Contração do tensor - Tensor contraction

Na álgebra multilinear , uma contração de tensor é uma operação em um tensor que surge do emparelhamento natural de um espaço vetorial de dimensão finita e seu dual . Em componentes, é expresso como uma soma de produtos de componentes escalares do (s) tensor (es) causados pela aplicação da convenção de soma a um par de índices fictícios que estão ligados entre si em uma expressão. A contração de um único tensor misto ocorre quando um par de índices literais (um subscrito, o outro um sobrescrito) do tensor são iguais e somados. Na notação de Einstein, esse somatório é embutido na notação. O resultado é outro tensor com ordem reduzida em 2.

A contração do tensor pode ser vista como uma generalização do traço .

Formulação abstrata

Seja V um espaço vetorial sobre um campo k . O núcleo da operação de contração, e o caso mais simples, é o emparelhamento natural de V com seu espaço vetorial dual V ^∗ . O emparelhamento é a transformação linear do produto tensorial desses dois espaços para o campo k :

{\ displaystyle C: V \ otimes V ^ {*} \ rightarrow k}

correspondendo à forma bilinear

{\ displaystyle \ langle f, v \ rangle = f (v)}

onde f é em V ^* e v é em V . O mapa C define a operação de contração em um tensor do tipo (1, 1) , que é um elemento de . Observe que o resultado é um escalar (um elemento de k ). Usando o isomorfismo natural entre e o espaço das transformações lineares de V para V , obtém-se uma definição livre de base do traço . ${\ displaystyle V ^ {*} \ otimes V}$ ${\ displaystyle V \ otimes V ^ {*}}$

Em geral, um tensor do tipo ( m , n ) (com m ≥ 1 e n ≥ 1 ) é um elemento do espaço vetorial

{\ displaystyle V \ otimes \ cdots \ otimes V \ otimes V ^ {*} \ otimes \ cdots \ otimes V ^ {*}}

(onde há m fatores V e n fatores V ^∗ ). Aplicando o emparelhamento natural ao k- ésimo fator V e o l- ésimo fator V ^∗ , e usando a identidade em todos os outros fatores, define-se a operação de contração ( k , l ), que é um mapa linear que produz um tensor do tipo ( m - 1, n - 1) . Por analogia com o caso (1, 1) , a operação geral de contração é às vezes chamada de traço.

Contração na notação do índice

Na notação de índice tensorial , a contração básica de um vetor e um vetor dual é denotada por

{\ displaystyle {\ tilde {f}} ({\ vec {v}}) = f _ {\ gamma} v ^ {\ gamma}}

que é uma abreviatura para o somatório de coordenadas explícito

{\ displaystyle f _ {\ gamma} v ^ {\ gamma} = f_ {1} v ^ {1} + f_ {2} v ^ {2} + \ cdots + f_ {n} v ^ {n}}

(onde $v i$ são os componentes de $v$ em uma base particular $ef i$ são os componentes de $f$ na base dual correspondente).

Uma vez que um tensor diádico misto geral é uma combinação linear de tensores decomponíveis da forma , a fórmula explícita para o caso diádico segue: let ${\ displaystyle f \ otimes v}$

{\ displaystyle \ mathbf {T} = T ^ {i} {} _ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} ^ {j}}

ser um tensor diádico misto. Então sua contração é

{\ displaystyle T ^ {i} {} _ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = T ^ {i} {} _ {j} \ delta _ { i} {} ^ {j} = T ^ {j} {} _ {j} = T ^ {1} {} _ {1} + \ cdots + T ^ {n} {} _ {n}}

.

Uma contração geral é denotada ao rotular um índice covariante e um índice contravariante com a mesma letra, a soma sobre esse índice sendo implícita pela convenção de soma . O tensor contraído resultante herda os índices restantes do tensor original. Por exemplo, contrair um tensor T do tipo (2,2) no segundo e terceiro índices para criar um novo tensor U do tipo (1,1) é escrito como

{\ displaystyle T ^ {ab} {} _ {bc} = \ sum _ {b} {T ^ {ab} {} _ {bc}} = T ^ {a1} {} _ {1c} + T ^ { a2} {} _ {2c} + \ cdots + T ^ {an} {} _ {nc} = U ^ {a} {} _ {c}.}

Em contraste, vamos

{\ displaystyle \ mathbf {T} = \ mathbf {e} ^ {i} \ otimes \ mathbf {e} ^ {j}}

ser um tensor diádico não misturado. Este tensor não se contrai; se seus vetores de base são pontilhados, o resultado é o tensor métrico contravariante ,

{\ displaystyle g ^ {ij} = \ mathbf {e} ^ {i} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j}}

,

cuja classificação é 2.

Contração métrica

Como no exemplo anterior, a contração em um par de índices que são ambos contravariantes ou ambos covariantes não é possível em geral. No entanto, na presença de um produto interno (também conhecido como métrico ) g , tais contrações são possíveis. Usa-se a métrica para aumentar ou diminuir um dos índices, conforme necessário, e então usa-se a operação usual de contração. A operação combinada é conhecida como contração métrica .

Aplicação a campos tensores

A contração é frequentemente aplicada a campos tensores sobre espaços (por exemplo , espaço euclidiano , variedades ou esquemas ). Uma vez que a contração é uma operação puramente algébrica, ela pode ser aplicada pontualmente a um campo tensorial, por exemplo, se T for um campo tensorial (1,1) no espaço euclidiano, então em quaisquer coordenadas, sua contração (um campo escalar) U em um ponto x é dado por

{\ displaystyle U (x) = \ sum _ {i} T_ {i} ^ {i} (x)}

Uma vez que o papel de x não é complicado aqui, ele é freqüentemente suprimido, e a notação para campos tensores torna-se idêntica àquela para tensores puramente algébricos.

Sobre uma variedade Riemanniana , uma métrica (campo de produtos internos) está disponível, e as contrações métricas e não métricas são cruciais para a teoria. Por exemplo, o tensor de Ricci é uma contração não métrica do tensor de curvatura de Riemann , e a curvatura escalar é a contração métrica única do tensor de Ricci.

Também se pode ver a contração de um campo tensorial no contexto de módulos sobre um anel apropriado de funções no coletor ou no contexto de feixes de módulos sobre o feixe de estrutura; veja a discussão no final deste artigo.

Divergência de tensor

Como uma aplicação da contração de um campo tensorial, seja V um campo vetorial em uma variedade Riemanniana (por exemplo, espaço euclidiano ). Let Ser a derivada covariante de V (em alguma escolha de coordenadas). No caso de coordenadas cartesianas no espaço euclidiano, pode-se escrever ${\ displaystyle V ^ {\ alpha} {} _ {\ beta}}$

{\ displaystyle V ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} = {\ parcial V ^ {\ alpha} \ over \ parcial x ^ {\ beta}}.}

Em seguida, a mudança do índice β para α faz com que o par de índices se torne vinculado um ao outro, de modo que o derivado contrai consigo mesmo para obter a seguinte soma:

{\ displaystyle V ^ {\ alpha} {} _ {\ alpha} = V ^ {0} {} _ {0} + \ cdots + V ^ {n} {} _ {n}}

que é a divergência div V . Então

{\ displaystyle \ operatorname {div} V = V ^ {\ alpha} {} _ {\ alpha} = 0}

é uma equação de continuidade para V .

Em geral, pode-se definir várias operações de divergência em campos tensores de classificação superior , como segue. Se T é um campo tensor com, pelo menos, um índice contravariante, tendo o diferencial covariante e contrair o índice contravariante escolhido com o novo índice covariante correspondente aos resultados diferenciais em um novo tensor de categoria uma menor do que a T .

Contração de um par de tensores

Pode-se generalizar a operação de contracção do núcleo (vector com o vector dual) de uma maneira ligeiramente diferente, considerando-se um par de tensores de T e U . O produto tensorial é um novo tensor, que, se tiver pelo menos um índice covariante e um índice contravariante, pode ser contraído. O caso em que T é um vetor e U é um vetor dual é exatamente a operação principal apresentada neste artigo. ${\ displaystyle T \ otimes U}$

Na notação de índice de tensores, para contrair dois tensores entre si, deve-se colocá-los lado a lado (justapostos) como fatores do mesmo termo. Isso implementa o produto tensorial, gerando um tensor composto. Contratar dois índices neste tensor composto implementa a contração desejada dos dois tensores.

Por exemplo, as matrizes podem ser representadas como tensores do tipo (1,1) com o primeiro índice sendo contravariante e o segundo índice sendo covariante. Sejam os componentes de uma matriz e sejam os componentes de uma segunda matriz. Então sua multiplicação é dada pela seguinte contração, um exemplo da contração de um par de tensores: ${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ alpha} {} _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M} ^ {\ beta} {} _ {\ gamma}}$

{\ displaystyle \ Lambda ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} \ mathrm {M} ^ {\ beta} {} _ {\ gamma} = \ mathrm {N} ^ {\ alpha} {} _ {\ gama}}

.

Além disso, o produto interior de um vetor com uma forma diferencial é um caso especial de contração de dois tensores entre si.

Contextos algébricos mais gerais

Deixe- R ser um anel conmutativo e deixá- H ser um livre finito módulo sobre R . Então a contração opera na álgebra tensorial completa (mista) de M exatamente da mesma maneira que no caso de espaços vetoriais sobre um campo. (O fato principal é que o emparelhamento natural ainda é perfeito neste caso.)

Mais geralmente, seja O _X um feixe de anéis comutativos sobre um espaço topológico X , por exemplo, O _X poderia ser o feixe de estrutura de uma variedade complexa , espaço analítico ou esquema . Seja M um feixe localmente livre de módulos sobre O _X de classificação finita. Então, o dual de M ainda é bem comportado e as operações de contração fazem sentido neste contexto.

Veja também

Notas

Referências

Bispo, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1980). Análise de tensor em manifolds . Nova York: Dover. ISBN 0-486-64039-6.
Menzel, Donald H. (1961). Física Matemática . Nova York: Dover. ISBN 0-486-60056-4.

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