff tem como consequência que qualquer estrela pulsante que permaneça esfericamente simétrica não pode gerar ondas gravitacionais (já que a região exterior à estrela deve permanecer estática).
Veja também
Referências