Fredholm determinante - Fredholm determinant

Em matemática , o determinante de Fredholm é uma função de valor complexo que generaliza o determinante de um operador linear de dimensão finita . É definido para operadores limitados em um espaço de Hilbert que diferem do operador de identidade por um operador de classe de rastreamento . A função tem o nome do matemático Erik Ivar Fredholm .

Determinantes Fredholm ter tido muitas aplicações na física matemática , o exemplo mais célebre sendo Gábor Szegő 's fórmula limite , mostrou-se em resposta a uma questão levantada por Lars Onsager e CN Yang na magnetização espontânea do modelo de Ising .

Definição

Seja H um espaço de Hilbert e G o conjunto de operadores invertíveis limitados em H da forma I + T , onde T é um operador de classe de rastreamento . G é um grupo porque

${\ displaystyle (I + T) ^ {- 1} -I = -T (I + T) ^ {- 1},}$

então (I + T) ⁻¹ -I é a classe de rastreamento se T for. Possui uma métrica natural dada por d ( X , Y ) = || X - Y || ₁ , onde || · || ₁ é a norma da classe de rastreamento.

Se H é um espaço de Hilbert com produto interno , então também o é a k- ésima potência externa com produto interno ${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} H}$

${\ displaystyle (v_ {1} \ wedge v_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {k}, w_ {1} \ wedge w_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge w_ {k}) = {\ rm {det}} \, (v_ {i}, w_ {j}).}$

Em particular

${\ displaystyle e_ {i_ {1}} \ wedge e_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}}, \ qquad (i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k})}$

dá uma base ortonormal de se ( e _i ) é uma base ortonormal de H . Se A é um operador limitado em H , então Um functorially define um operador limitado em pelo ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} H}$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} (A)}$${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} H}$

${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} (A) v_ {1} \ wedge v_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {k} = Av_ {1} \ wedge Av_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge Av_ {k}.}$

Se A é uma classe de rastreamento, então também é uma classe de rastreamento com ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} (A)}$

${\ displaystyle \ | \ Lambda ^ {k} (A) \ | _ {1} \ leq \ | A \ | _ {1} ^ {k} / k !.}$

Isso mostra que a definição do determinante de Fredholm dada por

${\ displaystyle {\ rm {det}} \, (I + A) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ rm {Tr}} \ Lambda ^ {k} (A)}$

faz sentido.

Propriedades

• Se A for um operador de classe de rastreamento.

${\ displaystyle {\ rm {det}} \, (I + zA) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} z ^ {k} {\ rm {Tr}} \ Lambda ^ {k} ( UMA)}$

define uma função inteira de forma que

${\ displaystyle | {\ rm {det}} \, (I + zA) | \ leq \ exp (| z | \ cdot \ | A \ | _ {1}).}$

• A função det ( I + A ) é contínua em operadores de classe de rastreamento, com

${\ displaystyle | {\ rm {det}} (I + A) - {\ rm {det}} (I + B) | \ leq \ | AB \ | _ {1} \ exp (\ | A \ | _ {1} + \ | B \ | _ {1} +1).}$

Pode-se melhorar essa desigualdade ligeiramente para o seguinte, conforme observado no Capítulo 5 de Simon:

${\ displaystyle | {\ rm {det}} (I + A) - {\ rm {det}} (I + B) | \ leq \ | AB \ | _ {1} \ exp (\ max (\ | A \ | _ {1}, \ | B \ | _ {1}) + 1).}$

• Se A e B são classe de rastreamento, então

${\ displaystyle {\ rm {det}} (I + A) \ cdot {\ rm {det}} (I + B) = {\ rm {det}} (I + A) (I + B).}$

• A função det define um homomorfismo de G no grupo multiplicativo C * de números complexos diferentes de zero (uma vez que os elementos de G são invertíveis).
• Se T está em G e X é invertível,

${\ displaystyle {\ rm {det}} \, XTX ^ {- 1} = {\ rm {det}} \, T.}$

• Se A é uma classe de rastreamento, então

${\ displaystyle {\ rm {det}} \, e ^ {A} = \ exp \, {\ rm {Tr}} (A).}$

${\ displaystyle \ log {\ rm {det}} \, (I + zA) = {\ rm {Tr}} (\ log {(I + zA)}) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {{\ rm {Tr}} A ^ {k}} {k}} z ^ {k}}$

Determinantes de Fredholm de comutadores

Uma função F ( t ) de ( a , b ) em G é dita ser diferenciável se F ( t ) -I é diferenciável como um mapa nos operadores da classe de rastreamento, ou seja, se o limite

${\ displaystyle {\ dot {F}} (t) = \ lim _ {h \ rightarrow 0} {F (t + h) -F (t) \ over h}}$

existe na norma da classe de rastreamento.

Se g ( t ) é uma função diferenciável com valores em operadores de classe de rastreamento, então também é exp g ( t ) e

${\ displaystyle F ^ {- 1} {\ dot {F}} = {{\ rm {id}} - \ exp - {\ rm {ad}} g (t) \ over {\ rm {ad}} g (t)} \ cdot {\ dot {g}} (t),}$

Onde

${\ displaystyle {\ rm {ad}} (X) \ cdot Y = XY-YX.}$

Israel Gohberg e Mark Kerin provaram que se F é uma função diferenciável em G , então f = det F é um mapa diferenciável em C * com

${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ dot {f}} = {\ rm {Tr}} F ^ {- 1} {\ dot {F}}.}$

Este resultado foi usado por Joel Pincus, William Helton e Roger Howe para provar que se A e B são operadores limitados com comutador de classe de traço AB -BA , então

${\ displaystyle {\ rm {det}} \, e ^ {A} e ^ {B} e ^ {- A} e ^ {- B} = \ exp {\ rm {Tr}} (AB-BA). }$

Fórmula de limite de Szegő

Seja H = L ² ( S ¹ ) e seja P a projeção ortogonal no espaço de Hardy H ² ( S ¹ ).

Se f é uma função suave sobre o círculo, deixe m ( f ) denotam o operador multiplicação correspondente em H .

O comutador

P m ( f ) - m ( f ) P

é a classe de rastreamento.

Seja T ( f ) o operador Toeplitz em H ² ( S ¹ ) definido por

${\ displaystyle T (f) = Pm (f) P,}$

então o comutador aditivo

${\ displaystyle T (f) T (g) -T (g) T (f)}$

é traço-se classe de f e g são lisas.

Berger e Shaw provaram que

${\ displaystyle {\ rm {tr}} (T (f) T (g) -T (g) T (f)) = {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {0} ^ {2 \ pi } fdg.}$

Se f e g são suaves, então

${\ displaystyle T (e ^ {f + g}) T (e ^ {- f}) T (e ^ {- g})}$

é em L .

Harold Widom usou o resultado de Pincus-Helton-Howe para provar que

${\ displaystyle {\ rm {det}} \, T (e ^ {f}) T (e ^ {- f}) = \ exp \ sum _ {n> 0} na_ {n} a _ {- n}, }$

Onde

${\ displaystyle f (z) = \ sum a_ {n} z ^ {n}.}$

Ele usou isso para dar uma nova prova da famosa fórmula de limite de Gábor Szegő :

${\ displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} {\ rm {det}} P_ {N} m (e ^ {f}) P_ {N} = \ exp \ sum _ {n> 0} na_ {n }a},}$

onde P _N é a projeção no subespaço de H medido por 1, z , ..., z ^N e a ₀ = 0.

A fórmula limite de Szegő foi provada em 1951 em resposta a uma questão levantada pelo trabalho Lars Onsager e CN Yang sobre o cálculo da magnetização espontânea para o modelo de Ising . A fórmula de Widom, que leva rapidamente à fórmula limite de Szegő, também é equivalente à dualidade entre bósons e férmions na teoria de campo conforme . Uma versão singular da fórmula limite de Szegő para funções apoiadas em um arco do círculo foi provada por Widom; foi aplicado para estabelecer resultados probabilísticos sobre a distribuição de valores próprios de matrizes unitárias aleatórias .

Apresentação informal para o caso de operadores integrais

A seção abaixo fornece uma definição informal para o determinante de Fredholm de TI quando o operador de classe de rastreamento T é um operador integral dado por um kernel K (x, x) . Uma definição apropriada requer uma apresentação que mostre que cada uma das manipulações é bem definida, convergente e assim por diante, para a situação dada para a qual o determinante de Fredholm é contemplado. Visto que o kernel K pode ser definido para uma grande variedade de espaços de Hilbert e espaços de Banach , este é um exercício não trivial.

O determinante de Fredholm pode ser definido como

${\ displaystyle \ det (I- \ lambda T) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- \ lambda) ^ {n} \ operatorname {Tr} \ Lambda ^ {n} (T) = \ exp {\ left (- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ operatorname {Tr} (T ^ {n})} {n}} \ lambda ^ {n} \ right) }}$

onde T é um operador integral . O traço do operador T e seus poderes alternados é dado em termos do kernel K por

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} T = \ int K (x, x) \, dx}$

e

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} \ Lambda ^ {2} (T) = {\ frac {1} {2!}} \ iint K (x, x) K (y, y) -K (x, y) K (y, x) \, dxdy}$

e em geral

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} \ Lambda ^ {n} (T) = {\ frac {1} {n!}} \ int \ cdots \ int \ det K (x_ {i}, x_ {j}) | _ {1 \ leq i, j \ leq n} \, dx_ {1} \ cdots dx_ {n}}$ .

O rastreamento é bem definido para esses kernels, uma vez que são operadores de classe de rastreamento ou nuclear .

Formulários

O determinante de Fredholm foi usado pelo físico John A. Wheeler (1937, Phys. Rev. 52: 1107) para ajudar a fornecer uma descrição matemática da função de onda para um núcleo composto composto de combinação antissimetrizada de funções de onda parciais pelo método da Estrutura de Grupo Ressonante. Este método corresponde às várias maneiras possíveis de distribuir a energia de nêutrons e prótons em grupos de núcleos de bósons e férmions fundamentais ou blocos de construção, como a partícula alfa, hélio-3, deutério, tritão, di-nêutron, etc. Quando aplicado para o método de estrutura de grupo ressonante para isótopos estáveis ​​beta e alfa, o uso do determinante de Fredholm: (1) determina os valores de energia do sistema composto e (2) determina as seções transversais de espalhamento e desintegração. O método de Estrutura de Grupo Ressonante de Wheeler fornece as bases teóricas para todos os Modelos Nucleon Cluster subsequentes e dinâmica de energia de cluster associada para todos os isótopos de massa leve e pesada (ver revisão de Modelos de Cluster em física em ND Cook, 2006).

Referências

• Simon, Barry (2005), Trace Ideals and their Applications , Mathematical Surveys and Monographs, 120 , American Mathematical Society, ISBN   0-8218-3581-5
• Wheeler, John A. (01-12-1937). "Sobre a descrição matemática de núcleos de luz pelo método da estrutura de grupo ressonante". Revisão física . American Physical Society (APS). 52 (11): 1107–1122. doi : 10.1103 / physrev.52.1107 . ISSN   0031-899X .
• Bornemann, Folkmar (2010), "Sobre a avaliação numérica dos determinantes de Fredholm", Math. Comp. , Springer, 79 : 871–915, arXiv : 0804.2543 , doi : 10.1090 / s0025-5718-09-02280-7