Disco de Euler - Euler's Disk

Renderização por computador do disco de Euler em uma base ligeiramente côncava

O Disco de Euler , inventado entre 1987 e 1990 por Joseph Bendik, é uma marca registrada de um brinquedo educacional científico . É usado para ilustrar e estudar o sistema dinâmico de um disco giratório e giratório em uma superfície plana ou curva, e tem sido o assunto de uma série de artigos científicos.

Descoberta

Joseph Bendik notou pela primeira vez o movimento interessante do disco giratório enquanto trabalhava na Hughes Aircraft (Carlsbad Research Center), depois de girar um pesado mandril de polimento em sua mesa durante o almoço um dia. O efeito giratório foi tão dramático que ele imediatamente chamou seu amigo e colega de trabalho Richard Henry Wyles para dar uma olhada. Ele também ligou para seu amigo Larry Shaw ( inventor do Astrojax ) e o fez ouvir o som do disco girando.

O aparelho é conhecido como uma visualização dramática das trocas de energia em três processos diferentes e fortemente acoplados. À medida que o disco diminui gradualmente sua rotação azimutal, há também uma diminuição na amplitude e um aumento na frequência da precessão axial do disco.

A evolução da precessão axial do disco é facilmente visualizada em um vídeo em câmera lenta, olhando para a lateral do disco seguindo um único ponto marcado no disco. A evolução da rotação do disco é facilmente visualizada em câmera lenta, olhando para o topo do disco seguindo uma seta desenhada no disco representando seu raio.

Conforme o disco libera a energia inicial fornecida pelo usuário e se aproxima de uma parada, o disco parece desafiar a gravidade por meio dessas trocas dinâmicas de energia. Bendik deu ao brinquedo o nome de Leonhard Euler , que estudou física semelhante no século XVIII.

Componentes e operação

O brinquedo comercial consiste em um disco de aço cromado espesso e pesado e uma base espelhada rígida, ligeiramente côncava . Os adesivos magnéticos holográficos incluídos podem ser fixados no disco para aumentar o efeito visual de oscilação. No entanto, esses anexos podem tornar mais difícil ver e compreender os processos em funcionamento.

Quando girado em uma superfície plana, o disco exibe um movimento giratório / rolante, progredindo lentamente por meio de taxas e tipos de movimento variáveis ​​antes de parar. Mais notavelmente, a taxa de precessão do eixo de simetria do disco aumenta à medida que o disco gira para baixo. A base do espelho fornece uma superfície de baixo atrito; sua ligeira concavidade impede que o disco "vagueie" para fora da superfície.

Qualquer disco, girado em uma superfície razoavelmente plana (como uma moeda girada sobre uma mesa), exibirá essencialmente o mesmo tipo de movimento de um Disco de Euler, mas por um tempo muito mais curto. Os discos comerciais fornecem uma demonstração mais eficaz do fenômeno, tendo uma relação de aspecto otimizada e uma borda polida de precisão ligeiramente arredondada para maximizar o tempo de rotação / rolamento.

Física

Um disco giratório / rolante acaba parando de forma bastante abrupta, sendo o estágio final do movimento acompanhado por um zumbido de frequência crescente. Conforme o disco rola, o ponto de contato giratório descreve um círculo que oscila com velocidade angular constante . Se o movimento não é dissipativo (sem atrito), é constante e o movimento persiste para sempre; isto é contrário à observação, uma vez que não é constante nas situações da vida real. Na verdade, a taxa de precessão do eixo de simetria se aproxima de uma singularidade de tempo finito modelada por uma lei de potência com expoente de aproximadamente -1/3 (dependendo de condições específicas). ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$

Existem dois efeitos dissipativos conspícuos: fricção de rolamento quando o disco desliza ao longo da superfície e arrasto de ar devido à resistência do ar. Experimentos mostram que o atrito de rolamento é o principal responsável pela dissipação e comportamento - experimentos no vácuo mostram que a ausência de ar afeta o comportamento apenas ligeiramente, enquanto o comportamento (taxa de precessão) depende sistematicamente do coeficiente de atrito . No limite do ângulo pequeno (ou seja, imediatamente antes de o disco parar de girar), a resistência do ar (especificamente, a dissipação viscosa ) é o fator dominante, mas antes desse estágio final, o atrito de rolamento é o efeito dominante.

Movimento constante com o centro do disco em repouso

O comportamento de um disco giratório cujo centro está em repouso pode ser descrito a seguir. Deixe a linha que vai do centro do disco ao ponto de contato com o plano ser chamada de eixo . Uma vez que o centro do disco e o ponto de contato estão instantaneamente em repouso (assumindo que não haja deslizamento), o eixo é o eixo instantâneo de rotação. O momento angular é válido para qualquer disco fino e circularmente simétrico com massa ; para um disco com massa concentrada na borda, para um disco uniforme (como o disco de Euler), é o raio do disco e é a velocidade angular ao longo . ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {3}}}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {3}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {L} = kMa ^ {2} \ omega {\ widehat {\ mathbf {3}}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k = 1/2}$${\ displaystyle k = 1/4}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {3}}}}$

A força de contato é onde está a aceleração gravitacional e é o eixo vertical apontando para cima. O torque sobre o centro de massa é que podemos reescrever como onde . Podemos concluir que tanto o momento angular quanto o disco estão precessando em torno do eixo vertical a uma taxa${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ displaystyle Mg {\ widehat {\ mathbf {z}}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {z}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {N} = a {\ widehat {\ mathbf {3}}} \ times Mg {\ widehat {\ mathbf {z}}} = {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt} }}$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = {\ vec {\ Omega}} \ times \ mathbf {L}}$${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = - {\ frac {g} {ak \ omega}} {\ widehat {\ mathbf {z}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {z}}}}$

${\ displaystyle \ Omega = {\ frac {g} {ak \ omega}}}$

( 1 )

Ao mesmo tempo, é a velocidade angular do ponto de contato com o avião. Vamos definir o eixo ao longo do eixo de simetria do disco e apontando para baixo. Em seguida, ele mantém isso , onde está o ângulo de inclinação do disco em relação ao plano horizontal. A velocidade angular pode ser considerada composta de duas partes , onde é a velocidade angular do disco ao longo de seu eixo de simetria. A partir da geometria, podemos facilmente concluir que: ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {1}}}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {z}}} = - \ cos \ alpha {\ widehat {\ mathbf {1}}} - \ sin \ alpha {\ widehat {\ mathbf {3}}}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ omega {\ widehat {\ mathbf {3}}} = \ Omega {\ widehat {\ mathbf {z}}} + \ omega _ {\ text {rel}} {\ widehat {\ mathbf {1} }}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ text {rel}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ omega & = - \ Omega \ sin \ alpha, \\\ omega _ {\ text {rel}} & = \ Omega \ cos \ alpha \\\ end {alinhados}}}$

Conectando-se à equação ( 1 ), finalmente obtemos ${\ displaystyle \ omega = - \ Omega \ sin \ alpha}$

${\ displaystyle \ Omega ^ {2} = {\ frac {g} {ak \ sin \ alpha}}}$

( 2 )

Conforme adiabaticamente se aproxima de zero, a velocidade angular do ponto de contato torna-se muito grande e ouve-se um som de alta frequência associado ao disco giratório. No entanto, a rotação da figura na face da moeda, cuja velocidade angular se aproxima de zero. A velocidade angular total também desaparece, bem como a energia total ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega - \ omega _ {\ text {rel}} = \ Omega (1- \ cos \ alpha),}$${\ displaystyle \ omega = - {\ sqrt {\ frac {g \ sin \ alpha} {ak}}}}$

${\ displaystyle E = Mga \ sin \ alpha + {\ tfrac {1} {2}} I \ omega ^ {2} = Mga \ sin \ alpha + {\ tfrac {1} {2}} Mka ^ {2} {\ frac {g \ sin \ alpha} {ak}} = {\ tfrac {3} {2}} Mga \ sin \ alpha}$

como se aproxima de zero. Aqui usamos a equação ( 2 ). ${\ displaystyle \ alpha}$

À medida que se aproxima de zero, o disco finalmente perde contato com a mesa e o disco rapidamente se acomoda na superfície horizontal. Ouve-se o som em uma frequência , que se torna dramaticamente mais alta até que o som cesse abruptamente. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ frac {\ Omega} {2 \ pi}}}$

História da pesquisa

Moffatt

No início dos anos 2000, a pesquisa foi iniciada por um artigo na edição de 20 de abril de 2000 da Nature , onde Keith Moffatt mostrou que a dissipação viscosa na fina camada de ar entre o disco e a mesa seria suficiente para explicar a abrupção observada de o processo de liquidação. Ele também mostrou que o movimento foi concluído em uma singularidade de tempo finito . Sua primeira hipótese teórica foi contestada por pesquisas subsequentes, que mostraram que o atrito de rolamento é, na verdade, o fator dominante.

Moffatt mostrou que, à medida que o tempo se aproxima de um determinado tempo (que é matematicamente uma constante de integração ), a dissipação viscosa se aproxima do infinito . A singularidade que isso implica não é percebida na prática, pois a magnitude da aceleração vertical não pode exceder a aceleração da gravidade (o disco perde contato com sua superfície de suporte). Moffatt passa a mostrar que a teoria se quebra em um momento antes do tempo de acomodação final , dado por: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle t_ {0}}$

${\ displaystyle \ tau \ simeq \ left [\ left ({\ frac {2a} {9g}} \ right) ^ {3} {\ frac {2 \ pi \ mu a} {M}} \ right] ^ { 1/5}}$

onde é o raio do disco, é a aceleração devido à gravidade da Terra, a viscosidade dinâmica do ar e a massa do disco. Para o brinquedo do Disco de Euler disponível comercialmente (consulte o link em "Ligações externas" abaixo), é de cerca de segundos, momento em que o ângulo entre a moeda e a superfície , é de aproximadamente 0,005 radianos e a velocidade angular de rolamento é de cerca de 500 Hz . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle 10 ^ {- 2}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Omega}$

Usando a notação acima, o tempo total de giro / rolamento é:

${\ displaystyle t_ {0} = {\ frac {\ alpha _ {0} ^ {3} M} {2 \ pi \ mu a}}}$

onde é a inclinação inicial do disco, medida em radianos . Moffatt também mostrou que, se , a singularidade de tempo finito em é dada por ${\ displaystyle \ alpha _ {0}}$${\ displaystyle t_ {0} -t> \ tau}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ Omega \ sim (t_ {0} -t) ^ {- 1/6}}$

Resultados experimentais

O trabalho teórico de Moffatt inspirou vários outros pesquisadores a investigar experimentalmente o mecanismo dissipativo de um disco giratório / rolante, com resultados que contradiziam parcialmente sua explicação. Esses experimentos usaram objetos giratórios e superfícies de várias geometrias (discos e anéis), com coeficientes de atrito variados, tanto no ar quanto no vácuo, e usaram instrumentação como a fotografia de alta velocidade para quantificar o fenômeno.

Na edição de 30 de novembro de 2000 da Nature , os físicos Van den Engh, Nelson e Roach discutem experimentos em que discos foram girados no vácuo. Van den Engh usou um rijksdaalder , uma moeda holandesa , cujas propriedades magnéticas permitiam que ela fosse girada a uma taxa determinada com precisão. Eles descobriram que o deslizamento entre o disco e a superfície poderia ser responsável pelas observações, e a presença ou ausência de ar afetou apenas ligeiramente o comportamento do disco. Eles apontaram que a análise teórica de Moffatt poderia prever um tempo de rotação muito longo para um disco no vácuo, o que não foi observado.

Moffatt respondeu com uma teoria generalizada que deveria permitir a determinação experimental de qual mecanismo de dissipação é dominante, e apontou que o mecanismo de dissipação dominante seria sempre a dissipação viscosa no limite do pequeno (isto é, logo antes do disco se estabelecer). ${\ displaystyle \ alpha}$

Trabalhos posteriores de Petrie, Hunt e Gray na Universidade de Guelph mostraram que realizar os experimentos no vácuo (pressão 0,1 pascal ) não afetou significativamente a taxa de dissipação de energia. Petrie et al. também mostrou que as taxas não foram afetadas pela substituição do disco por um formato de anel e que a condição de não escorregamento foi satisfeita para ângulos maiores que 10 °. Outro trabalho de Caps, Dorbolo, Ponte, Croisier e Vandewalle concluiu que o ar é uma fonte secundária de dissipação de energia. O principal processo de dissipação de energia é o rolamento e deslizamento do disco na superfície de suporte. Foi demonstrado experimentalmente que o ângulo de inclinação, a taxa de precessão e a velocidade angular seguem o comportamento da lei de potência.

Em várias ocasiões durante a greve do Writers Guild of America de 2007-2008 , o apresentador de talk show Conan O'Brien girava sua aliança de casamento em sua mesa, tentando girar a aliança o máximo possível. A busca por tempos de giro cada vez mais longos o levou a convidar o professor do MIT Peter Fisher para o show para experimentar o problema. Girar o anel no vácuo não teve nenhum efeito identificável, enquanto uma superfície de suporte giratório de Teflon deu um tempo recorde de 51 segundos, corroborando a afirmação de que o atrito de rolamento é o principal mecanismo de dissipação de energia cinética. Vários tipos de fricção de rolamento como mecanismo primário de dissipação de energia foram estudados por Leine, que confirmou experimentalmente que a resistência de fricção do movimento do ponto de contato sobre a borda do disco é provavelmente o mecanismo de dissipação primário em uma escala de tempo de segundos .

Na cultura popular

Os discos de Euler aparecem no filme Bolo de Neve de 2006 e no programa de TV The Big Bang Theory , temporada 10, episódio 16, que foi ao ar em 16 de fevereiro de 2017.

A equipe de som do filme Pearl Harbor de 2001 usou um disco de Euler giratório como efeito sonoro para torpedos. Um pequeno clipe da equipe de som tocando o disco de Euler foi reproduzido durante as apresentações do Oscar.

Veja também

• Lista de tópicos com o nome de Leonhard Euler
• Tippe top - outro brinquedo de física giratório que exibe um comportamento surpreendente

Referências

links externos

• Eulersdisk.com
• A física de uma moeda girando (20 de abril de 2000) PhysicsWeb
• Investigação experimental e teórica da dissipação de energia de um disco rolante durante sua fase final de movimento (12 de dezembro de 2008) Arch Appl Mech
• Comentário sobre o disco de Moffat (31 de março de 2002)
• "Disco de Euler" . Problemas de física do mundo real . real-world-physics-problems.com . Página visitada em 11/07/2014 . Análise física matemática detalhada do movimento do disco
• Um vídeo do YouTube de um disco de Euler em ação