Subvariedade - Submanifold
Em matemática , uma subvariedade de uma variedade M é um subconjunto S que tem a estrutura de uma variedade e para o qual o mapa de inclusão S → M satisfaz certas propriedades. Existem diferentes tipos de subvariedades, dependendo exatamente de quais propriedades são necessárias. Diferentes autores costumam ter diferentes definições.
Definição formal
A seguir, assumimos que todas as variedades são variedades diferenciáveis da classe C r para um r fixo ≥ 1 , e todos os morfismos são diferenciáveis da classe C r .
Subvariedades imersas
Uma subvariedade imersa de uma variedade M é a imagem S de um mapa de imersão f : N → M ; em geral, esta imagem não será uma subvariedade como um subconjunto, e um mapa de imersão não precisa nem mesmo ser injetivo (um para um) - ele pode ter autointerseções.
Mais estreitamente, pode-se exigir que o mapa f : N → M seja uma injeção (um-para-um), em que o chamamos de imersão injetiva , e definimos uma subvariedade imersa como o subconjunto da imagem S junto com uma topologia e estrutura diferencial tal que S é uma variedade e a inclusão f é um difeomorfismo : esta é apenas a topologia em N, que em geral não vai concordar com a topologia do subconjunto: em geral o subconjunto S não é uma subvariedade de M, no subconjunto topologia.
Dada qualquer imersão injetiva f : N → M, a imagem de N em M pode ser exclusivamente dada a estrutura de uma subvariedade imersa de modo que f : N → f ( N ) seja um difeomorfismo . Conclui-se que as subvariedades imersas são precisamente as imagens de imersões injetivas.
A topologia subvariedade sobre uma subvariedade imerso não precisa ser a topologia em relação herdado de M . Em geral, será mais preciso do que a topologia de subespaço (ou seja, terá mais conjuntos abertos ).
As subvariedades imersas ocorrem na teoria dos grupos de Lie, onde os subgrupos de Lie são subvariedades naturalmente imersas. Eles também aparecem no estudo de folheações, onde subvariedades imersas fornecem o contexto certo para provar o teorema de Frobenius .
Subvariedades incorporadas
Uma subvariedade incorporada (também chamada de subvariedade regular ) é uma subvariedade imersa para a qual o mapa de inclusão é uma incorporação topológica . Ou seja, a topologia da subvariedade em S é a mesma que a topologia do subespaço.
Dada qualquer embutimento f : N → M de uma variedade N em M, a imagem f ( N ) tem naturalmente a estrutura de uma subvariedade embutida. Ou seja, as subvariedades incorporadas são precisamente as imagens de embeddings.
Existe uma definição intrínseca de uma subvariedade incorporada que geralmente é útil. Seja M uma variedade n- dimensional, e seja k um número inteiro tal que 0 ≤ k ≤ n . Uma subvariedade embutida k- dimensional de M é um subconjunto S ⊂ M tal que para cada ponto p ∈ S existe um gráfico ( U ⊂ M , φ : U → R n ) contendo p tal que φ ( S ∩ U ) é o intersecção de um plano k- dimensional com φ ( U ). Os pares ( S ∩ U , & Phi; | S ∩ L ) formar um atlas para a estrutura diferencial em S .
O teorema de Alexander e o teorema de Jordan-Schoenflies são bons exemplos de imersões suaves.
Outras variações
Existem algumas outras variações de subvariedades usadas na literatura. Uma subvariedade limpa é uma variedade cuja fronteira concorda com a fronteira de toda a variedade. Sharpe (1997) define um tipo de subvariedade que fica em algum lugar entre uma subvariedade incorporada e uma subvariedade imersa.
Muitos autores também definem subvariedades topológicas. Elas são iguais às subvariedades C r com r = 0 . Uma subvariedade topológica incorporada não é necessariamente regular no sentido da existência de um gráfico local em cada ponto que estende a incorporação. Os contra-exemplos incluem arcos selvagens e nós selvagens .
Propriedades
Dado qualquer imerso subvariedade S de H , o espaço tangente a um ponto p em S pode, naturalmente, ser considerado como um subespaço linear do espaço tangente à p em M . Isso decorre do fato de que o mapa de inclusão é uma imersão e fornece uma injeção
Suponhamos que S é uma subvariedade imersa de M . Se a inclusão mapear i : S → M é fechado então S é realmente uma subvariedade incorporado de M . Por outro lado, se S for uma subvariedade incorporada que também é um subconjunto fechado , o mapa de inclusão é fechado. O mapa de inclusão i : S → M é fechado se e somente se for um mapa adequado (ou seja, imagens inversas de conjuntos compactos são compactos). Se i for fechado, então S é chamado uma subvariedade incorporado fechado de M . As subvariedades incorporadas fechadas formam a melhor classe de subvariedades.
Subvariedades do espaço de coordenadas real
Variedades suaves às vezes são definidas como subvariedades embutidas do espaço de coordenadas reais R n , para alguns n . Este ponto de vista é equivalente à abordagem abstrata usual, porque, pelo teorema de embedding de Whitney , qualquer segunda variante m suave (abstrata) contável pode ser suavemente embutida em R 2 m .
Notas
Referências
- Choquet-Bruhat, Yvonne (1968). Géométrie différentielle et systèmes extérieurs . Paris: Dunod.
- Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Variedades diferenciais . Mineola, Nova York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
- Lang, Serge (1999). Fundamentos da Geometria Diferencial . Textos de Pós-Graduação em Matemática . Nova York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
- Lee, John (2003). Introdução aos distribuidores suaves . Textos de Pós-Graduação em Matemática 218 . Nova York: Springer. ISBN 0-387-95495-3.
- Sharpe, RW (1997). Geometria Diferencial: Generalização do Programa Erlangen de Klein de Cartan . Nova York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
- Warner, Frank W. (1983). Fundações de Manifolds Diferenciáveis e Grupos de Lie . Nova York: Springer. ISBN 0-387-90894-3.