Condição de energia - Energy condition

Nas teorias relativísticas de campo clássicas da gravitação , particularmente na relatividade geral , uma condição de energia é uma das várias condições alternativas que podem ser aplicadas ao conteúdo de matéria da teoria quando não é possível ou desejável especificar esse conteúdo explicitamente. A esperança é, então, que qualquer teoria da matéria razoável satisfaça essa condição ou, pelo menos, preserve a condição se ela for satisfeita pelas condições iniciais.

As condições de energia não são restrições físicas em si , mas sim condições de contorno impostas matematicamente que tentam capturar a crença de que "a energia deve ser positiva". Sabe-se que muitas condições de energia não correspondem à realidade física - por exemplo, sabe-se que os efeitos observáveis ​​da energia escura violam a condição de energia forte.

Na relatividade geral, as condições de energia são freqüentemente usadas (e exigidas) em provas de vários teoremas importantes sobre buracos negros, como o teorema do cabelo sem fio ou as leis da termodinâmica dos buracos negros .

Motivação

Na relatividade geral e nas teorias aliadas, a distribuição da massa, momento e tensão devido à matéria e a quaisquer campos não gravitacionais é descrita pelo tensor de energia-momento (ou tensor de matéria ) . No entanto, a equação de campo de Einstein não é muito exigente sobre quais tipos de estados da matéria ou campos não gravitacionais são admissíveis em um modelo de espaço-tempo. Isso é tanto um ponto forte, uma vez que uma boa teoria geral da gravitação deve ser maximamente independente de quaisquer suposições relativas à física não gravitacional, quanto um ponto fraco, porque sem algum critério adicional a equação do campo de Einstein admite soluções putativas com propriedades que a maioria dos físicos considera não físicas , ou seja, muito estranho para se parecer com qualquer coisa no universo real, mesmo aproximadamente. ${\ displaystyle T ^ {ab}}$

As condições de energia representam esses critérios. Grosso modo, eles descrevem propriedades comuns a todos (ou quase todos) os estados da matéria e todos os campos não gravitacionais que estão bem estabelecidos na física, embora sejam suficientemente fortes para descartar muitas "soluções" não físicas da equação de campo de Einstein.

Matematicamente falando, a característica distintiva mais aparente das condições de energia é que elas são essencialmente restrições aos autovalores e autovetores do tensor de matéria. Uma característica mais sutil, mas não menos importante, é que elas são impostas por eventos , no nível dos espaços tangentes . Portanto, eles não têm esperança de descartar características globais questionáveis , como curvas fechadas tipo tempo .

Algumas quantidades observáveis

Para entender as declarações das várias condições de energia, deve-se estar familiarizado com a interpretação física de algumas grandezas escalares e vetoriais construídas a partir de vetores nulos ou semelhantes ao tempo e o tensor de matéria.

Primeiro, uma unidade de campo vetorial semelhante ao tempo pode ser interpretada como definindo as linhas de mundo de alguma família de observadores ideais (possivelmente não inerciais). Então o campo escalar${\ displaystyle {\ vec {X}}}$

${\ displaystyle \ rho = T_ {ab} X ^ {a} X ^ {b}}$

pode ser interpretado como a densidade total de massa-energia (matéria mais energia de campo de quaisquer campos não gravitacionais) medida pelo observador de nossa família (em cada evento em sua linha de mundo). Da mesma forma, o campo vetorial com componentes representa (após uma projeção) o momento medido por nossos observadores. ${\ displaystyle - {T ^ {a}} _ {b} X ^ {b}}$

Em segundo lugar, dado um campo vetorial nulo arbitrário, o campo escalar ${\ displaystyle {\ vec {k}},}$

${\ displaystyle \ nu = T_ {ab} k ^ {a} k ^ {b}}$

pode ser considerado uma espécie de caso limite da densidade de massa-energia.

Terceiro, no caso da relatividade geral, dado um campo vetorial arbitrário semelhante ao tempo , novamente interpretado como descrevendo o movimento de uma família de observadores ideais, o escalar de Raychaudhuri é o campo escalar obtido tomando o traço do tensor de maré correspondente aos observadores em cada evento: ${\ displaystyle {\ vec {X}}}$

${\ displaystyle {E [{\ vec {X}}] ^ {m}} _ {m} = R_ {ab} X ^ {a} X ^ {b}}$

Essa quantidade desempenha um papel crucial na equação de Raychaudhuri . Então, da equação de campo de Einstein, obtemos imediatamente

${\ displaystyle {\ frac {1} {8 \ pi}} {E [{\ vec {X}}] ^ {m}} _ {m} = {\ frac {1} {8 \ pi}} R_ { ab} X ^ {a} X ^ {b} = \ left (T_ {ab} - {\ frac {1} {2}} Tg_ {ab} \ right) X ^ {a} X ^ {b},}$

onde está o traço do tensor de matéria. ${\ displaystyle T = {T ^ {m}} _ {m}}$

Declaração matemática

Existem várias condições alternativas de energia em uso comum:

Condição de energia nula

A condição de energia nula estipula que para cada campo de vetor nulo apontando para o futuro , ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$

${\ displaystyle \ nu = T_ {ab} k ^ {a} k ^ {b} \ geq 0.}$

Cada um deles tem uma versão média , na qual as propriedades observadas acima devem ser mantidas apenas na média ao longo das linhas de fluxo dos campos de vetor apropriados. Caso contrário, o efeito Casimir leva a exceções. Por exemplo, a condição de energia nula média afirma que para cada linha de fluxo (curva integral) do campo vetorial nulo , devemos ter ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {\ vec {k}},}$

${\ displaystyle \ int _ {C} T_ {ab} k ^ {a} k ^ {b} d \ lambda \ geq 0.}$

Condição de energia fraca

A condição de energia fraca estipula que para cada campo vetorial semelhante ao tempo, a densidade da matéria observada pelos observadores correspondentes é sempre não negativa: ${\ displaystyle {\ vec {X}},}$

${\ displaystyle \ rho = T_ {ab} X ^ {a} X ^ {b} \ geq 0.}$

Condição de energia dominante

A condição de energia dominante estipula que, além da condição de energia fraca permanecer verdadeira, para cada campo vetorial causal que aponta para o futuro (seja no tempo ou nulo), o campo vetorial deve ser um vetor causal que aponta para o futuro. Ou seja, a massa-energia nunca pode ser observada fluindo mais rápido do que a luz. ${\ displaystyle {\ vec {Y}},}$${\ displaystyle - {T ^ {a}} _ {b} Y ^ {b}}$

Forte condição de energia

A condição de forte energia estipula que para cada campo vetorial semelhante ao tempo , o traço do tensor de maré medido pelos observadores correspondentes é sempre não negativo: ${\ displaystyle {\ vec {X}}}$

${\ displaystyle \ left (T_ {ab} - {\ frac {1} {2}} Tg_ {ab} \ right) X ^ {a} X ^ {b} \ geq 0}$

Existem muitas configurações clássicas de matéria que violam a condição de energia forte, pelo menos de uma perspectiva matemática. Por exemplo, um campo escalar com potencial positivo pode violar essa condição. Além disso, as observações da energia escura / constante cosmológica mostram que a condição de energia forte falha em descrever o nosso universo, mesmo quando calculada em escalas cosmológicas. Além disso, é fortemente violado em qualquer processo inflacionário cosmológico (mesmo que não seja conduzido por um campo escalar).

Fluidos perfeitos

Implicações entre algumas condições de energia, no caso de um fluido perfeito.

Fluidos perfeitos possuem um tensor de matéria de forma

${\ displaystyle T ^ {ab} = \ rho u ^ {a} u ^ {b} + ph ^ {ab},}$

onde está a quatro velocidades das partículas de matéria e onde está o tensor de projeção sobre os elementos do hiperplano espacial ortogonal às quatro velocidades, em cada evento. (Observe que esses elementos hiperplanos não formarão um hiperslice espacial, a menos que a velocidade seja livre de vorticidade , ou seja, irrotacional .) Com relação a um quadro alinhado com o movimento das partículas de matéria, os componentes do tensor de matéria assumem a forma diagonal ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle h ^ {ab} \ equiv g ^ {ab} + u ^ {a} u ^ {b}}$

${\ displaystyle T ^ {{\ hat {a}} {\ hat {b}}} = {\ begin {bmatrix} \ rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \ end {bmatrix}}.}$

Aqui está a densidade de energia e a pressão . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle p}$

As condições de energia podem então ser reformuladas em termos desses valores próprios:

• A condição de energia nula estipula que ${\ displaystyle \ rho + p \ geq 0.}$
• A condição de energia fraca estipula que ${\ displaystyle \ rho \ geq 0, \; \; \ rho + p \ geq 0.}$
• A condição de energia dominante estipula que ${\ displaystyle \ rho \ geq | p |.}$
• A forte condição de energia estipula que ${\ displaystyle \ rho + p \ geq 0, \; \; \ rho + 3p \ geq 0.}$

As implicações entre essas condições são indicadas na figura à direita. Observe que algumas dessas condições permitem pressão negativa . Além disso, observe que, apesar dos nomes, a condição de energia forte não implica em condição de energia fraca, mesmo no contexto de fluidos perfeitos .

Tentativas de falsificar as condições de energia

Embora a intenção das condições de energia seja fornecer critérios simples que descartem muitas situações não físicas, embora admitindo qualquer situação fisicamente razoável, na verdade, pelo menos quando se introduz uma modelagem de campo eficaz, alguns efeitos da mecânica quântica, alguns possíveis tensores de matéria que são conhecidos por ser fisicamente razoáveis ​​e até mesmo realistas porque foi verificado experimentalmente que eles realmente falham em várias condições de energia. Em particular, no efeito Casimir , na região entre duas placas condutoras mantidas paralelas em uma separação d muito pequena , há uma densidade de energia negativa

${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {- \ pi ^ {2}} {720}} {\ frac {\ hbar} {d ^ {4}}}}$

entre as placas. (Lembre-se, porém, de que o efeito Casimir é topológico, pois o sinal da energia do vácuo depende da geometria e da topologia da configuração. Sendo negativo para placas paralelas, a energia do vácuo é positiva para uma esfera condutora.) , várias desigualdades quânticas sugerem que uma condição de energia média adequada pode ser satisfeita em tais casos. Em particular, a condição de energia nula média é satisfeita no efeito Casimir. De fato, para tensores de energia-momento que surgem de teorias de campo efetivas no espaço-tempo de Minkowski, a condição de energia nula média vale para campos quânticos diários. Estender esses resultados é um problema aberto.

A condição de energia forte é obedecida por toda matéria normal / newtoniana, mas um falso vácuo pode violá-la. Considere o estado da equação barotrópica linear

${\ displaystyle p = w \ rho,}$

onde está a densidade de energia da matéria, é a pressão da matéria e é uma constante. Então, a condição de forte energia requer ; mas para o estado conhecido como falso vácuo, nós temos . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle w \ geq -1/3}$${\ displaystyle w = -1}$

Veja também

• Congruência (relatividade geral)
• Soluções exatas na relatividade geral
• Campos de quadro na relatividade geral

Notas

Referências

• Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). A Estrutura em Grande Escala do Espaço-Tempo . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09906-4. As condições de energia são discutidas em §4.3.
• Poisson, Eric (2004). A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black Hole Mechanics . Cambridge: Cambridge University Press. Bibcode : 2004rtmb.book ..... P . ISBN 0-521-83091-5.Várias condições de energia (incluindo todas aquelas mencionadas acima) são discutidas na Seção 2.1 .
• Carroll, Sean M. (2004). Espaço-tempo e geometria: uma introdução à relatividade geral . São Francisco: Addison-Wesley . ISBN 0-8053-8732-3.Várias condições de energia são discutidas na Seção 4.6 .
• Wald, Robert M. (1984). Relatividade geral . Chicago: University of Chicago Press . ISBN 0-226-87033-2.As condições comuns de energia são discutidas na Seção 9.2 .
• Ellis, GFR; Maartens, R .; MacCallum, MAH (2012). Cosmologia Relativística . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38115-4.As violações da condição de energia forte são discutidas na Seção 6.1 .