Tetraedro Goursat - Goursat tetrahedron

Para o espaço 3 euclidiano, existem 3 tetraedros de Goursat simples e relacionados, representados por [4,3,4], [4,3 ^1,1 ] e [3 ^[4] ]. Eles podem ser vistos internamente como pontos sobre e dentro de um cubo, {4,3}.

Em geometria , um tetraedro Goursat é um domínio tetraédrico fundamental de uma construção Wythoff . Cada face tetraédrica representa um hiperplano de reflexão em superfícies tridimensionais: a 3-esfera , o 3-espaço euclidiano e o 3-espaço hiperbólico. Coxeter os nomeou em homenagem a Édouard Goursat, que primeiro pesquisou esses domínios. É uma extensão da teoria dos triângulos de Schwarz para construções de Wythoff na esfera.

Representação gráfica

Um tetraedro de Goursat pode ser representado graficamente por um gráfico tetraédrico, que está em uma configuração dual do tetraedro de domínio fundamental. No gráfico, cada nó representa uma face (espelho) do tetraedro Goursat. Cada aresta é rotulada por um valor racional correspondente à ordem de reflexão, sendo π / ângulo diédrico .

Um diagrama de Coxeter-Dynkin de 4 nós representa esses gráficos tetraédricos com arestas de ordem 2 ocultas. Se muitas arestas são de ordem 2, o grupo Coxeter pode ser representado por uma notação de colchetes .

A existência requer que cada um dos subgráficos de 3 nós deste gráfico, (pqr), (pus), (qtu) e (rst), deve corresponder a um triângulo de Schwarz .

Simetria estendida

A simetria de um tetraedro de Goursat pode ser a simetria tetraédrica de qualquer simetria de subgrupo mostrada nesta árvore, com subgrupos abaixo com índices de subgrupo marcados nas bordas coloridas.

Uma simetria estendida do tetraedro de Goursat é um produto semidireto da simetria do grupo de Coxeter e da simetria do domínio fundamental (o tetraedro de Goursat nesses casos). A notação de Coxeter apóia essa simetria como colchetes duplos como [Y [X]] significa simetria total do grupo de Coxeter [X], com Y como uma simetria do tetraedro de Goursat. Se Y for uma simetria reflexiva pura, o grupo representará outro grupo de espelhos de Coxeter. Se houver apenas uma simetria de duplicação simples, Y pode ser implícito como [[X]] com simetria refletiva ou rotacional, dependendo do contexto.

A simetria estendida de cada tetraedro de Goursat também é fornecida abaixo. A maior simetria possível é a do tetraedro regular como [3,3], e isso ocorre no grupo de pontos prismáticos [2,2,2] ou [2 ^[3,3] ] e no grupo hiperbólico paracompacto [3 ^{[3 , 3]} ].

Veja Tetraedro # Isometries de tetraedros irregulares para 7 isometrias de simetria inferiores do tetraedro.

Soluções para números inteiros

As seções a seguir mostram todas as soluções tetraédricas de Goursat de número inteiro na esfera 3, no espaço 3 euclidiano e no espaço 3 hiperbólico. A simetria estendida de cada tetraedro também é fornecida.

Os diagramas tetraedais coloridos abaixo são figuras de vértices para politopos omnitruncados e favos de mel de cada família de simetria. Os rótulos de aresta representam ordens de faces poligonais, que é o dobro da ordem de ramificação do gráfico de Coxeter. O ângulo diedro de uma aresta marcada como 2n é π / n . As arestas amarelas marcadas com 4 vêm de nós de espelho de ângulo reto (desconectados) no diagrama de Coxeter.

Soluções de 3 esferas (finitas)

Isomorfismos de grupos finitos de Coxeter

As soluções para a esfera 3 com soluções de densidade 1 são: ( polychora uniforme )

Duoprismas e hiperprismas :

Grupo e diagrama de Coxeter	[2,2,2]	[p, 2,2]	[p, 2, q]	[p, 2, p]	[3,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Ordem de simetria do grupo	16	8 p	4 pq	4 p 2	48	96	240
Simetria do tetraedro	[3,3] (pedido 24)	[2] (pedido 4)	[2] (pedido 4)	[2 + , 4] (pedido 8)	[] (pedido 2)	[] + (pedido 1)	[] + (pedido 1)
Simetria estendida	[(3,3) [2,2,2]] = [4,3,3]	[2 [p, 2,2]] = [2p, 2,4]	[2 [p, 2, q]] = [2p, 2,2q]	[(2 + , 4) [p, 2, p]] = [2 + [2p, 2,2p]]	[1 [3,3,2]] = [4,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Ordem de simetria estendida	384	32 p	16 pq	32 p 2	96	96	240

Tipo de gráfico	Linear				Tridente
Grupo e diagrama de Coxeter	Pentacórico [3,3,3]	Hexadecacórico [4,3,3]	Icositetracórico [3,4,3]	Hexacosicórico [5,3,3]	Demitesseractic [3 1,1,1 ]
Figura do vértice da policora uniforme omnitruncada
Tetraedro
Ordem de simetria do grupo	120	384	1152	14400	192
Simetria do tetraedro	[2] + (pedido 2)	[] + (pedido 1)	[2] + (pedido 2)	[] + (pedido 1)	[3] (pedido 6)
Simetria estendida	[2 + [3,3,3]]	[4,3,3]	[2 + [3,4,3]]	[5,3,3]	[3 [3 1,1,1 ]] = [3,4,3]
Ordem de simetria estendida	240	384	2304	14400	1152

Soluções euclidianas (afins) de 3 espaços

Isomorfismos euclidianos do grupo Coxeter

Soluções de densidade 1: Favos de mel uniformes convexos :

Tipo de gráfico	Ortoscheme Linear	Plagioscheme tri-dental	Cicloscheme de Loop	Prismático			Degenerar
Diagrama de Coxeter do grupo Coxeter	[4,3,4]	[4,3 1,1 ]	[3 [4] ]	[4,4,2]	[6,3,2]	[3 [3] , 2]	[∞, 2, ∞]
Figura do vértice de favos de mel omnitruncados
Tetraedro
Simetria do tetraedro	[2] + (pedido 2)	[] (pedido 2)	[2 + , 4] (pedido 8)	[] (pedido 2)	[] + (pedido 1)	[3] (pedido 6)	[2 + , 4] (pedido 8)
Simetria estendida	[(2 + ) [4,3,4]]	[1 [4,3 1,1 ]] = [4,3,4]	[(2 + , 4) [3 [4] ]] = [2 + [4,3,4]]	[1 [4,4,2]] = [4,4,2]	[6,3,2]	[3 [3 [3] , 2]] = [3,6,2]	[(2 + , 4) [∞, 2, ∞]] = [1 [4,4]]

Soluções hiperbólicas compactas de 3 espaços

Soluções de densidade 1: ( Favos de mel uniformes convexos no espaço hiperbólico ) ( diagrama de Coxeter # Compacto (grupos simplex de Lannér) )

Classificação 4 grupos simplex de Lannér

Tipo de gráfico	Linear			Tridente
Diagrama de Coxeter do grupo Coxeter	[3,5,3]	[5,3,4]	[5,3,5]	[5,3 1,1 ]
Figuras de vértice de favos de mel omnitruncados
Tetraedro
Simetria do tetraedro	[2] + (pedido 2)	[] + (pedido 1)	[2] + (pedido 2)	[] (pedido 2)
Simetria estendida	[2 + [3,5,3]]	[5,3,4]	[2 + [5,3,5]]	[1 [5,3 1,1 ]] = [5,3,4]
Tipo de gráfico	Laço
Diagrama de Coxeter do grupo Coxeter	[(4,3,3,3)]	[(4,3) 2 ]	[(5,3,3,3)]	[(5,3,4,3)]	[(5,3) 2 ]
Figuras de vértice de favos de mel omnitruncados
Tetraedro
Simetria do tetraedro	[2] + (pedido 2)	[2,2] + (pedido 4)	[2] + (pedido 2)	[2] + (pedido 2)	[2,2] + (pedido 4)
Simetria estendida	[2 + [(4,3,3,3)]]	[(2,2) + [(4,3) 2 ]]	[2 + [(5,3,3,3)]]	[2 + [(5,3,4,3)]]	[(2,2) + [(5,3) 2 ]]

Soluções hiperbólicas paracompactas de 3 espaços

Isso mostra as relações de subgrupo dos tetraedros hiperbólicos paracompactos de Goursat. Os subgrupos de ordem 2 representam a bifurcação de um tetraedro de Goursat com um plano de simetria de espelho

Soluções de densidade 1: (consulte o diagrama de Coxeter # Paracompact (grupos Koszul simplex) )

Classificação 4 grupos simplex Koszul

Tipo de gráfico	Gráficos lineares
Grupo e diagrama de Coxeter	[6,3,3]	[3,6,3]	[6,3,4]	[6,3,5]	[6,3,6]	[4,4,3]	[4,4,4]
Simetria do tetraedro	[] + (pedido 1)	[2] + (pedido 2)	[] + (pedido 1)	[] + (pedido 1)	[2] + (pedido 2)	[] + (pedido 1)	[2] + (pedido 2)
Simetria estendida	[6,3,3]	[2 + [3,6,3]]	[6,3,4]	[6,3,5]	[2 + [6,3,6]]	[4,4,3]	[2 + [4,4,4]]
Tipo de gráfico	Gráficos de loop
Grupo e diagrama de Coxeter	[3 [] × [] ]	[(4,4,3,3)]	[(4 3 , 3)]	[4 [4] ]	[(6,3 3 )]	[(6,3,4,3)]	[(6,3,5,3)]	[(6,3) [2] ]
Simetria do tetraedro	[2] (pedido 4)	[] (pedido 2)	[2] + (pedido 2)	[2 + , 4] (pedido 8)	[2] + (pedido 2)	[2] + (pedido 2)	[2] + (pedido 2)	[2,2] + (pedido 4)
Simetria estendida	[2 [3 [] × [] ]] = [6,3,4]	[1 [(4,4,3,3)]] = [3,4 1,1 ]	[2 + [(4 3 , 3)]]	[(2 + , 4) [4 [4] ]] = [2 + [4,4,4]]	[2 + [(6,3 3 )]]	[2 + [(6,3,4,3)]]	[2 + [(6,3,5,3)]]	[(2,2) + [(6,3) [2] ]]
Tipo de gráfico	Tridente			Loop-n-tail				Simplex
Grupo e diagrama de Coxeter	[6,3 1,1 ]	[3,4 1,1 ]	[4 1,1,1 ]	[3,3 [3] ]	[4,3 [3] ]	[5,3 [3] ]	[6,3 [3] ]	[3 [3,3] ]
Simetria do tetraedro	[] (pedido 2)	[] (pedido 2)	[3] (pedido 6)	[] (pedido 2)	[] (pedido 2)	[] (pedido 2)	[] (pedido 2)	[3,3] (pedido 24)
Simetria estendida	[1 [6,3 1,1 ]] = [6,3,4]	[1 [3,4 1,1 ]] = [3,4,4]	[3 [4 1,1,1 ]] = [4,4,3]	[1 [3,3 [3] ]] = [3,3,6]	[1 [4,3 [3] ]] = [4,3,6]	[1 [5,3 [3] ]] = [5,3,6]	[1 [6,3 [3] ]] = [6,3,6]	[(3,3) [3 [3,3] ]] = [6,3,3]

Soluções racionais

Existem centenas de soluções racionais para a 3-esfera , incluindo estes 6 gráficos lineares que geram a polychora de Schläfli-Hess e 11 não lineares de Coxeter:

Ao todo, são 59 tetraedros esporáticos com ângulos racionais e 2 famílias infinitas.

Veja também

• Grupo de pontos para soluções n- simples na esfera ( n -1).

Referências

• Regular Polytopes , (3ª edição, 1973), Dover edition, ISBN   0-486-61480-8 (página 280, Goursat's tetrahedra) [1]
• Norman Johnson The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. (1966) Ele provou que a enumeração do tetraedro Goursat por Coxeter está completa
• Goursat, Edouard, Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 3, 6 (1889), (pp. 9-102, pp. 80-81 tetraedros)
• Klitzing, Richard. "Dynkin Diagrams Goursat tetrahedra" .
• Norman Johnson , Geometries and Transformations (2018), Capítulos 11, 12, 13
• NW Johnson , R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, The size of a hiperbólico Coxeter simplex , Transformation Groups 1999, Volume 4, Issue 4, pp 329-353 [2]