Número Froude - Froude number

Na mecânica contínua , o número de Froude ( $Fr$ ) é um número adimensional definido como a razão entre a inércia do fluxo e o campo externo (o último em muitas aplicações simplesmente devido à gravidade ). Nomeado após William Froude ( / f r u d / ), o número de Froude baseia-se na proporção de comprimento velocidade que ele definido como:

{\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {u} {\ sqrt {gL}}}}

onde $u$ é a velocidade de fluxo local , $g$ é o campo externo local e $L$ é um comprimento característico . O número de Froude tem alguma analogia com o número de Mach . Na dinâmica de fluidos teórica o número de Froude não é frequentemente considerado, pois normalmente as equações são consideradas no limite alto de Froude de campo externo desprezível, levando a equações homogêneas que preservam os aspectos matemáticos. Por exemplo, equações de Euler homogêneas são equações de conservação .

No entanto, na arquitetura naval, o número de Froude é uma figura significativa usada para determinar a resistência de um objeto parcialmente submerso em movimento na água.

Origens

Em fluxos de canal aberto, Belanger 1828 introduziu primeiro a razão da velocidade do fluxo para a raiz quadrada da aceleração da gravidade vezes a profundidade do fluxo. Quando a proporção era menor que a unidade, o fluxo se comportava como um movimento fluvial (isto é, fluxo subcrítico) e como um fluxo torrencial quando a proporção era maior que a unidade.

Os cascos do cisne (acima) e do corvo (abaixo). Uma sequência de modelos em escala de 3, 6 e 12 (mostrado na imagem) foi construída por Froude e usada em tentativas de reboque para estabelecer as leis de resistência e dimensionamento.

A quantificação da resistência de objetos flutuantes geralmente é creditada a William Froude , que usou uma série de modelos em escala para medir a resistência que cada modelo oferecia quando rebocado a uma determinada velocidade. O construtor naval Frederic Reech apresentou o conceito muito antes, em 1852, para testar navios e hélices, mas Froude não sabia disso. A relação velocidade-comprimento foi originalmente definida por Froude em sua Lei da Comparação em 1868 em termos dimensionais como:

{\ displaystyle {\ text {relação velocidade-comprimento}} = {\ frac {u} {\ sqrt {\ text {LWL}}}}}

Onde:

u

= velocidade do fluxo

LWL

= comprimento da linha d'água

O termo foi convertido em termos não dimensionais e recebeu o nome de Froude em reconhecimento ao trabalho que realizou. Na França, às vezes é chamado de número Reech-Froude em homenagem a Frederic Reech.

Definição e aplicação principal

Para mostrar como o número de Froude está ligado à mecânica geral do contínuo e não apenas à hidrodinâmica, partimos da equação do momento de Cauchy em sua forma adimensional (não dimensional).

Equação de momentum de Cauchy

Para tornar as equações adimensionais, um comprimento característico r ₀ e uma velocidade característica u ₀ precisam ser definidos. Elas devem ser escolhidas de forma que as variáveis adimensionais sejam todas de ordem um. As seguintes variáveis adimensionais são assim obtidas:

{\ displaystyle \ rho ^ {*} \ equiv {\ frac {\ rho} {\ rho _ {0}}}, \ quad u ^ {*} \ equiv {\ frac {u} {u_ {0}}} , \ quad r ^ {*} \ equiv {\ frac {r} {r_ {0}}}, \ quad t ^ {*} \ equiv {\ frac {u_ {0}} {r_ {0}}} t , \ quad \ nabla ^ {*} \ equiv r_ {0} \ nabla, \ quad \ mathbf {g} ^ {*} \ equiv {\ frac {\ mathbf {g}} {g_ {0}}}, \ quad {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {*} \ equiv {\ frac {\ boldsymbol {\ sigma}} {p_ {0}}},}

Substituição dessas relações inversas nas equações de momento de Euler e definição do número de Froude:

{\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {u_ {0}} {\ sqrt {g_ {0} r_ {0}}}},}

e o número de Euler :

{\ displaystyle \ mathrm {Eu} = {\ frac {p_ {0}} {\ rho _ {0} u_ {0} ^ {2}}},}

as equações são finalmente expressas (com a derivada material e agora omitindo os índices):

Equação de momento de Cauchy ( forma convectiva não dimensional )

{\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} + \ mathrm {Eu} {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ frac {1} {\ mathrm {Fr} ^ {2}}} \ mathbf {g}}

As equações do tipo Cauchy no limite de Froude alto $Fr \to \infty$ (correspondendo a um campo externo desprezível) são chamadas de equações livres . Por outro lado, no limite de Euler baixo $Eu \to 0$ (correspondendo à tensão desprezível) a equação geral do momento de Cauchy torna-se uma equação de Burgers não homogênea (aqui tornamos explícita a derivada do material ):

Equação de Burgers ( forma de conservação não dimensional )

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {1} {2}} \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u } \ right) = {\ frac {1} {\ mathrm {Fr} ^ {2}}} \ mathbf {g}}

Esta é uma equação de advecção pura não homogênea , tanto quanto a equação de Stokes é uma equação de difusão pura .

Equação de momento de Euler

A equação de momento de Euler é uma equação de momento de Cauchy com a lei de Pascal sendo a relação constitutiva de tensão:

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = p \ mathbf {I}}

na forma Lagrangiana não dimensional é:

{\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} + \ mathrm {Eu} {\ frac {\ nabla p} {\ rho}} = {\ frac {1} {\ mathrm {Fr} ^ {2}}} {\ hat {g}}}

As equações de Euler livres são conservadoras. O limite de números de Froude altos (campo externo baixo) é, portanto, notável e pode ser estudado com a teoria de perturbação .

Equação de momentum de Navier-Stokes incompressível

A equação de momento de Navier-Stokes incompressível é uma equação de momento de Cauchy com a lei de Pascal e a lei de Stokes sendo as relações constitutivas de tensão:

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = p \ mathbf {I} + \ mu \ left (\ nabla \ mathbf {u} + (\ nabla \ mathbf {u}) ^ {\ mathsf {T}} \ direito)}

na forma convectiva não dimensional é:

{\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} + \ mathrm {Eu} {\ frac {\ nabla p} {\ rho}} = {\ frac {1} {\ mathrm {Re} }} \ nabla ^ {2} u + {\ frac {1} {\ mathrm {Fr} ^ {2}}} {\ hat {g}}}

onde $Re$ é o número de Reynolds . As equações de Navier-Stokes livres são dissipativas (não conservativas).

Outras aplicações

Hidrodinâmica de navios

Padrão de onda versus velocidade, ilustrando vários números de Froude.

Em aplicações hidrodinâmicas marítimas, o número de Froude é geralmente referenciado com a notação $Fn$ e é definido como:

{\ displaystyle \ mathrm {Fn} _ {L} = {\ frac {u} {\ sqrt {gL}}},}

onde $u$ é a velocidade relativa do fluxo entre o mar e o navio, $g$ é em particular a aceleração devida à gravidade e $L$ é o comprimento do navio no nível da linha de água, ou $L wl$ em algumas notações. É um parâmetro importante no que diz respeito ao arrasto do navio , ou resistência, especialmente em termos de resistência à formação de ondas .

No caso de embarcações planas, onde o comprimento da linha de água é muito dependente da velocidade para ser significativo, o número de Froude é melhor definido como número de Froude de deslocamento e o comprimento de referência é tomado como a raiz cúbica do deslocamento volumétrico do casco:

{\ displaystyle \ mathrm {Fn} _ {V} = {\ frac {u} {\ sqrt {g {\ sqrt [{3}] {V}}}}}.}

Ondas de água rasas

Para ondas de água rasas, como tsunamis e saltos hidráulicos , a velocidade característica $U$ é a velocidade média do fluxo, calculada sobre a seção transversal perpendicular à direção do fluxo. A velocidade da onda, $c$ , é igual à raiz quadrada da aceleração gravitacional $g$ , vezes a área da seção transversal $A$ , dividida pela largura da superfície livre $B$ :

{\ displaystyle c = {\ sqrt {g {\ frac {A} {B}}}},}

então o número de Froude em águas rasas é:

{\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {U} {\ sqrt {g {\ dfrac {A} {B}}}}}.}

Para seções transversais retangulares com profundidade uniforme $d$ , o número de Froude pode ser simplificado para:

{\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {U} {\ sqrt {gd}}}.}

Para $Fr <1,$ o fluxo é chamado de fluxo subcrítico , mais para $Fr> 1$ o fluxo é caracterizado como fluxo supercrítico . Quando $Fr \approx 1$ o fluxo é denotado como fluxo crítico .

Engenharia eólica

Ao considerar os efeitos do vento em estruturas dinamicamente sensíveis, como pontes suspensas, às vezes é necessário simular o efeito combinado da massa vibratória da estrutura com a força flutuante do vento. Nesses casos, o número de Froude deve ser respeitado. Da mesma forma, ao simular plumas de fumaça quente combinadas com vento natural, a escala do número de Froude é necessária para manter o equilíbrio correto entre as forças de flutuabilidade e o impulso do vento.

Número Froude estendido

Fluxos de massa geofísica como avalanches e fluxos de detritos ocorrem em encostas inclinadas que então se fundem em zonas de run-out suaves e planas.

Assim, esses escoamentos estão associados à elevação das encostas topográficas que induzem a energia potencial gravitacional junto com a energia potencial de pressão durante o escoamento. Portanto, o número de Froude clássico deve incluir esse efeito adicional. Para tal, o número de Froude precisa ser redefinido. O número de Froude estendido é definido como a razão entre a energia cinética e potencial:

{\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {u} {\ sqrt {\ beta h + s_ {g} \ left (x_ {d} -x \ right)}}},}

onde $u$ é a velocidade média do fluxo, $β = gK cos ζ$ , ( $K$ é o coeficiente de pressão da terra , $ζ$ é a inclinação), $s g = g sin ζ$ , $x$ é a posição descendente do canal e é a distância do ponto do liberação em massa ao longo do canal até o ponto onde o fluxo atinge o datum de referência horizontal; $E$ ${\ displaystyle x_ {d}}$ $p pote = βh$ e $E g pote = s g (x d - x)$ são as energias potencial de pressão e potencial de gravidade, respectivamente. Na definição clássica do número de Froude em águas rasas ou fluxo granular, a energia potencial associada à elevação da superfície, $E g pote$ , não é considerado. O número de Froude estendido difere substancialmente do número de Froude clássico para elevações de superfície mais altas. O termo $βh$ emerge da mudança da geometria da massa em movimento ao longo da encosta. A análise dimensional sugere que para fluxos rasos $βh ≪ 1$ , enquanto $u$ e $s g (x d - x)$ são ambos de unidade de ordem. Se a massa for rasa com uma superfície livre virtualmente paralela ao leito, então $βh$ pode ser desconsiderado. Nesta situação, se o potencial de gravidade não for levado em consideração, então $Fr$ é ilimitado, embora a energia cinética seja limitada. Assim, considerando formalmente a contribuição adicional devida à energia potencial gravitacional, a singularidade em Fr é removida.

Tanques agitados

No estudo de tanques agitados, o número de Froude governa a formação de vórtices de superfície. Uma vez que a velocidade da ponta do impulsor é $ωr$ ( movimento circular ), onde $ω$ é a frequência do impulsor (geralmente em rpm ) e $r$ é o raio do impulsor (na engenharia o diâmetro é muito mais frequentemente empregado), o número de Froude assume a seguinte forma:

{\ displaystyle \ mathrm {Fr} = \ omega {\ sqrt {\ frac {r} {g}}}.}

O número de Froude também encontra aplicação semelhante em misturadores de pó. Na verdade, será usado para determinar em qual regime de mistura o liquidificador está trabalhando. Se Fr <1, as partículas são apenas agitadas, mas se Fr> 1, as forças centrífugas aplicadas ao pó superam a gravidade e o leito de partículas torna-se fluidizado, pelo menos em alguma parte do misturador, promovendo a mistura

Número de Froude densimétrico

Quando usado no contexto da aproximação de Boussinesq, o número densimétrico de Froude é definido como

{\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {u} {\ sqrt {g'h}}}}

onde $g'$ é a gravidade reduzida:

{\ displaystyle g '= g {\ frac {\ rho _ {1} - \ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}}}

O número de Froude densimétrico é geralmente preferido por modeladores que desejam não dimensionar uma preferência de velocidade em relação ao número de Richardson, que é mais comumente encontrado ao considerar camadas de cisalhamento estratificadas. Por exemplo, a borda de ataque de uma corrente de gravidade se move com um número de Froude frontal de cerca da unidade.

Número Froude ambulante

O número de Froude pode ser usado para estudar tendências nos padrões de marcha dos animais. Em análises da dinâmica da locomoção com pernas, um membro ambulante é frequentemente modelado como um pêndulo invertido , onde o centro de massa passa por um arco circular centrado no pé. O número de Froude é a proporção da força centrípeta em torno do centro de movimento, o pé, e o peso do animal caminhando:

{\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {\ text {força centrípeta}} {\ text {força gravitacional}}} = {\ frac {\; {\ frac {mv ^ {2}} {l}} \;} {mg}} = {\ frac {v ^ {2}} {gl}}}

onde $m$ é a massa, $L$ é o comprimento característico, $g$ é a aceleração devido à gravidade e $v$ é a velocidade . O comprimento característico $l$ pode ser escolhido de acordo com o estudo em questão. Por exemplo, alguns estudos usaram a distância vertical da articulação do quadril ao solo, enquanto outros usaram o comprimento total da perna.

O número de Froude também pode ser calculado a partir da frequência de passada $f da$ seguinte forma:

{\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {v ^ {2}} {gl}} = {\ frac {(lf) ^ {2}} {gl}} = {\ frac {lf ^ {2} } {g}}.}

Se o comprimento total da perna for usado como comprimento característico, então a velocidade máxima teórica de caminhada tem um número de Froude de 1,0, uma vez que qualquer valor mais alto resultaria na decolagem e o pé falharia no solo. A velocidade de transição típica da caminhada bípede para a corrida ocorre com $Fr \approx 0,5$ . RM Alexander descobriu que animais de diferentes tamanhos e massas viajando em velocidades diferentes, mas com o mesmo número de Froude, exibem consistentemente andamentos semelhantes. Este estudo descobriu que os animais normalmente mudam de uma marcha lenta para uma marcha simétrica de corrida (por exemplo, um trote ou passo) em torno de um número de Froude de 1,0. Uma preferência por andamentos assimétricos (por exemplo, um galope, galope transversal, galope rotativo, limite ou pronk) foi observada em números de Froude entre 2,0 e 3,0.

Uso

O número de Froude é usado para comparar a resistência à formação de ondas entre corpos de vários tamanhos e formas.

No fluxo de superfície livre, a natureza do fluxo ( supercrítico ou subcrítico) depende se o número de Froude é maior ou menor que a unidade.

Pode-se ver facilmente a linha de fluxo "crítico" em uma pia de cozinha ou banheiro. Deixe-o desligado e deixe a torneira aberta. Perto do local onde o fluxo de água atinge a pia, o fluxo é supercrítico. Ele 'abraça' a superfície e se move rapidamente. Na borda externa do padrão de fluxo, o fluxo é subcrítico. Esse fluxo é mais espesso e se move mais lentamente. O limite entre as duas áreas é denominado "salto hidráulico". O salto começa onde o fluxo é apenas crítico e o número de Froude é igual a 1,0.

O número de Froude tem sido usado para estudar tendências na locomoção animal, a fim de entender melhor por que os animais usam padrões de marcha diferentes, bem como para formar hipóteses sobre os andamentos de espécies extintas.

Veja também

Velocidade do fluxo - campo vetorial que é usado para descrever matematicamente o movimento de um continuum
Força corporal
Equação de momento de Cauchy - Equação
Equação de hambúrgueres
Equações de Euler (dinâmica de fluidos)

Notas

Referências

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links externos

https://web.archive.org/web/20070927085042/http://www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf

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