Heterocedasticidade condicional autoregressiva - Autoregressive conditional heteroskedasticity

Em econometria , o modelo de heterocedasticidade condicional autorregressiva ( ARCH ) é um modelo estatístico para dados de série temporal que descreve a variância do termo de erro atual ou inovação como uma função dos tamanhos reais dos termos de erro dos períodos de tempo anteriores; frequentemente, a variação está relacionada aos quadrados das inovações anteriores . O modelo ARCH é apropriado quando a variância do erro em uma série temporal segue um modelo autoregressivo (AR); se um modelo de média móvel autoregressiva (ARMA) for assumido para a variância do erro, o modelo é ummodelo de heteroscedasticidade condicional autorregressiva generalizada ( GARCH ).

Os modelos ARCH são comumente empregados na modelagem de séries temporais financeiras que exibem volatilidade variável no tempo e agrupamento de volatilidade , ou seja, períodos de oscilações intercalados com períodos de relativa calma. Os modelos do tipo ARCH às vezes são considerados na família dos modelos de volatilidade estocástica , embora isso seja estritamente incorreto, uma vez que no tempo t a volatilidade é completamente pré-determinada (determinística), dados os valores anteriores.

Especificação modelo

Para modelar uma série temporal usando um processo ARCH, vamos denotar os termos de erro (resíduos de retorno, em relação a um processo médio), ou seja, os termos da série. Estes são divididos em uma parte estocástica e um desvio padrão dependente do tempo, caracterizando o tamanho típico dos termos para que ${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t} ~}$${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t} ~}$${\ displaystyle z_ {t}}$${\ displaystyle \ sigma _ {t}}$

${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t} = \ sigma _ {t} z_ {t} ~}$

A variável aleatória é um forte processo de ruído branco . A série é modelada por ${\ displaystyle z_ {t}}$${\ displaystyle \ sigma _ {t} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {t} ^ {2} = \ alpha _ {0} + \ alpha _ {1} \ epsilon _ {t-1} ^ {2} + \ cdots + \ alpha _ {q} \ epsilon _ {tq} ^ {2} = \ alpha _ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ alpha _ {i} \ epsilon _ {ti} ^ {2}}$,

onde e .${\ displaystyle ~ \ alpha _ {0}> 0 ~}$${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ geq 0, ~ i> 0}$

Um modelo ARCH ( q ) pode ser estimado usando mínimos quadrados ordinários . Um método para testar se os resíduos exibem heteroscedasticidade variável com o tempo usando o teste do multiplicador de Lagrange foi proposto por Engle (1982). Este procedimento é o seguinte: ${\ displaystyle \ epsilon _ {t}}$

1. Estime o modelo autoregressivo de melhor ajuste AR ( q ) .${\ displaystyle y_ {t} = a_ {0} + a_ {1} y_ {t-1} + \ cdots + a_ {q} y_ {tq} + \ epsilon _ {t} = a_ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} a_ {i} y_ {ti} + \ epsilon _ {t}}$
2. Obtenha os quadrados do erro e faça a regressão deles em uma constante e valores defasados q : ${\ displaystyle {\ hat {\ epsilon}} ^ {2}}$

   ${\ displaystyle {\ hat {\ epsilon}} _ {t} ^ {2} = {\ hat {\ alpha}} _ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} {\ hat {\ alpha}} _ {i} {\ hat {\ epsilon}} _ {ti} ^ {2}}$

   onde q é o comprimento de defasagens de ARCH.

3. A hipótese nula é que, na ausência de componentes ARCH, temos para todos . A hipótese alternativa é que, na presença de componentes ARCH, pelo menos um dos coeficientes estimados deve ser significativo. Em uma amostra de T residuais sob a hipótese nula de nenhum erro ARCH, a estatística de teste T'R² segue a distribuição com q graus de liberdade, onde é o número de equações no modelo que ajusta os residuais vs as defasagens (ie ). Se T'R² for maior que o valor da tabela Qui-quadrado, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que há um efeito ARCH no modelo ARMA . Se T'R² for menor que o valor da tabela Qui-quadrado, não rejeitamos a hipótese nula.${\ displaystyle \ alpha _ {i} = 0}$${\ displaystyle i = 1, \ cdots, q}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle \ chi ^ {2}}$${\ displaystyle T '}$${\ displaystyle T '= Tq}$

GARCH

Se um modelo de média móvel autorregressivo (ARMA) for assumido para a variância do erro, o modelo é um modelo de heterocedasticidade condicional autorregressiva generalizado (GARCH).

Nesse caso, o GARCH ( p , q ) modelo (onde p é a ordem dos termos GARCH e q é a ordem dos termos ARCO ), a seguir a notação do papel original, é dada pela ${\ displaystyle ~ \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle ~ \ epsilon ^ {2}}$

${\ displaystyle y_ {t} = x '_ {t} b + \ epsilon _ {t}}$

${\ displaystyle \ epsilon _ {t} | \ psi _ {t-1} \ sim {\ mathcal {N}} (0, \ sigma _ {t} ^ {2})}$

${\ displaystyle \ sigma _ {t} ^ {2} = \ omega + \ alpha _ {1} \ epsilon _ {t-1} ^ {2} + \ cdots + \ alpha _ {q} \ epsilon _ {tq } ^ {2} + \ beta _ {1} \ sigma _ {t-1} ^ {2} + \ cdots + \ beta _ {p} \ sigma _ {tp} ^ {2} = \ omega + \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ alpha _ {i} \ epsilon _ {ti} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ beta _ {i} \ sigma _ {ti } ^ {2}}$

Geralmente, ao testar a heteroscedasticidade em modelos econométricos, o melhor teste é o teste de White . No entanto, ao lidar com dados de série temporal , isso significa testar os erros ARCH e GARCH.

A média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) é um modelo alternativo em uma classe separada de modelos de suavização exponencial. Como alternativa à modelagem GARCH, ele tem algumas propriedades atraentes, como um peso maior sobre as observações mais recentes, mas também desvantagens, como um fator de decaimento arbitrário que introduz subjetividade na estimativa.

Especificação do modelo GARCH ( p , q )

O comprimento do lag p de um processo GARCH ( p , q ) é estabelecido em três etapas:

1. Estime o modelo AR ( q ) de melhor ajuste

   ${\ displaystyle y_ {t} = a_ {0} + a_ {1} y_ {t-1} + \ cdots + a_ {q} y_ {tq} + \ epsilon _ {t} = a_ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} a_ {i} y_ {ti} + \ epsilon _ {t}}$.

2. Calcule e plote as autocorrelações de por ${\ displaystyle \ epsilon ^ {2}}$

   ${\ displaystyle \ rho = {{\ sum _ {t = i + 1} ^ {T} ({\ hat {\ epsilon}} _ {t} ^ {2} - {\ hat {\ sigma}} _ { t} ^ {2}) ({\ hat {\ epsilon}} _ {t-1} ^ {2} - {\ hat {\ sigma}} _ {t-1} ^ {2})} \ over { \ sum _ {t = 1} ^ {T} ({\ hat {\ epsilon}} _ {t} ^ {2} - {\ hat {\ sigma}} _ {t} ^ {2}) ^ {2 }}}}$

3. O assimptótico, ou seja, para grandes amostras, o desvio padrão de é . Valores individuais maiores do que isso indicam erros GARCH. Para estimar o número total de defasagens, use o teste Ljung-Box até que o valor deles seja inferior a, digamos, 10% de significância. A estatística Q de Ljung-Box segue a distribuição com n graus de liberdade se os resíduos quadrados não estiverem correlacionados. Recomenda-se considerar até T / 4 valores de n . A hipótese nula afirma que não há erros ARCH ou GARCH. Rejeitar o nulo, portanto, significa que tais erros existem na variação condicional .${\ displaystyle \ rho (i)}$${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {T}}}$${\ displaystyle \ chi ^ {2}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {t} ^ {2}}$

NGARCH

NAGARCH

Não linear assimétrico GARCH (1,1) ( NAGARCH ) é um modelo com a especificação:

${\ displaystyle ~ \ sigma _ {t} ^ {2} = ~ \ omega + ~ \ alpha (~ \ epsilon _ {t-1} - ~ \ theta ~ \ sigma _ {t-1}) ^ {2} + ~ \ beta ~ \ sigma _ {t-1} ^ {2}}$,

onde e , o que garante a não negatividade e a estacionariedade do processo de variância.${\ displaystyle ~ \ alpha \ geq 0, ~ \ beta \ geq 0, ~ \ omega> 0}$${\ displaystyle ~ \ alpha (1 + ~ \ theta ^ {2}) + ~ \ beta <1}$

Para retornos de ações, o parâmetro é geralmente estimado como positivo; neste caso, reflete um fenômeno comumente referido como “efeito de alavancagem”, significando que retornos negativos aumentam a volatilidade futura em um valor maior do que retornos positivos de mesma magnitude. ${\ displaystyle ~ \ theta}$

Este modelo não deve ser confundido com o modelo NARCH, juntamente com a extensão NGARCH, introduzido por Higgins e Bera em 1992.

IGARCH

Heteroscedasticidade condicional generalizada generalizada integrada (IGARCH) é uma versão restrita do modelo GARCH, onde os parâmetros persistentes somam um, e importa uma raiz unitária no processo GARCH. A condição para isso é

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {p} ~ \ beta _ {i} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} ~ \ alpha _ {i} = 1}$.

EGARCH

O modelo exponencial generalizado autorregressivo condicional heteroscedástico (EGARCH) de Nelson & Cao (1991) é outra forma do modelo GARCH. Formalmente, um EGARCH (p, q):

${\ displaystyle \ log \ sigma _ {t} ^ {2} = \ omega + \ sum _ {k = 1} ^ {q} \ beta _ {k} g (Z_ {tk}) + \ sum _ {k = 1} ^ {p} \ alpha _ {k} \ log \ sigma _ {tk} ^ {2}}$

onde , é a variância condicional , , , , e são coeficientes. pode ser uma variável normal padrão ou vir de uma distribuição de erro generalizada . A formulação para permite que o sinal e a magnitude de tenham efeitos separados sobre a volatilidade. Isso é particularmente útil em um contexto de precificação de ativos. ${\ displaystyle g (Z_ {t}) = \ theta Z_ {t} + \ lambda (| Z_ {t} | -E (| Z_ {t} |))}$${\ displaystyle \ sigma _ {t} ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle Z_ {t}}$${\ displaystyle g (Z_ {t})}$${\ displaystyle Z_ {t}}$

Como pode ser negativo, não há restrições de sinal para os parâmetros. ${\ displaystyle \ log \ sigma _ {t} ^ {2}}$

GARCH-M

O modelo GARCH-in-mean (GARCH-M) adiciona um termo de heteroscedasticidade na equação média. Possui a especificação:

${\ displaystyle y_ {t} = ~ \ beta x_ {t} + ~ \ lambda ~ \ sigma _ {t} + ~ \ epsilon _ {t}}$

O residual é definido como: ${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t}}$

${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t} = ~ \ sigma _ {t} ~ \ times z_ {t}}$

QGARCH

O modelo Quadratic GARCH (QGARCH) de Sentana (1995) é usado para modelar efeitos assimétricos de choques positivos e negativos.

No exemplo de um modelo GARCH (1,1), o processo residual é ${\ displaystyle ~ \ sigma _ {t}}$

${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t} = ~ \ sigma _ {t} z_ {t}}$

onde está iid e ${\ displaystyle z_ {t}}$

${\ displaystyle ~ \ sigma _ {t} ^ {2} = K + ~ \ alpha ~ \ epsilon _ {t-1} ^ {2} + ~ \ beta ~ \ sigma _ {t-1} ^ {2} + ~ \ phi ~ \ epsilon _ {t-1}}$

GJR-GARCH

Semelhante ao QGARCH, o modelo Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH) de Glosten, Jagannathan e Runkle (1993) também modela a assimetria no processo ARCH. A sugestão é modelar onde está iid, e ${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t} = ~ \ sigma _ {t} z_ {t}}$${\ displaystyle z_ {t}}$

${\ displaystyle ~ \ sigma _ {t} ^ {2} = K + ~ \ delta ~ \ sigma _ {t-1} ^ {2} + ~ \ alpha ~ \ epsilon _ {t-1} ^ {2} + ~ \ phi ~ \ epsilon _ {t-1} ^ {2} I_ {t-1}}$

onde se e se . ${\ displaystyle I_ {t-1} = 0}$${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t-1} \ geq 0}$${\ displaystyle I_ {t-1} = 1}$${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t-1} <0}$

Modelo TGARCH

O modelo Threshold GARCH (TGARCH) de Zakoian (1994) é semelhante ao GJR GARCH. A especificação é baseada no desvio padrão condicional em vez da variância condicional :

${\ displaystyle ~ \ sigma _ {t} = K + ~ \ delta ~ \ sigma _ {t-1} + ~ \ alpha _ {1} ^ {+} ~ \ epsilon _ {t-1} ^ {+} + ~ \ alpha _ {1} ^ {-} ~ \ epsilon _ {t-1} ^ {-}}$

onde se e se . Da mesma forma, se e se . ${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t-1} ^ {+} = ~ \ epsilon _ {t-1}}$${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t-1}> 0}$${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t-1} ^ {+} = 0}$${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t-1} \ leq 0}$${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t-1} ^ {-} = ~ \ epsilon _ {t-1}}$${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t-1} \ leq 0}$${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t-1} ^ {-} = 0}$${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t-1}> 0}$

fGARCH

O modelo fGARCH de Hentschel , também conhecido como Família GARCH , é um modelo abrangente que aninha uma variedade de outros modelos GARCH simétricos e assimétricos populares, incluindo APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH, etc.

COGARCH

Em 2004, Claudia Klüppelberg , Alexander Lindner e Ross Maller propuseram uma generalização em tempo contínuo do processo GARCH (1,1) em tempo discreto. A ideia é começar com as equações do modelo GARCH (1,1)

${\ displaystyle \ epsilon _ {t} = \ sigma _ {t} z_ {t},}$

${\ displaystyle \ sigma _ {t} ^ {2} = \ alpha _ {0} + \ alpha _ {1} \ epsilon _ {t-1} ^ {2} + \ beta _ {1} \ sigma _ { t-1} ^ {2} = \ alpha _ {0} + \ alpha _ {1} \ sigma _ {t-1} ^ {2} z_ {t-1} ^ {2} + \ beta _ {1 } \ sigma _ {t-1} ^ {2},}$

e então substituir o processo de ruído branco forte pelos incrementos infinitesimais de um processo de Lévy , e o processo de ruído quadrado pelos incrementos , onde ${\ displaystyle z_ {t}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} L_ {t}}$ ${\ displaystyle (L_ {t}) _ {t \ geq 0}}$${\ displaystyle z_ {t} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} [L, L] _ {t} ^ {\ mathrm {d}}}$

${\ displaystyle [L, L] _ {t} ^ {\ mathrm {d}} = \ sum _ {s \ in [0, t]} (\ Delta L_ {t}) ^ {2}, \ quad t \ geq 0,}$

é a parte puramente descontínua do processo de variação quadrática de . O resultado é o seguinte sistema de equações diferenciais estocásticas : ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} G_ {t} = \ sigma _ {t -} \, \ mathrm {d} L_ {t},}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma _ {t} ^ {2} = (\ beta - \ eta \ sigma _ {t} ^ {2}) \, \ mathrm {d} t + \ varphi \ sigma _ { t -} ^ {2} \, \ mathrm {d} [L, L] _ {t} ^ {\ mathrm {d}},}$

onde os parâmetros positivos , e são determinados por , e . Agora, dadas algumas condições iniciais , o sistema acima tem uma solução única de caminho que é então chamada de modelo GARCH de tempo contínuo ( COGARCH ). ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ alpha _ {0}}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle \ beta _ {1}}$${\ displaystyle (G_ {0}, \ sigma _ {0} ^ {2})}$${\ displaystyle (G_ {t}, \ sigma _ {t} ^ {2}) _ {t \ geq 0}}$

ZD-GARCH

Ao contrário do modelo GARCH, o modelo Zero-Drift GARCH (ZD-GARCH) de Li, Zhang, Zhu e Ling (2018) permite o termo deriva no modelo GARCH de primeira ordem. O modelo ZD-GARCH serve para modelar , onde é iid e ${\ displaystyle ~ \ omega = 0}$${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t} = ~ \ sigma _ {t} z_ {t}}$${\ displaystyle z_ {t}}$

${\ displaystyle ~ \ sigma _ {t} ^ {2} = ~ \ alpha _ {1} ~ \ epsilon _ {t-1} ^ {2} + ~ \ beta _ {1} ~ \ sigma _ {t- 1} ^ {2}.}$

O modelo ZD-GARCH não requer e, portanto, aninha o modelo de média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) em " RiskMetrics ". Desde o termo deriva , o modelo ZD-GARCH é sempre não estacionário, e seus métodos de inferência estatística são bastante diferentes daqueles para o modelo GARCH clássico. Com base nos dados históricos, os parâmetros e podem ser estimados pelo método QMLE generalizado . ${\ displaystyle ~ \ alpha _ {1} + ~ \ beta _ {1} = 1}$${\ displaystyle ~ \ omega = 0}$${\ displaystyle ~ \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle ~ \ beta _ {1}}$

GARCH espacial

Os processos GARCH espaciais de Otto, Schmid e Garthoff (2018) são considerados como o equivalente espacial dos modelos temporais de heterocedasticidade condicional autorregressiva generalizada (GARCH). Em contraste com o modelo ARCH temporal, no qual a distribuição é conhecida dado o conjunto completo de informações para os períodos anteriores, a distribuição não é direta no cenário espacial e espaço-temporal devido à interdependência entre as localizações espaciais vizinhas. O modelo espacial é dado por e ${\ displaystyle ~ \ epsilon (s_ {i}) = ~ \ sigma (s_ {i}) z (s_ {i})}$

${\ displaystyle ~ \ sigma (s_ {i}) ^ {2} = ~ \ alpha _ {i} + \ sum _ {v = 1} ^ {n} \ rho w_ {iv} \ epsilon (s_ {v} ) ^ {2},}$

onde denota a -ésima localização espacial e se refere à -ésima entrada de uma matriz de peso espacial e para . A matriz de peso espacial define quais locais são considerados adjacentes. ${\ displaystyle ~ s_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle ~ w_ {iv}}$${\ displaystyle iv}$${\ displaystyle w_ {ii} = 0}$${\ displaystyle ~ i = 1, ..., n}$

GARCH baseado em processo gaussiano

Em uma linha diferente, a comunidade de aprendizado de máquina propôs o uso de modelos de regressão de processos gaussianos para obter um esquema GARCH. Isso resulta em um esquema de modelagem não paramétrica, que permite: (i) robustez avançada ao overfitting, uma vez que o modelo marginaliza seus parâmetros para realizar inferências, sob uma lógica de inferência bayesiana; e (ii) capturar dependências altamente não lineares sem aumentar a complexidade do modelo.

Referências

Leitura adicional

• Bollerslev, Tim; Russell, Jeffrey; Watson, Mark (maio de 2010). "Capítulo 8: Glossário de ARCH (GARCH)" (PDF) . Volatilidade e Econometria de Séries Temporais: Ensaios em Honra a Robert Engle (1ª ed.). Oxford: Oxford University Press. pp. 137–163. ISBN 9780199549498.
• Enders, W. (2004). "Modelagem de Volatilidade". Applied Econometrics Time Series (segunda edição). John-Wiley & Sons. pp. 108-155. ISBN 978-0-471-45173-0.
• Engle, Robert F. (1982). "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation". Econometrica . 50 (4): 987–1008. doi : 10.2307 / 1912773 . JSTOR  1912773 . (o artigo que despertou o interesse geral nos modelos ARCH)
• Engle, Robert F. (1995). ARCH: leituras selecionadas . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 978-0-19-877432-7.
• Engle, Robert F. (2001). "GARCH 101: O Uso de Modelos ARCH / GARCH em Econometria Aplicada" . Journal of Economic Perspectives . 15 (4): 157–168. doi : 10.1257 / jep.15.4.157 . JSTOR  2696523 . (uma introdução curta e legível)
• Gujarati, DN (2003). Econometria básica . pp. 856–862.
• Hacker, RS; Hatemi-J, A. (2005). "Um teste para efeitos ARCH multivariados" . Cartas de Economia Aplicada . 12 (7): 411–417. doi : 10.1080 / 13504850500092129 .
• Nelson, DB (1991). "Heteroscedasticidade condicional em retornos de ativos: uma nova abordagem". Econometrica . 59 (2): 347–370. doi : 10.2307 / 2938260 . JSTOR  2938260 .