Quatro quatros - Four fours

Quatro quatros é um quebra-cabeça matemático . O objetivo de quatro quatros é encontrar a expressão matemática mais simples para cada número inteiro de 0 a algum máximo, usando apenas símbolos matemáticos comuns e o dígito quatro (nenhum outro dígito é permitido). A maioria das versões de quatro quatros requer que cada expressão tenha exatamente quatro quatros, mas algumas variações exigem que cada expressão tenha o número mínimo de quatros. Este jogo requer habilidade e raciocínio matemático.

A primeira ocorrência impressa do problema específico de quatro quatros está em Knowledge: An Illustrated Magazine of Science em 1881. Um problema semelhante envolvendo organizar quatro dígitos idênticos para igualar uma certa quantidade foi dado no popular livro de Thomas Dilworth de 1734, The Schoolmaster's Assistant, Being a Compêndio de Aritmética Prática e Teórica .

WW Rouse Ball o descreveu na 6ª edição (1914) de seu Mathematical Recreations and Essays . Neste livro é descrito como uma "recriação tradicional".

Regras

Existem muitas variações de quatro quatros; sua principal diferença é quais símbolos matemáticos são permitidos. Essencialmente, todas as variações permitem pelo menos adição ("+"), subtração ("-"), multiplicação ("×"), divisão ("÷") e parênteses , bem como concatenação (por exemplo, "44" é permitido) . A maioria também permite a operação fatorial ("!"), Exponenciação (por exemplo, "44 ⁴ "), o ponto decimal (".") E a raiz quadrada ("√"). Outras operações permitidas por algumas variações incluem a função recíproca ("1 / x"), subfatorial ("!" Antes do número:! 4 é igual a 9), overline (um dígito repetido infinitamente), uma raiz arbitrária, a função quadrada (" sqr "), a função do cubo (" cubo "), a raiz do cubo , a função gama (Γ (), onde Γ ( x ) = ( x - 1)!) e porcentagem ("% "). Assim

${\ displaystyle 4 \% = 0,04}$

${\ displaystyle sqr (4) = 16}$

${\ cubo displaystyle (4) = 64}$

${\ displaystyle {\ sqrt {4}} = 2}$

${\ displaystyle 4! = 24}$

${\ displaystyle \ Gamma (4) = 6}$

${\ displaystyle! 4 = 9}$

${\ displaystyle 4 '= {\ frac {1} {4}} = 0,25}$

${\ displaystyle .4 = 0.4 = {\ frac {4} {10}} = {\ frac {2} {5}}}$

${\ displaystyle 4.4 = 4 {\ frac {2} {5}}}$

${\ displaystyle. {\ overline {4}} =. 4444 ... = {\ frac {4} {9}}}$

etc.

Um uso comum do overline neste problema é para este valor:

{\ displaystyle. {\ overline {4}} =. 4444 ... = {\ frac {4} {9}}}

Normalmente os operadores " log " ou a função sucessora não são permitidos, uma vez que existe uma maneira de criar qualquer número de maneira trivial usando-os. Isso funciona observando 3 coisas:

1) você pode tirar raízes quadradas repetidamente sem usar quaisquer 4s adicionais

2) uma raiz quadrada também pode ser escrita como o expoente (^ (1/2))

3) os expoentes têm logaritmos como seu inverso.

{\ displaystyle \ underbrace {\ sqrt {\ sqrt {\ cdots {\ sqrt {4}}}}} _ {n} = 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}

Escrevendo a raiz quadrada repetida desta forma, podemos isolar n, que é o número de raízes quadradas !:

{\ displaystyle 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}

podemos isolar ambos os expoentes usando log de base 4

{\ displaystyle \ log _ {4} 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}

podemos pensar nessa base logarítmica 4 como a pergunta - "4 a que potência me dá 4 à metade da potência elevado a n?"

{\ displaystyle 4 ^ {x} = 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}

então agora ficamos com:

{\ displaystyle (1/2) ^ {n}}

e agora podemos fazer a mesma coisa para isolar o expoente, n:

{\ displaystyle n = \ log _ {(1/2)} (1/2) ^ {n}}

então, juntando tudo:

{\ displaystyle n = \ log _ {(1/2)} \ log _ {4} 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}

Agora, podemos reescrever a base (1/2) com apenas 4s e o expoente (1/2) de volta a uma raiz quadrada:

{\ displaystyle n = \ log _ {{\ sqrt {4}} / 4} \ log _ {4} \ underbrace {\ sqrt {\ sqrt {\ cdots {\ sqrt {4}}}}} _ {n} }

Usamos quatro quatros e agora o número de raízes quadradas que somamos é igual a qualquer número que desejamos!

Paul Bourke credita a Ben Rudiak-Gould uma descrição diferente de como quatro quatros podem ser resolvidos usando logaritmos naturais (ln (n)) para representar qualquer número inteiro positivo n como:

{\ displaystyle n = - {\ sqrt {4}} {\ frac {\ ln \ left [\ left (\ ln \ underbrace {\ sqrt {\ sqrt {\ cdots {\ sqrt {4}}}}} _ { n} \ direita) / \ ln 4 \ direita]} {\ ln {4}}}}

Variantes adicionais (geralmente não são mais chamadas de "quatro quatros") substituem o conjunto de dígitos ("4, 4, 4, 4") por algum outro conjunto de dígitos, digamos, do ano de nascimento de alguém. Por exemplo, uma variante usando "1975" exigiria que cada expressão usasse um 1, um 9, um 7 e um 5.

Soluções

Aqui está um conjunto de quatro soluções para os números de 0 a 32, usando regras típicas. Algumas soluções alternativas estão listadas aqui, embora na verdade existam muitas outras soluções corretas. As entradas em azul são aquelas que usam quatro inteiros 4 (em vez de quatro dígitos 4) e as operações aritméticas básicas . Números sem entradas em azul não têm solução sob essas restrições. Além disso, as soluções que repetem operadores são marcadas em itálico.

 0  =  4 ÷ 4 × 4 − 4  =   44 − 44
 1  =  4 ÷ 4 + 4 − 4  =   44 ÷ 44
 2  =  4 −(4 + 4)÷ 4  =  (44 + 4)÷ 4!
 3  = (4 × 4 − 4)÷ 4  =  (4 + 4 + 4)÷ 4
 4  =  4 + 4 ×(4 − 4) =  −44 + 4!+ 4!
 5  = (4 × 4 + 4)÷ 4  =  (44 − 4!)÷ 4
 6  = (4 + 4)÷ 4 + 4  =   4.4 + 4 ×.4
 7  =  4 + 4 − 4 ÷ 4  =   44 ÷ 4 − 4
 8  =  4 ÷ 4 × 4 + 4  =   4.4 −.4 + 4
 9  =  4 ÷ 4 + 4 + 4  =   44 ÷ 4 −√4
10  = (4 + 4 + 4)−√4  =  (44 − 4)÷ 4
11  = (4!×√4 − 4)÷ 4  =  √4 ×(4!−√4)÷ 4
12  =  4 ×(4 − 4 ÷ 4) =  (44 + 4)÷ 4
13  = (4!×√4 + 4)÷ 4  =  (4 −.4)÷.4 + 4
14  =  4 × 4 − 4 ÷√4  =   4 ×(√4 +√4)−√4
15  =  4 × 4 − 4 ÷ 4  =   44 ÷ 4 + 4
16  =  4 × 4 + 4 − 4  =  (44 − 4)×.4
17  =  4 × 4 + 4 ÷ 4  =  (44 + 4!)÷ 4
18  =  4 × 4 + 4 −√4  =  (44 ÷√4) − 4
19  =  4!−(4 + 4 ÷ 4) =  (4 + 4 −.4)÷.4 
20  =  4 ×(4 ÷ 4 + 4) =  (44 − 4)÷√4
21  =  4!− 4 + 4 ÷ 4  =  (44 −√4)÷√4
22  =  4!÷ 4 + 4 × 4  =   44 ÷(4 −√4)
23  =  4!+ 4 ÷ 4 −√4  =  (44 +√4)÷√4
24  =  4 × 4 + 4 + 4  =  (44 + 4)÷√4
25  =  4!− 4 ÷ 4 +√4  =  (4 + 4 +√4)÷.4
26  =  4!+√4 + 4 - 4
27  =  4!+√4 +(4 ÷ 4)
28  = (4 + 4)× 4 − 4  =   4!+ 4 + 4 - 4
29  =  4!+ 4 +(4 ÷ 4)
30  =  4!+ 4 + 4 -√4
31  =  4!+(4!+ 4)÷ 4
32  =  4 × 4 + 4 × 4

Existem também muitas outras maneiras de encontrar a resposta para todas essas questões.

Observe que os números com valores menores que um geralmente não são escritos com um zero à esquerda. Por exemplo, "0,4" é geralmente escrito como ".4". Isso ocorre porque "0" é um dígito e, neste quebra-cabeça, apenas o dígito "4" pode ser usado.

Um determinado número geralmente terá algumas soluções possíveis; qualquer solução que atenda às regras é aceitável. Algumas variações preferem o "menor" número de operações ou preferem algumas operações a outras. Outros simplesmente preferem soluções "interessantes", ou seja, uma maneira surpreendente de atingir o objetivo.

Certos números, como 113, são particularmente difíceis de resolver sob regras típicas. Para 113, sugere Wheeler . Uma solução não padrão é , onde 4 'é o inverso multiplicativo de 4. (ou seja ) Outra solução possível é , onde e representam o 10º e 127º multifatoriais , respectivamente, e deve ser tecnicamente denotado com tantos pontos de exclamação para aderir às regras do problema. ${\ displaystyle \ Gamma (\ Gamma (4)) - {\ frac {4! +4} {4}}}$ ${\ displaystyle 4 (4! + 4 + 4 ')}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {((4!)! _ {10})! _ {127}} {(4!)! _ {10}}}}$ ${\ displaystyle! _ {10}}$ ${\ displaystyle! _ {127}}$

O uso de porcentagem ("%") admite soluções para uma proporção muito maior de números; por exemplo, 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%.

O número 157 pode ser resolvido usando a função gama , uma das soluções possíveis é . ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (4)! + 4} {4}} - 4!}$

Algoritmos do problema

Esse problema e suas generalizações (como o problema dos cinco cincos e o problema dos seis seis, ambos mostrados abaixo) podem ser resolvidos por um algoritmo simples. Os ingredientes básicos são tabelas hash que mapeiam os racionais para strings. Nessas tabelas, as chaves são os números representados por alguma combinação admissível de operadores e o dígito d escolhido , por exemplo, quatro, e os valores são strings que contêm a fórmula real. Existe uma tabela para cada número n de ocorrências de d . Por exemplo, quando d = 4 , a tabela de hash para duas ocorrências de d conteria o par de valores-chave 8 e 4 + 4 , e aquela para três ocorrências, o par de valores-chave 2 e (4 + 4) / 4 (strings mostradas em negrito).

A tarefa é então reduzida para calcular recursivamente essas tabelas hash para aumentar n , começando de n = 1 e continuando até, por exemplo, n = 4. As tabelas para n = 1 e n = 2 são especiais, porque contêm entradas primitivas que não são a combinação de outras fórmulas menores e, portanto, devem ser inicializadas corretamente, assim (para n = 1 )

       T[4]    := "4";
       T[4/10] := ".4";
       T[4/9]  := ".4...";

e

        T[44] := "44";.

(para n = 2 ). Agora, existem duas maneiras pelas quais novas entradas podem surgir, seja como uma combinação das existentes por meio de um operador binário, ou aplicando os operadores fatoriais ou de raiz quadrada (que não usa instâncias adicionais de d ). O primeiro caso é tratado pela iteração de todos os pares de subexpressões que usam um total de n instâncias de d . Por exemplo, quando n = 4 , verificaríamos os pares (a, b) com a contendo uma instância de d e b três, e com a contendo duas instâncias de d e b dois também. Em seguida, inseriríamos a + b, ab, ba, a * b, a / b, b / a) na tabela hash, incluindo parênteses, para n = 4 . Aqui os conjuntos A e B que contêm a e b são calculadas recursivamente, com n = 1 e n = 2 sendo o caso base. A memorização é usada para garantir que cada tabela hash seja computada apenas uma vez.

O segundo caso (fatoriais e raízes) é tratado com a ajuda de uma função auxiliar, que é chamada toda vez que um valor v é registrado. Esta função calcula fatoriais aninhados e raízes de v até alguma profundidade máxima, restrita a racionais.

A última fase do algoritmo consiste em iterar nas chaves da tabela o valor desejado de n e extrair e ordenar as chaves que são inteiras. Este algoritmo foi usado para calcular os cinco exemplos de cinco e seis seis mostrados abaixo. A fórmula mais compacta (no sentido de número de caracteres no valor correspondente) foi escolhida sempre que uma chave ocorria mais de uma vez.

Trecho da solução para o problema dos cinco cincos

139 = (((5+(5/5))!/5)-5)
140 = (.5*(5+(5*55)))
141 = ((5)!+((5+(5+.5))/.5))
142 = ((5)!+((55/.5)/5))
143 = ((((5+(5/5)))!-5)/5)
144 = ((((55/5)-5))!/5)
145 = ((5*(5+(5*5)))-5)
146 = ((5)!+((5/5)+(5*5)))
147 = ((5)!+((.5*55)-.5))
148 = ((5)!+(.5+(.5*55)))
149 = (5+(((5+(5/5)))!+5))

Trecho da solução para o problema dos seis seis

Na tabela abaixo, a notação .6 ... representa o valor 6/9 ou 2/3 ( decimal recorrente 6).

241 = ((.6+((6+6)*(6+6)))/.6)
242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/.6))
243 = (6+((6*(.6*66))-.6))
244 = (.6...*(6+(6*(66-6))))
245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6)
246 = (66+(6*((6*6)-6)))
247 = (66+((6+((6)!/.6...))/6))
248 = (6*(6+(6*(6-(.6.../6)))))
249 = (.6+(6*(6+((6*6)-.6))))
250 = (((6*(6*6))-66)/.6)
251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6))

Veja também

Krypto (jogo)

Referências

links externos

Bourke, Paul. "Problema Quatro Quatro" .
Carver, Ruth. "Quatros Quatro Quatros" . em MathForum.org
"4444 (Quatro Quatro)" . Galeria Eyegate.
four4s no GitHub
"Implementação online do jogo Four Fours" .

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