Teorema espectral de Freudenthal - Freudenthal spectral theorem

Na matemática , o teorema espectral de Freudenthal é um resultado da teoria espacial de Riesz provada por Hans Freudenthal em 1936. Ele afirma aproximadamente que qualquer elemento dominado por um elemento positivo em um espaço de Riesz com a propriedade de projeção principal pode, em certo sentido, ser aproximado uniformemente por simples funções .

Numerosos resultados bem conhecidos podem ser derivados do teorema espectral de Freudenthal. O conhecido teorema de Radon-Nikodym , a validade da fórmula de Poisson e o teorema espectral da teoria dos operadores normais podem ser mostrados como casos especiais do teorema espectral de Freudenthal.

Demonstração

Vamos e ser qualquer elemento positivo em um espaço de Riesz E . Um elemento positivo de p em E é chamado de componente de e se . Se forem componentes disjuntos de pares de e , qualquer combinação linear real de é chamada de função e- simples. ${\ displaystyle p \ wedge (ep) = 0}$${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n}}$${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n}}$

O Freudenthal espectral teorema: Let E ser qualquer espaço de Riesz com o principal estabelecimento de projeção e um e qualquer elemento positivo E . Então, para qualquer elemento f no ideal principal gerado por e , existem sequências e de funções e- simples, tal que é monótono crescente e converge e- uniformemente para f , e é monótono decrescente e converge e- uniformemente para f . ${\ displaystyle \ {s_ {n} \}}$${\ displaystyle \ {t_ {n} \}}$${\ displaystyle \ {s_ {n} \}}$${\ displaystyle \ {t_ {n} \}}$

Relação com o teorema Radon-Nikodym

Vamos ser um espaço de medida e o espaço real de assinados medidas -additive sobre . Pode ser mostrado que é uma Malha de Banach completa de Dedekind com a norma de variação total e, portanto, tem a propriedade de projeção principal . Para qualquer medida positiva , funções -SIMPLE (como definido acima) pode ser demonstrado que correspondem exactamente a -mensuráveis funções simples em (no sentido usual). Além disso, uma vez que pelo teorema espectral de Freudenthal, qualquer medida na banda gerada por pode ser monotonamente aproximada de baixo por funções simples mensuráveis ​​em , pelo teorema de convergência monótona de Lebesgue pode ser mostrado que corresponde a uma função e estabelece um isomorfismo de rede isométrica entre o banda gerada por e Banach Lattice . ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle M _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle M _ {\ sigma}}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle L ^ {1} (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle L ^ {1} (X, \ Sigma, \ mu)}$

Veja também

• Teorema Radon-Nikodym

Referências

• Zaanen, Adriaan C. (1996), Introdução à Teoria do Operador em espaços de Riesz , Springer , ISBN   3-540-61989-5
• Zaanen, Adriaan C .; Luxemburgo, WAJ (1971), espaços Riesz I , North-Holland , ISBN   0-7204-2451-8