Leis do movimento de Euler - Euler's laws of motion

Parte de uma série sobre
Mecânica clássica
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Segunda lei do movimento
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Na mecânica clássica , as leis do movimento de Euler são equações do movimento que estendem as leis do movimento de Newton para o movimento de partícula pontual até o movimento de corpo rígido . Eles foram formulados por Leonhard Euler cerca de 50 anos depois que Isaac Newton formulou suas leis.

Visão geral

Primeira lei de Euler

A primeira lei de Euler afirma que a taxa de variação do momento linear p de um corpo rígido é igual à resultante de todas as forças externas F _ext agindo sobre o corpo:

F _ext = d p/dt.

As forças internas entre as partículas que constituem um corpo não contribuem para alterar o momento do corpo, pois existe uma força igual e oposta, resultando em nenhum efeito final.

O momento linear de um corpo rígido é o produto da massa do corpo e da velocidade de seu centro de massa v _cm .

Segunda lei de Euler

A segunda lei de Euler afirma que a taxa de variação do momento angular L sobre um ponto que é fixado em um referencial inercial (muitas vezes o centro de massa do corpo), é igual à soma dos momentos externos de força ( torques ) atuando naquele corpo M sobre aquele ponto:

${\ displaystyle \ mathbf {M} = {d \ mathbf {L} \ over dt}}$.

Observe que a fórmula acima é válida apenas se M e L forem calculados em relação a uma estrutura inercial fixa ou paralela à estrutura inercial, mas fixada no centro de massa. Para corpos rígidos em translação e rotação em apenas duas dimensões, isso pode ser expresso como:

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} _ {\ rm {cm}} \ times \ mathbf {a} _ {\ rm {cm}} m + I {\ boldsymbol {\ alpha}}}$,

Onde:

• r _cm é o vetor de posição do centro de massa do corpo em relação ao ponto sobre o qual os momentos são somados,
• um _cm é a aceleração linear do centro de massa do corpo,
• m é a massa do corpo,
• α é a aceleração angular do corpo, e
• I é o momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa.

Veja também as equações de Euler (dinâmica do corpo rígido) .

Explicação e derivação

A distribuição das forças internas em um corpo deformável não são necessariamente iguais em toda a extensão, ou seja, as tensões variam de um ponto para o outro. Esta variação de forças internas em todo o corpo é governada pela segunda lei de movimento de Newton para a conservação do momento linear e do momento angular , que para seu uso mais simples são aplicados a uma partícula de massa, mas são estendidos em mecânica contínua a um corpo de massa continuamente distribuída. Para corpos contínuos, essas leis são chamadas de leis do movimento de Euler . Se um corpo é representado como um conjunto de partículas discretas, cada uma governada pelas leis do movimento de Newton, as equações de Euler podem ser derivadas das leis de Newton. As equações de Euler podem, entretanto, ser tomadas como axiomas que descrevem as leis do movimento para corpos estendidos, independentemente de qualquer distribuição de partículas.

A força corporal total aplicada a um corpo contínuo com massa m , densidade de massa ρ e volume V , é o volume integral integrado sobre o volume do corpo:

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {B} = \ int _ {V} \ mathbf {b} \, dm = \ int _ {V} \ mathbf {b} \ rho \, dV}$

onde b é a força que atua no corpo por unidade de massa ( dimensões de aceleração, erroneamente chamadas de "força corporal"), e dm = ρ dV é um elemento de massa infinitesimal do corpo.

As forças do corpo e as forças de contato que atuam no corpo levam a momentos correspondentes ( torques ) dessas forças em relação a um determinado ponto. Assim, o torque total aplicado M sobre a origem é dado por

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {M} _ {B} + \ mathbf {M} _ {C}}$

onde M _B e M _C indicam respectivamente os momentos causados ​​pelo corpo e as forças de contato.

Assim, a soma de todas as forças e torques aplicados (com relação à origem do sistema de coordenadas) atuando no corpo pode ser dada como a soma de um volume e integral de superfície :

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ int _ {V} \ mathbf {a} \, dm = \ int _ {V} \ mathbf {a} \ rho \, dV = \ int _ {S} \ mathbf { t} dS + \ int _ {V} \ mathbf {b} \ rho \, dV}$

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {M} _ {B} + \ mathbf {M} _ {C} = \ int _ {S} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {t} dS + \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {b} \ rho \, dV.}$

onde t = t ( n ) é chamado de tracção superfície , integrados sobre a superfície do corpo, por sua vez, n denota um vector unitário normal e dirigida para o exterior para a superfície S .

Seja o sistema de coordenadas ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) um referencial inercial , r o vetor posição de uma partícula pontual no corpo contínuo em relação à origem do sistema de coordenadas ev =d r/dt ser o vetor de velocidade daquele ponto.

O primeiro axioma ou lei de Euler (lei do equilíbrio do momento linear ou equilíbrio das forças) afirma que em um referencial inercial a taxa de variação do momento linear p de uma porção arbitrária de um corpo contínuo é igual à força total aplicada F atuando sobre essa porção, e é expressa como

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} & = \ mathbf {F} \\ {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} \ rho \ mathbf {v} \, dV & = \ int _ {S} \ mathbf {t} dS + \ int _ {V} \ mathbf {b} \ rho \, dV. \\\ end {alinhado}}}$

O segundo axioma ou lei de Euler (lei do equilíbrio do momento angular ou equilíbrio dos torques) afirma que, em um referencial inercial, a taxa de variação do momento angular L de uma porção arbitrária de um corpo contínuo é igual ao torque total aplicado M agindo sobre essa porção, e é expressa como

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} & = \ mathbf {M} \\ {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ rho \ mathbf {v} \, dV & = \ int _ {S} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {t} dS + \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {b} \ rho \, dV. \\\ end {alinhado}}}$

Onde é a velocidade, o volume, e os derivados de p e G são derivados de materiais . ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle V}$

Veja também

• Lista de tópicos com o nome de Leonhard Euler
• Leis de Euler das rotações de corpo rígido
• Equações de movimento de Newton-Euler com 6 componentes, combinando as duas leis de Euler em uma equação.

Referências