Fase geométrica - Geometric phase

Na mecânica clássica e quântica , a fase geométrica é uma diferença de fase adquirida ao longo de um ciclo , quando um sistema é submetido a processos adiabáticos cíclicos , que resultam das propriedades geométricas do espaço de parâmetros do hamiltoniano . O fenômeno foi descoberto independentemente por T. Kato (1950), S. Pancharatnam (1956) e por HC Longuet-Higgins (1958) e posteriormente generalizado por Sir Michael Berry (1984). É também conhecida como fase Pancharatnam-Berry , fase Pancharatnam ou fase Berry . Ele pode ser visto na interseção cônica de superfícies de energia potencial e no efeito Aharonov-Bohm . A fase geométrica em torno da interseção cônica envolvendo o estado eletrônico fundamental do íon molecular C ₆ H ₃ F ₃ ⁺ é discutida nas páginas 385-386 do livro de Bunker e Jensen. No caso do efeito Aharonov-Bohm, o parâmetro adiabático é o campo magnético envolvido por dois caminhos de interferência, e é cíclico no sentido de que esses dois caminhos formam um loop. No caso da interseção cônica, os parâmetros adiabáticos são as coordenadas moleculares . Além da mecânica quântica, surge em uma variedade de outros sistemas de ondas , como a ótica clássica . Via de regra, pode ocorrer sempre que houver pelo menos dois parâmetros caracterizando uma onda nas proximidades de algum tipo de singularidade ou buraco na topologia; dois parâmetros são necessários porque ou o conjunto de estados não singulares não será simplesmente conectado ou haverá holonomia diferente de zero .

As ondas são caracterizadas por amplitude e fase e podem variar em função desses parâmetros. A fase geométrica ocorre quando ambos os parâmetros são alterados simultaneamente, mas muito lentamente (adiabaticamente) e, eventualmente, trazidos de volta à configuração inicial. Na mecânica quântica, isso poderia envolver rotações, mas também traduções de partículas, que são aparentemente desfeitas no final. Pode-se esperar que as ondas no sistema voltem ao estado inicial, caracterizado pelas amplitudes e fases (e contabilizando a passagem do tempo). No entanto, se as excursões dos parâmetros corresponderem a um loop em vez de uma variação autorretratável para frente e para trás, então é possível que os estados inicial e final sejam diferentes em suas fases. Essa diferença de fase é a fase geométrica e sua ocorrência normalmente indica que a dependência dos parâmetros do sistema é singular (seu estado é indefinido) para alguma combinação de parâmetros.

Para medir a fase geométrica em um sistema de ondas, um experimento de interferência é necessário. O pêndulo de Foucault é um exemplo da mecânica clássica que às vezes é usado para ilustrar a fase geométrica. Este análogo mecânico da fase geométrica é conhecido como ângulo de Hannay .

Fase Berry na mecânica quântica

Em um sistema quântico no n-ésimo estado próprio , uma evolução adiabática do hamiltoniano vê o sistema permanecer no n-ésimo estado próprio do hamiltoniano, enquanto também obtém um fator de fase. A fase obtida tem uma contribuição da evolução temporal do estado e outra da variação do autoestado com a variação do hamiltoniano. O segundo termo corresponde à fase de Berry e para variações não cíclicas do hamiltoniano pode ser feito desaparecer por uma escolha diferente da fase associada aos autoestados do hamiltoniano em cada ponto da evolução.

No entanto, se a variação for cíclica, a fase de Berry não pode ser cancelada; é invariável e se torna uma propriedade observável do sistema. Ao revisar a prova do teorema adiabático dada por Max Born e Vladimir Fock , em Zeitschrift für Physik 51 , 165 (1928), poderíamos caracterizar toda a mudança do processo adiabático em um termo de fase. Sob a aproximação adiabática, o coeficiente do enésimo estado próprio sob o processo adiabático é dado por

onde é a fase de Berry em relação ao parâmetro t. Alterando a variável t em parâmetros generalizados, poderíamos reescrever a fase de Berry em ${\ displaystyle \ gamma _ {n} (t)}$ onde parametriza o processo adiabático cíclico. Observe que a normalização de implica que o integrando é imaginário, então isso é real. Ele segue um caminho fechado no espaço de parâmetro apropriado. A fase geométrica ao longo do caminho fechado também pode ser calculada integrando a curvatura de Berry sobre a superfície delimitada por . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ left | n, t \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ gamma _ {n} [C]}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

Exemplos de fases geométricas

O pêndulo de Foucault

Um dos exemplos mais fáceis é o pêndulo de Foucault . Uma explicação fácil em termos de fases geométricas é dada por Wilczek e Shapere

Como o pêndulo entra em precessão quando é percorrido em torno de um caminho geral C? Para transporte ao longo do equador , o pêndulo não terá precessão. [...] Agora, se C é composto de segmentos geodésicos , a precessão virá todos dos ângulos onde os segmentos geodésicos se encontram; a precessão total é igual ao ângulo do déficit líquido que, por sua vez, é igual ao ângulo sólido delimitado pelo C módulo 2π. Finalmente, podemos aproximar qualquer loop por uma sequência de segmentos geodésicos, então o resultado mais geral (dentro ou fora da superfície da esfera) é que a precessão líquida é igual ao ângulo sólido fechado.

Em outras palavras, não há forças inerciais que possam fazer o pêndulo precessão, então a precessão (relativa à direção do movimento do caminho ao longo do qual o pêndulo é carregado) é inteiramente devido ao giro desse caminho. Assim, a orientação do pêndulo sofre transporte paralelo . Para o pêndulo de Foucault original, o caminho é um círculo de latitude e, pelo teorema de Gauss-Bonnet , a mudança de fase é dada pelo ângulo sólido fechado.

Luz polarizada em fibra ótica

Um segundo exemplo é a luz polarizada linearmente entrando em uma fibra óptica de modo único . Suponha que a fibra trace algum caminho no espaço e a luz saia da fibra na mesma direção em que entrou. Em seguida, compare as polarizações inicial e final. Na aproximação semiclássica, a fibra funciona como um guia de ondas e o momento da luz é sempre tangente à fibra. A polarização pode ser considerada uma orientação perpendicular ao momento. À medida que a fibra traça seu caminho, o vetor de momento da luz traça um caminho na esfera no espaço de momento . O caminho é fechado porque as direções inicial e final da luz coincidem, e a polarização é um vetor tangente à esfera. Ir para o espaço de impulso é equivalente a pegar o mapa de Gauss . Não há forças que possam fazer a polarização girar, apenas a restrição para permanecer tangente à esfera. Assim, a polarização sofre transporte paralelo e o deslocamento de fase é dado pelo ângulo sólido fechado (vezes o spin, que no caso da luz é 1).

Efeito de bomba estocástica

Uma bomba estocástica é um sistema estocástico clássico que responde com correntes diferentes de zero, em média, a mudanças periódicas de parâmetros. O efeito da bomba estocástica pode ser interpretado em termos de uma fase geométrica na evolução da função geradora de momento das correntes estocásticas.

Spin 1 ⁄ 2

A fase geométrica pode ser avaliada exatamente para uma partícula de spin 1 ⁄ 2 em um campo magnético.

Fase geométrica definida em atratores

Embora a formulação de Berry tenha sido originalmente definida para sistemas hamiltonianos lineares, logo foi percebido por Ning e Haken que a fase geométrica semelhante pode ser definida para sistemas totalmente diferentes, como sistemas dissipativos não lineares que possuem certos atratores cíclicos. Eles mostraram que tais atratores cíclicos existem em uma classe de sistemas dissipativos não lineares com certas simetrias.

Exposição em interseções de superfície de potencial adiabático molecular

Existem várias maneiras de calcular a fase geométrica em moléculas dentro da estrutura de Born Oppenheimer. Uma maneira é por meio da " matriz de acoplamento não adiabática " definida por ${\ displaystyle M \ times M}$

$${\ displaystyle \ tau _ {ij} ^ {\ mu} = \ left \ langle \ psi _ {i} | \ partial ^ {\ mu} \ psi _ {j} \ right \ rangle}$$

onde está a função de onda eletrônica adiabática, dependendo dos parâmetros nucleares . O acoplamento não adiabático pode ser usado para definir uma integral de loop, análogo a um loop de Wilson (1974) na teoria de campo, desenvolvido de forma independente para a estrutura molecular por M. Baer (1975, 1980, 2000). Dado um loop fechado , parametrizado por onde é um parâmetro e . A matriz D é dada por: ${\ displaystyle \ psi _ {i}}$${\ displaystyle R _ {\ mu}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle R _ {\ mu} \ left (t \ right)}$${\ displaystyle t \ in \ left [0,1 \ right]}$${\ displaystyle R _ {\ mu} \ left (t + 1 \ right) = R _ {\ mu} \ left (t \ right)}$

$${\ displaystyle D \ left [\ Gamma \ right] = {\ hat {P}} e ^ {\ oint _ {\ Gamma} {\ tau ^ {\ mu} dR _ {\ mu}}}}$$

(aqui, é um símbolo de ordenação de caminho). Pode-se mostrar que uma vez grande o suficiente (isto é, um número suficiente de estados eletrônicos é considerado) esta matriz é diagonal com os elementos diagonais iguais a onde estão as fases geométricas associadas ao loop para o estado eletrônico adiabático. ${\ displaystyle {\ hat {P}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle e ^ {i \ beta _ {j}}}$${\ displaystyle \ beta _ {j}}$${\ displaystyle j}$

Para hamiltonianos eletrônicos simétricos com reversão de tempo, a fase geométrica reflete o número de interseções cônicas circundadas pelo loop. Mais precisamente:

$${\ displaystyle e ^ {i \ beta _ {j}} = \ left (-1 \ right) ^ {N_ {j}}}$$

onde é o número de interseções cônicas envolvendo o estado adiabático circundado pelo loop . ${\ displaystyle N_ {j}}$${\ displaystyle \ psi _ {j}}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Uma alternativa para a abordagem da matriz D seria um cálculo direto da fase Pancharatnam. Isso é especialmente útil se alguém estiver interessado apenas nas fases geométricas de um único estado adiabático. Nesta abordagem, toma-se uma série de pontos ao longo do loop com e, em seguida, usando apenas os

j -ésimos estados adiabáticos, calcula o produto Pancharatnam das sobreposições: ${\ displaystyle N + 1}$${\ displaystyle \ left (n = 0, \ dots, N \ right)}$${\ displaystyle R \ left (t_ {n} \ right)}$${\ displaystyle t_ {0} = 0}$${\ displaystyle t_ {N} = 1}$${\ displaystyle \ psi _ {j} \ left [R \ left (t_ {n} \ right) \ right]}$

$${\ displaystyle I_ {j} \ left (\ Gamma, N \ right) = \ prod \ limits _ {n = 0} ^ {N-1} {\ left \ langle \ psi _ {j} \ left [R \ esquerda (t_ {n} \ direita) \ direita] | \ psi _ {j} \ esquerda [R \ esquerda (t_ {n + 1} \ direita) \ direita] \ direita \ rangle}}$$

No limite, tem-se (ver Ryb & Baer 2004 para explicação e algumas aplicações): ${\ displaystyle N \ to \ infty}$

$${\ displaystyle I_ {j} \ left (\ Gamma, N \ right) \ para e ^ {i \ beta _ {j}}}$$

Fase geométrica e quantização do movimento do ciclotron

Um elétron sujeito a um campo magnético se move em uma órbita circular (cíclotron). Classicamente, qualquer raio de ciclotron é aceitável. Mecanicamente quântico, apenas níveis de energia discretos (níveis de

Landau ) são permitidos e, como está relacionado à energia do elétron, corresponde a valores quantizados de . A condição de quantização de energia obtida resolvendo a equação de Schrödinger lê, por exemplo, para elétrons livres (no vácuo) ou para elétrons no grafeno onde . Embora a derivação desses resultados não seja difícil, existe uma forma alternativa de derivá-los que oferece, em alguns aspectos, uma melhor visão física da quantização do nível de Landau. Esta forma alternativa é baseada na condição de quantização semiclássica de Bohr-Sommerfeld.${\ displaystyle B}$${\ displaystyle R_ {c}}$${\ displaystyle R_ {c}}$${\ displaystyle R_ {c}}$${\ displaystyle E = (n + \ alpha) \ hbar \ omega _ {c}, \ alpha = 1/2}$${\ textstyle E = v {\ sqrt {2 (n + \ alpha) eB \ hbar}}, \ alpha = 0}$${\ displaystyle n = 0,1,2, \ ldots}$

que inclui a fase geométrica captada pelo elétron enquanto executa seu movimento (no espaço real) ao longo do circuito fechado da órbita do cíclotron. Para elétrons livres, enquanto para elétrons no grafeno. Acontece que a fase geométrica está diretamente ligada a elétrons livres e de elétrons no grafeno. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma = 0}$${\ displaystyle \ gamma = \ pi}$${\ displaystyle \ alpha = 1/2}$${\ displaystyle \ alpha = 0}$

Veja também

• Tensor de curvatura de Riemann - para a conexão com a matemática
• Conexão Berry e curvatura
• Aula Chern
• Rotação óptica
• Número do enrolamento

Notas

^ Para simplificar, consideramos os elétrons confinados a um plano, como2DEGe campo magnético perpendicular ao plano.

^ é a frequência do ciclotron (para elétrons livres) eé a velocidade de Fermi (dos elétrons no grafeno). ${\ displaystyle \ omega _ {c} = eB / m}$${\ displaystyle v}$

Notas de rodapé

Origens

• Jeeva Anandan; Joy Christian; Kazimir Wanelik (1997). "Carta de Recursos GPP-1: Fases Geométricas em Física". Sou. J. Phys . 65 (3): 180. arXiv : quant-ph / 9702011 . Bibcode : 1997AmJPh..65..180A . doi : 10.1119 / 1.18570 .
• Cantoni, V .; Mistrangioli, L. (1992). "Fase de três pontos, medida simplética e fase de Berry". International Journal of Theoretical Physics . 31 (6): 937. bibcode : 1992IJTP ... 31..937C . doi : 10.1007 / BF00675086 .
• Richard Montgomery (8 de agosto de 2006). Um tour pelas geometrias subriemannianas, suas geodésicas e aplicações . American Mathematical Soc. pp. 11–. ISBN 978-0-8218-4165-5. (Veja o capítulo 13 para um tratamento matemático)
• As conexões com outros fenômenos físicos (como o efeito Jahn-Teller ) são discutidas aqui: Fase geométrica de Berry: uma revisão
• Artigo do Prof. Galvez na Colgate University, descrevendo a Fase Geométrica em Óptica: Aplicações da Fase Geométrica em Óptica
• Surya Ganguli, feixes de fibras e teorias de calibre na física clássica: uma descrição unificada de gatos em queda, monopolos magnéticos e fase de Berry
• Robert Batterman, Falling Cats, Parallel Parking e Polarized Light
• Baer, ​​M. (1975). "Representações adiabáticas e diabáticas para colisões átomo-molécula: Tratamento do arranjo colinear". Cartas de Física Química . 35 (1): 112–118. Bibcode : 1975CPL .... 35..112B . doi : 10.1016 / 0009-2614 (75) 85599-0 .
• M. Baer, Transições não-adiabáticas eletrônicas: Derivação da matriz de transformação adiabática-diabática geral , Mol. Phys. 40, 1011 (1980);
• M. Baer, Existence of diabetic potenciais and the quantization of the nonadiabatic matrix , J. Phys. Chem. A 104, 3181-3184 (2000).
• Ryb, I; Baer, ​​R (2004). "Invariantes e covariantes combinatórios como ferramentas para interseções cônicas". The Journal of Chemical Physics . 121 (21): 10370–5. Bibcode : 2004JChPh.12110370R . doi : 10.1063 / 1.1808695 . PMID  15549915 .
• Wilczek, Frank ; Shapere, A. (1989). Fases geométricas em física . World Scientific. ISBN 978-9971-5-0621-6.
• Jerrold E. Marsden; Richard Montgomery; Tudor S. Ratiu (1990). Redução, simetria e fases em mecânica . Livraria AMS. p. 69. ISBN 978-0-8218-2498-6.
• C. Pisani (1994). Cálculo ab-initio de mecânica quântica das propriedades de materiais cristalinos (Procedimentos da IV Escola de Química Computacional da Sociedade Química Italiana ed.). Springer. p. 282. ISBN 978-3-540-61645-0.
• L. Mangiarotti, Gennadiĭ Aleksandrovich Sardanashvili (1998). Mecânica do medidor . World Scientific. p. 281. ISBN 978-981-02-3603-8.
• Karin M Rabe ; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Física da Ferroelétrica uma Perspectiva Moderna . Springer. p. 43. ISBN 978-3-540-34590-9.
• Michael Baer (2006). Além de Born Oppenheimer . Wiley. ISBN 978-0-471-77891-2.
• CZNing e H. Haken (1992). "Acumulações geométricas de fase e amplitude em sistemas dissipativos com atratores cíclicos". Phys. Rev. Lett . 68 (14): 2109–2122. Bibcode : 1992PhRvL..68.2109N . doi : 10.1103 / PhysRevLett.68.2109 . PMID  10045311 .
• CZNing e H. Haken (1992). "A fase geométrica em sistemas dissipativos não lineares". Mod. Phys. Lett. B . 6 (25): 1541–1568. Bibcode : 1992MPLB .... 6.1541N . doi : 10.1142 / S0217984992001265 .

Leitura adicional

• Michael V. Berry; A fase geométrica, Scientific American 259 (6) (1988), 26-34 [4]