Matriz elementar - Elementary matrix

Em matemática , uma matriz elementar é uma matriz que difere da matriz identidade por uma única operação de linha elementar. As matrizes elementares geram o grupo linear geral GL _n ( F ) quando F é um campo. A multiplicação à esquerda (pré-multiplicação) por uma matriz elementar representa operações de linha elementares , enquanto a multiplicação à direita (pós-multiplicação) representa operações de coluna elementares .

Operações elementares de linha são usadas na eliminação gaussiana para reduzir uma matriz para a forma escalonada de linha . Eles também são usados ​​na eliminação de Gauss-Jordan para reduzir ainda mais a matriz para a forma escalonada de linha reduzida .

Operações elementares de linha

Existem três tipos de matrizes elementares, que correspondem a três tipos de operações de linha (respectivamente, operações de coluna):

Troca de linha

Uma linha dentro da matriz pode ser trocada por outra linha.

${\ displaystyle R_ {i} \ leftrightarrow R_ {j}}$

Multiplicação de linha

Cada elemento em uma linha pode ser multiplicado por uma constante diferente de zero. Também é conhecido como dimensionamento de uma linha.

${\ displaystyle kR_ {i} \ rightarrow R_ {i}, \ {\ mbox {onde}} k \ neq 0}$

Adição de linha

Uma linha pode ser substituída pela soma dessa linha e um múltiplo de outra linha.

${\ displaystyle R_ {i} + kR_ {j} \ rightarrow R_ {i}, {\ mbox {onde}} i \ neq j}$

Se E é uma matriz elementar, conforme descrito abaixo, para aplicar a operação de linha elementar a uma matriz A , multiplica-se A pela matriz elementar à esquerda, EA . A matriz elementar para qualquer operação de linha é obtida executando a operação na matriz de identidade . Esse fato pode ser entendido como uma instância do lema de Yoneda aplicado à categoria de matrizes.

Transformações de comutação de linha

O primeiro tipo de operação de linha em uma matriz A troca todos os elementos da matriz na linha i com suas contrapartes na linha j . A matriz elementar correspondente é obtida trocando-se a linha i pela linha j da matriz identidade .

${\ displaystyle T_ {i, j} = {\ begin {bmatrix} 1 &&&&&& \\ & \ ddots &&&&& \\ && 0 && 1 && \\ &&& \ ddots &&& \\ && 1 && 0 && \\ &&&&&&& \ ddots & \\ &&} }$

Assim, T _-ij Uma é a matriz produzido por troca de linha i e fila j de Uma .

Propriedades

• O inverso dessa matriz é ela mesma: T _ij ⁻¹ = T _ij .
• Como o determinante da matriz de identidade é a unidade, det ( T _ij ) = −1. Segue-se que para qualquer matriz quadrada A (de tamanho correto), temos det ( T _ij A ) = −det ( A ).

Transformações de multiplicação de linha

O próximo tipo de operação de linha em uma matriz A multiplica todos os elementos na linha i por m, onde m é um escalar diferente de zero (geralmente um número real). A matriz elementar correspondente é uma matriz diagonal, com entradas diagonais 1 em todos os lugares, exceto na i- ésima posição, onde é m .

${\ displaystyle D_ {i} (m) = {\ begin {bmatrix} 1 &&&&&& \\ & \ ddots &&&&& \\ && 1 &&&& \\ &&& m &&& \\ &&&& 1 && \\ &&&&&& \ end {bmatrix}$

Portanto, D _i ( m ) A é a matriz produzida a partir de A multiplicando a linha i por m .

Propriedades

• O inverso dessa matriz é dado por D _i ( m ) ⁻¹ = D _i (1 / m ).
• A matriz e seu inverso são matrizes diagonais .
• det ( D _i ( m )) = m . Portanto, para uma matriz quadrada A (de tamanho correto), temos det ( D _i ( m ) A ) = m det ( A ).

Transformações de adição de linha

O tipo final de operação de linha em uma matriz A adiciona a linha j multiplicada por um escalar m à linha i . A matriz elementar correspondente é a matriz identidade, mas com um m na posição ( i , j ).

${\ displaystyle L_ {ij} (m) = {\ start {bmatrix} 1 &&&&&& \\ & \ ddots &&&&& \\ && 1 &&&& \\ &&& \ ddots &&& \\ && m && 1 && \\ &&&&&& \ ddots & \\ &&} }}$

Portanto, L _ij ( m ) A é a matriz produzida a partir de A adicionando m vezes a linha j à linha i . E A L _ij ( m ) é a matriz produzida a partir de A adicionando m vezes a coluna i à coluna j .

Propriedades

• Essas transformações são um tipo de mapeamento de cisalhamento , também conhecido como transvecções .
• O inverso dessa matriz é dado por L _ij ( m ) ⁻¹ = L _ij (- m ).
• A matriz e seu inverso são matrizes triangulares .
• det ( L _ij ( m )) = 1. Portanto, para uma matriz quadrada A (do tamanho correto) temos det ( L _ij ( m ) A ) = det ( A ).
• As transformadas de adição de linha satisfazem as relações de Steinberg .

Veja também

• Eliminação gaussiana
• Álgebra Linear
• Sistema de equações lineares
• Matrix (matemática)
• Decomposição LU
• Matriz Frobenius

Referências

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Linear Algebra and Its Applications (3ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 de fevereiro de 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, arquivado do original em 31/10/2009
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2ª ed.), Brooks / Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9ª ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7ª ed.), Pearson Prentice Hall
• Strang, Gilbert (2016), Introdução à Álgebra Linear (5ª ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6