Hipersuperfície - Hypersurface

Em geometria , uma hipersuperfície é uma generalização dos conceitos de hiperplano , curva plana e superfície . Uma hipersuperfície é uma variedade ou variedade algébrica de dimensão $n - 1$ , que está embutida em um espaço ambiente de dimensão $n$ , geralmente um espaço euclidiano , um espaço afim ou um espaço projetivo . As hipersuperfícies compartilham, com as superfícies em um espaço tridimensional , a propriedade de serem definidas por uma única equação implícita, pelo menos localmente (perto de cada ponto) e, às vezes, globalmente.

Uma hipersuperfície em um espaço (euclidiano, afim ou projetivo) de dimensão dois é uma curva plana. Em um espaço de dimensão três, é uma superfície.

Por exemplo, a equação

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} -1 = 0}

define uma hipersuperfície algébrica de dimensão $n - 1$ no espaço euclidiano de dimensão $n$ . Essa hipersuperfície também é uma variedade lisa e é chamada de hiperesfera ou $(n - 1)$ -sfera .

Hipersuperfície lisa

Uma hipersuperfície que é uma variedade lisa é chamada de hipersuperfície lisa .

Em $R n$ , uma hipersuperfície lisa é orientável . Cada hipersuperfície lisa compacta conectada é um conjunto de níveis e separa R ⁿ em dois componentes conectados; isso está relacionado ao teorema de separação Jordan-Brouwer .

Hipersuperfície algébrica afim

Uma hipersuperfície algébrica é uma variedade algébrica que pode ser definida por uma única equação implícita da forma

{\ displaystyle p (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0,}

onde $p$ é um polinômio multivariado . Geralmente, o polinômio é considerado irredutível . Quando este não é o caso, a hipersuperfície não é uma variedade algébrica, mas apenas um conjunto algébrico . Pode depender dos autores ou do contexto se um polinômio redutível define uma hipersuperfície. Para evitar ambigüidade, o termo hipersuperfície irredutível é freqüentemente usado.

Como no caso das variedades algébricas, os coeficientes do polinómio definindo podem pertencer a qualquer fixo campo $k$ , e os pontos do hipersuperfıcie são os zeros de $p$ no espaço afim onde $K$ é uma extensão algebricamente fechado de $k$ . ${\ displaystyle K ^ {n},}$

Uma hipersuperfície pode ter singularidades , que são os zeros comuns, se houver, do polinômio de definição e suas derivadas parciais. Em particular, uma hipersuperfície algébrica real não é necessariamente uma variedade.

Propriedades

As hipersuperfícies têm algumas propriedades específicas que não são compartilhadas com outras variedades algébricas.

Uma das principais propriedades é o Nullstellensatz de Hilbert , que afirma que uma hipersuperfície contém um determinado conjunto algébrico se e somente se o polinômio definidor da hipersuperfície tiver um poder que pertence ao ideal gerado pelos polinômios definidores do conjunto algébrico.

Um corolário desse teorema é que, se dois polinômios irredutíveis (ou mais geralmente dois polinômios sem quadrados ) definem a mesma hipersuperfície, então um é o produto do outro por uma constante diferente de zero.

As hipersuperfícies são exatamente as subvariedades de dimensão $n - 1$ de um espaço afim de dimensão de $n$ . Esta é a interpretação geométrica do fato de que, em um anel polinomial sobre um campo, a altura de um ideal é 1 se e somente se o ideal for um ideal principal . No caso de hipersuperfícies possivelmente redutíveis, esse resultado pode ser reafirmado da seguinte maneira: as hipersuperfícies são exatamente os conjuntos algébricos cujos todos os componentes irredutíveis têm dimensão $n - 1$ .

Pontos reais e racionais

Uma hipersuperfície real é uma hipersuperfície definida por um polinômio com coeficientes reais . Neste caso, o campo algébricamente fechado sobre o qual os pontos são definidos é geralmente o campo dos números complexos. Os pontos reais de uma hipersuperfície real são os pontos que pertencem a O conjunto dos pontos reais de uma hipersuperfície real é a parte real da hipersuperfície. Freqüentemente, é deixado ao contexto se o termo hipersuperfície se refere a todos os pontos ou apenas à parte real. ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ subset \ mathbb {C} ^ {n}.}$

Se os coeficientes do polinômio definidor pertencem a um campo $k$ que não é algebricamente fechado (normalmente o campo dos números racionais , um campo finito ou um campo numérico ), diz-se que a hipersuperfície é definida sobre $k$ , e os pontos que pertencem a são racionais sobre $k$ (no caso do campo dos números racionais, "sobre $k$ " geralmente é omitido). ${\ displaystyle k ^ {n}}$

Por exemplo, a $n$ -sfera imaginária definida pela equação

{\ displaystyle x_ {0} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} + 1 = 0}

é uma hipersuperfície real sem nenhum ponto real, que é definido sobre os números racionais. Não tem nenhum ponto racional, mas tem muitos pontos que são racionais sobre os racionais gaussianos .

Hipersuperfície algébrica projetiva

Uma hipersuperfície projetiva (algébrica) de dimensão $n - 1$ em um espaço projetivo de dimensão $n$ sobre um campo $k$ é definida por um polinômio homogêneo em $n$ $+ 1$ indeterminados. Como de costume, polinômio homogêneo significa que todos os monômios de $P$ têm o mesmo grau, ou, equivalentemente, para cada constante $c$ , onde $d$ é o grau do polinômio. Os pontos do hipersuperfıcie são os pontos do espaço projectiva cujas coordenadas projectiva são zeros de $P$ . ${\ displaystyle P (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle P (cx_ {0}, cx_ {1}, \ ldots, cx_ {n}) = c ^ {d} P (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

Se alguém escolher o hiperplano da equação como hiperplano no infinito , o complemento desse hiperplano é um espaço afim , e os pontos do hiperplano projetivo que pertencem a este espaço afim formam uma hipersuperfície afim da equação. Por outro lado, dada uma hipersuperfície afim da equação . define uma hipersuperfície projetiva, chamada de completamento projetivo , cuja equação é obtida homogeneizando $p$ . Ou seja, a equação da conclusão projetiva é com ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle P (1, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0.}$ ${\ displaystyle p (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0,}$ ${\ displaystyle P (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0,}$

{\ displaystyle P (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {0} ^ {d} p (x_ {1} / x_ {0}, \ ldots, x_ {n } / x_ {0}),}

onde $d$ é o grau de $P$ .

Esses dois processos de conclusão projetiva e restrição a um subespaço afim são inversos um ao outro. Portanto, uma hipersuperfície afim e sua conclusão projetiva têm essencialmente as mesmas propriedades e são frequentemente considerados como dois pontos de vista para a mesma hipersuperfície.

No entanto, pode ocorrer que uma hipersuperfície afim seja não singular , enquanto sua completação projetiva tenha pontos singulares. Nesse caso, diz-se que a superfície afim é singular no infinito . Por exemplo, o cilindro circular da equação

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}

no espaço afim de dimensão três tem um único ponto singular, que está no infinito, na direção $x = 0, y = 0$ .

Veja também

Referências

"Hypersurface" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Shoshichi Kobayashi e Katsumi Nomizu (1969), Foundations of Differential Geometry Vol II, Wiley Interscience
PA Simionescu & D. Beal (2004) Visualização de hipersuperfícies e funções multivariáveis (objetivas) por globalização parcial , The Visual Computer 20 (10): 665–81.

Languages

In other projects