Isometria - Isometry

Em matemática , uma isometria (ou congruência , ou transformação congruente ) é uma transformação que preserva a distância entre espaços métricos , geralmente considerada bijetiva .

Uma composição de duas isometrias opostas é uma isometria direta. Uma reflexão em uma linha é uma isometria oposta, como R ₁ ou R ₂ na imagem. A translação T é uma isometria direta: um movimento rígido .

Introdução

Dado um espaço métrico (vagamente, um conjunto e um esquema para atribuir distâncias entre os elementos do conjunto), uma isometria é uma transformação que mapeia elementos para o mesmo ou outro espaço métrico, de modo que a distância entre os elementos da imagem no novo espaço métrico é igual à distância entre os elementos no espaço métrico original. Em um espaço euclidiano bidimensional ou tridimensional , duas figuras geométricas são congruentes se estiverem relacionadas por uma isometria; a isometria que os relaciona é um movimento rígido (translação ou rotação), ou uma composição de um movimento rígido e um reflexo .

Isometrias são freqüentemente usadas em construções onde um espaço está embutido em outro espaço. Por exemplo, a realização de um espaço de métrica M envolve um isometría de M em H' , um conjunto quociente do espaço de sequências de Cauchy sobre M . O espaço original M é, portanto, isometricamente isomórfico a um subespaço de um espaço métrico completo e geralmente é identificado com esse subespaço. Outras construções de incorporação mostram que todo espaço métrico é isometricamente isomórfico a um subconjunto fechado de algum espaço vetorial normatizado e que todo espaço métrico completo é isometricamente isomórfico a um subconjunto fechado de algum espaço de Banach .

Um operador linear sobrejetivo isométrico em um espaço de Hilbert é chamado de operador unitário .

Definição de isometria

Deixe que X e Y ser espaços métricas com as métricas (por exemplo, distâncias) d _X e d _Y . Um mapa f  : X → Y é chamado de isometria ou preservação de distância se para qualquer a , b ∈ X um tem

${\ displaystyle d_ {Y} \! \ left (f (a), f (b) \ right) = d_ {X} (a, b).}$

Uma isometria é automaticamente injetiva ; caso contrário, dois pontos distintos, um e b , pode ser mapeado para o mesmo ponto, contrariando assim a coincidência axioma da métrica d . Essa prova é semelhante à prova de que uma incorporação de pedido entre conjuntos parcialmente ordenados é injetiva. Claramente, toda isometria entre espaços métricos é uma incorporação topológica.

A isometria global , isomorfismo isométrico ou mapeamento de congruência é uma isometria bijetiva . Como qualquer outra bijeção, uma isometria global tem uma função inversa . O inverso de uma isometria global também é uma isometria global.

Dois espaços métricos X e Y são chamados isométrica se existe uma isometria bijective de X para Y . O conjunto de isometrias bijetivas de um espaço métrico para si mesmo forma um grupo no que diz respeito à composição da função , denominado grupo de isometria .

Há também a noção mais fraca de isometria de caminho ou isometria em arco :

Uma isometria de caminho ou isometria em arco é um mapa que preserva os comprimentos das curvas ; tal mapa não é necessariamente uma isometria no sentido de preservação da distância, e não precisa ser necessariamente bijetivo, ou mesmo injetivo. Este termo é freqüentemente abreviado para simplesmente isometria , portanto, deve-se tomar cuidado para determinar a partir do contexto qual tipo é pretendido.

Exemplos

• Qualquer reflexão , translação e rotação é uma isometria global nos espaços euclidianos . Ver também grupo euclidiano e espaço euclidiano § Isometrias .
• O mapa em é uma isometria de caminho, mas não uma isometria. Observe que, ao contrário de uma isometria, não é injetiva.${\ displaystyle x \ mapsto | x |}$${\ displaystyle {\ mathbb {R}}}$

Isometrias entre espaços normados

O seguinte teorema é devido a Mazur e Ulam.

Definição : O ponto médio de dois elementos de x e y em um espaço vector é o vector 1/2( x + y ) .

Isometria linear

Dados dois espaços vetoriais normados e , uma isometria linear é um mapa linear que preserva as normas: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle A: V \ to W}$

${\ displaystyle \ | Av \ | = \ | v \ |}$

para todos . Isometrias lineares são mapas que preservam a distância no sentido acima. Eles são isometrias globais se e somente se eles são sobrejetivos . ${\ displaystyle v \ in V}$

Em um espaço de produto interno , a definição acima se reduz a

${\ displaystyle \ langle v, v \ rangle = \ langle Av, Av \ rangle}$

para todos , o que equivale a dizer isso . Isso também implica que as isometrias preservam os produtos internos, como ${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle A ^ {\ dagger} A = \ operatorname {I} _ {V}}$

${\ displaystyle \ langle Au, Av \ rangle = \ langle u, A ^ {\ dagger} Av \ rangle = \ langle u, v \ rangle.}$

No entanto, as isometrias lineares nem sempre são operadores unitários , visto que essas requerem adicionalmente e . ${\ displaystyle V = W}$${\ displaystyle AA ^ {\ dagger} = \ operatorname {I} _ {V}}$

Pelo teorema de Mazur-Ulam , qualquer isometria de espaços vetoriais normados sobre R é afim .

Exemplos

• Os mapas lineares isométricos de C ⁿ para si mesmo são dados pelas matrizes unitárias .

Manifolds

Uma isometria de uma variedade é qualquer mapeamento (suave) dessa variedade em si mesma ou em outra variedade que preserva a noção de distância entre os pontos. A definição de uma isometria requer a noção de uma métrica na variedade; uma variedade com uma métrica (definida positiva) é uma variedade Riemanniana , uma com uma métrica indefinida é uma variedade pseudo-Riemanniana . Assim, isometrias são estudadas na geometria Riemanniana .

Uma isometria local de uma variedade ( pseudo -) Riemanniana para outra é um mapa que puxa de volta o tensor métrico na segunda variedade para o tensor métrico na primeira. Quando tal mapa também é um difeomorfismo , tal mapa é chamado de isometria (ou isomorfismo isométrico ) e fornece uma noção de isomorfismo ("mesmice") na categoria Rm de variedades Riemannianas.

Definição

Sejam e sejam duas variedades (pseudo-) Riemannianas, e seja um difeomorfismo. Então é chamado de isometria (ou isomorfismo isométrico ) se ${\ displaystyle R = (M, g)}$${\ displaystyle R '= (M', g ')}$${\ displaystyle f: R \ para R '}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle g = f ^ {*} g ', \,}$

onde denota o recuo do tensor métrico de classificação (0, 2) por . Equivalentemente, em termos de pushforward , temos que para quaisquer dois campos de vetores em (ou seja, seções do pacote tangente ), ${\ displaystyle f ^ {*} g '}$${\ displaystyle g '}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f _ {*}}$${\ displaystyle v, w}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T} M}$

${\ displaystyle g (v, w) = g '\ left (f _ {*} v, f _ {*} w \ right). \,}$

Se for um difeomorfismo local tal que , então é chamado de isometria local . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g = f ^ {*} g '}$${\ displaystyle f}$

Propriedades

Uma coleção de isometrias normalmente forma um grupo, o grupo de isometria . Quando o grupo é um grupo contínuo , os geradores infinitesimais do grupo são os campos do vetor Killing .

O teorema de Myers-Steenrod afirma que toda isometria entre duas variedades Riemannianas conectadas é suave (diferenciável). Uma segunda forma deste teorema afirma que o grupo de isometria de uma variedade Riemanniana é um grupo de Lie .

Variedades Riemannianas que têm isometrias definidas em cada ponto são chamadas de espaços simétricos .

Generalizações

• Dado um número real positivo ε, uma ε-isometria ou quase isometria (também chamada de aproximação de Hausdorff ) é um mapa entre espaços métricos de modo que ${\ displaystyle f: X \ a Y}$
  1. para x , x ′ ∈ X um tem | d _Y (ƒ ( x ), ƒ ( x ′)) - d _X ( x , x ′) | <ε, e
  2. para qualquer ponto y ∈ Y existe um ponto x ∈ X com d _Y ( y , ƒ ( x )) <ε

Ou seja, uma isometria ε preserva distâncias dentro de ε e não deixa nenhum elemento do codomínio além de ε longe da imagem de um elemento do domínio. Observe que as isometrias ε não são consideradas contínuas .

• A propriedade de isometria restrita caracteriza matrizes quase isométricas para vetores esparsos.
• Quase-isometria é outra generalização útil.
• Pode-se também definir um elemento em uma C * -álgebra unital abstrata como uma isometria:

  ${\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {A}}}$é uma isometria se e somente se .${\ displaystyle a ^ {*} \ cdot a = 1}$

Observe que, conforme mencionado na introdução, este não é necessariamente um elemento unitário porque, em geral, não se tem que inverso à esquerda é inverso à direita.

• Em um espaço pseudo-Euclidiano , o termo isometria significa uma magnitude preservando a bijeção linear. Veja também espaços quadráticos .

Veja também

Referências

Bibliografia

• Rudin, Walter (1991). Análise funcional . Série Internacional em Matemática Pura e Aplicada. 8 (segunda edição). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espaços vetoriais topológicos . Matemática pura e aplicada (segunda edição). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espaços vetoriais topológicos . GTM . 8 (segunda edição). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espaços Vetoriais Topológicos, Distribuições e Kernels . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
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Bibliografia

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• Lee, Jeffrey M. (2009). Manifolds e geometria diferencial . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9.