pontos fixos de grupos isometria em espaço euclidiano - Fixed points of isometry groups in Euclidean space

Um ponto fixo de um grupo isometría é um ponto que é um ponto fixo para cada isometría no grupo. Para qualquer grupo isometría no espaço Euclidiano o conjunto de pontos fixos ou é vazio ou um espaço afim .

Para um objecto, qualquer único centro e, mais geralmente, qualquer ponto com propriedades únicas no que diz respeito ao objecto é um ponto fixo do seu grupo de simetria .

Em particular, isto aplica-se para o centróide de uma figura, se ele existir. No caso de um corpo físico, se para a simetria não apenas a forma, mas também a densidade é levado em conta, aplica-se ao centro de massa .

Se o conjunto de pontos fixos do grupo de simetria de um objeto é um singleton , em seguida, o objeto tem um determinado centro de simetria . O centróide e centro de massa, se definido, são neste momento. Outro significado de "centro de simetria" é um ponto em relação ao qual a inversão simetria se aplica. Esse ponto precisa não ser único; se não for, não há simetria translacional , portanto, há infinitamente muitos desses pontos. Por outro lado, nos casos de, por exemplo C 3 h e D 2 simetria existe um centro de simetria no primeiro sentido, mas não inversão.

Se o grupo de simetria de um objeto não tem pontos fixos, em seguida, o objeto é infinito e seu centróide e centro de massa são indefinidos.

Se o conjunto de pontos fixos do grupo de simetria de um objecto é uma linha ou plano, em seguida, o centróide e o centro de massa do objecto, se definiu, e qualquer outro ponto que tem propriedades únicas em relação ao objecto, são nesta linha ou plano.

1D

Linha
Apenas o grupo de isometria trivial deixa toda a linha fixa.
Ponto
Os grupos gerados por uma reflexão deixar um ponto fixo.

2D

Avião
Apenas o grupo isometría trivial C 1 deixa todo o plano fixo.
Linha
C s em relação a qualquer linha que deixa de linha fixa.
Ponto
Os grupos de pontos em duas dimensões em relação a qualquer ponto de deixar esse ponto fixo.

3D

Espaço
Apenas o grupo de isometria trivial C 1 deixa todo o espaço fixo.
Avião
C s com relação a um plano que deixa plano fixo.
Linha
Isometry grupos de saída de uma linha fixa são isometries que em cada plano perpendicular à linha que têm grupos de pontos 2D comum em duas dimensões em relação ao ponto de intersecção da linha e os aviões.
  • C n ( n > 1) e C nv ( n > 1)
  • simetria cilíndrica sem simetria de reflexão em um plano perpendicular ao eixo
  • casos em que o grupo de simetria é um subconjunto infinito de que de simetria cilíndrica
Ponto
Todos os outros grupos de pontos em três dimensões
Não há pontos fixos
O grupo isometría contém traduções ou uma operação de parafuso.

dimensão arbitrária

Ponto
Um exemplo de um grupo isometría, aplicando-se em todas as dimensões, que é gerado por inversão em um ponto. Uma n-dimensional paralelepípedo é um exemplo de um objecto invariante sob uma tal inversão.

Referências

Slavik V. Jablan, Simetria, Ornamento e modularidade , Volume 30 de K & E Series em Nós e tudo, World Scientific, 2002. ISBN  9812380809