3 esferas - 3-sphere

Projeção estereográfica dos paralelos da hiperesfera (vermelho), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde). Como esta projeção é conforme , as curvas se cruzam ortogonalmente (nos pontos amarelos) como em 4D. Todas as curvas são círculos: as curvas que cruzam ⟨0,0,0,1⟩ têm raio infinito (= linha reta). Nesta imagem, todo o espaço 3D mapeia a superfície da hiperesfera, enquanto na imagem anterior o espaço 3D continha a sombra da hiperesfera em massa.

Projeção direta de 3 esferas no espaço 3D e coberto com grade de superfície, mostrando a estrutura como uma pilha de esferas 3D ( 2 esferas )

Em matemática , uma 3-esfera é um análogo de dimensão superior de uma esfera . Pode ser embutido no espaço euclidiano de 4 dimensões como o conjunto de pontos equidistantes de um ponto central fixo. Análogo a como o limite de uma bola em três dimensões é uma esfera comum (ou 2-esfera, uma superfície bidimensional ), o limite de uma bola em quatro dimensões é uma 3-esfera (um objeto com três dimensões ). Uma esfera 3 é um exemplo de uma variedade 3 e uma esfera n .

Definição

Em coordenadas , uma esfera 3 com centro ( C ₀ , C ₁ , C ₂ , C ₃ ) e raio r é o conjunto de todos os pontos ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) em real, 4-dimensional espaço ( R ⁴ ) de modo que

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {3} (x_ {i} -C_ {i}) ^ {2} = (x_ {0} -C_ {0}) ^ {2} + (x_ { 1} -C_ {1}) ^ {2} + (x_ {2} -C_ {2}) ^ {2} + (x_ {3} -C_ {3}) ^ {2} = r ^ {2} .}$

A 3-esfera centrada na origem com raio 1 é chamada de unidade 3-esfera e geralmente é denotada S ³ :

${\ displaystyle S ^ {3} = \ left \ {(x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ in \ mathbb {R} ^ {4}: x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 1 \ direita \}.}$

Muitas vezes é conveniente considerar R ⁴ como o espaço com 2 dimensões complexas ( C ² ) ou os quatérnios ( H ). A unidade 3-esfera é então dada por

${\ displaystyle S ^ {3} = \ left \ {(z_ {1}, z_ {2}) \ in \ mathbb {C} ^ {2}: | z_ {1} | ^ {2} + | z_ { 2} | ^ {2} = 1 \ direita \}}$

ou

${\ displaystyle S ^ {3} = \ left \ {q \ in \ mathbb {H}: \ | q \ | = 1 \ right \}.}$

Esta descrição como os quatérnions da norma um identifica a esfera 3 com os versores no anel de divisão do quaternion . Assim como o círculo unitário é importante para as coordenadas polares planas , a esfera 3 é importante na visão polar do espaço 4 envolvido na multiplicação do quatérnio. Veja a decomposição polar de um quatérnio para obter detalhes sobre o desenvolvimento da três esfera. Esta visão da 3-esfera é a base para o estudo do espaço elíptico desenvolvido por Georges Lemaître .

Propriedades

Propriedades elementares

O volume da superfície tridimensional de uma esfera 3 de raio r é

${\ displaystyle SV = 2 \ pi ^ {2} r ^ {3} \,}$

enquanto o hipervolume 4-dimensional (o conteúdo da região 4-dimensional limitada pela esfera 3) é

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2} r ^ {4}.}$

Cada interseção não vazia de uma esfera 3 com um hiperplano tridimensional é uma esfera 2 (a menos que o hiperplano seja tangente à esfera 3, caso em que a interseção é um único ponto). Conforme uma esfera 3 se move através de um hiperplano tridimensional dado, a interseção começa como um ponto, então se torna uma esfera 2 crescente que atinge seu tamanho máximo quando o hiperplano corta o "equador" da esfera 3. Em seguida, a 2-esfera encolhe novamente para um único ponto quando a 3-esfera deixa o hiperplano.

Propriedades topológicas

Uma esfera tridimensional é uma variedade tridimensional compacta , conectada , sem limites. Ele também está simplesmente conectado . O que isso significa, em um sentido amplo, é que qualquer loop, ou caminho circular, na 3-esfera pode ser continuamente reduzido a um ponto sem deixar a 3-esfera. A conjectura de Poincaré , comprovada em 2003 por Grigori Perelman , prevê que a 3-esfera é a única variedade tridimensional (até o homeomorfismo ) com essas propriedades.

A esfera 3 é homeomórfica à compactação de um ponto de R ³ . Em geral, qualquer espaço topológico que seja homeomórfico à 3-esfera é chamado de 3-esfera topológica .

Os grupos de homologia da esfera 3 são os seguintes: H ₀ (S ³ , Z ) e H ₃ (S ³ , Z ) são ambos cíclicos infinitos , enquanto H _i (S ³ , Z ) = {0} para todos os outros índices i . Qualquer espaço topológico com esses grupos de homologia é conhecido como 3-esfera de homologia . Inicialmente Poincaré conjeturou que todas as esferas de homologia 3 são homeomórficas a S ³ , mas então ele próprio construiu uma não homeomórfica, agora conhecida como esfera de homologia de Poincaré . Sabe-se agora que existem infinitas esferas de homologia. Por exemplo, um enchimento Dehn com declive 1/nem qualquer nó na esfera 3 dá uma esfera de homologia; normalmente estes não são homeomórficos à esfera 3.

Quanto aos grupos de homotopia , temos π ₁ (S ³ ) = π ₂ (S ³ ) = {0} e π ₃ (S ³ ) é cíclico infinito. Os grupos de alta homotopia ( k ≥ 4 ) são todos abelianos finitos, mas de outra forma não seguem nenhum padrão discernível. Para mais discussão veja grupos de esferas de homotopia .

Propriedades geométricas

A 3-esfera é naturalmente uma variedade lisa ; na verdade, uma subvariedade incorporada fechada de R ⁴ . A métrica euclidiana em R ⁴ induz uma métrica na esfera 3 dando-lhe a estrutura de uma variedade Riemanniana . Tal como acontece com todas as esferas, a 3-esfera tem curvatura seccional positiva constante igual a1/r ²onde r é o raio.

Muito da geometria interessante da 3-esfera deriva do fato de que a 3-esfera tem uma estrutura de grupo de Lie natural dada pela multiplicação de quaternion (veja a seção abaixo sobre estrutura de grupo ). As únicas outras esferas com tal estrutura são a esfera 0 e a esfera 1 (consulte o grupo círculo ).

Ao contrário da 2-esfera, a 3-esfera admite campos de vetores que não se apagam ( seções de seu feixe tangente ). Pode-se até encontrar três campos vetoriais linearmente independentes e que não se apagam. Estes podem ser considerados quaisquer campos vetoriais invariantes à esquerda formando uma base para a álgebra de Lie da esfera 3. Isso implica que a esfera 3 é paralelizável . Conclui-se que o feixe tangente da esfera 3 é trivial . Para uma discussão geral sobre o número de campos de vetor lineares independentes em uma esfera n , consulte o artigo campos de vetor em esferas .

Há uma ação interessante do grupo de círculos T em S ³ dando à 3-esfera a estrutura de um feixe de círculo principal conhecido como feixe de Hopf . Se alguém pensa em S ³ como um subconjunto de C ² , a ação é dada por

${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}) \ cdot \ lambda = (z_ {1} \ lambda, z_ {2} \ lambda) \ quad \ forall \ lambda \ in \ mathbb {T}}$.

O espaço orbital desta ação é homeomórfico às duas esferas S ² . Como S ³ não é homeomórfico a S ² × S ¹ , o feixe de Hopf não é trivial.

Construção topológica

Existem várias construções bem conhecidas das três esferas. Aqui, descrevemos a colagem de um par de três bolas e, em seguida, a compactação de um ponto.

Colagem

A 3-esfera pode ser construído topologicamente por "colagem" junto das fronteiras de um par de 3- bolas . O limite de uma bola 3 é uma esfera 2, e essas duas esferas 2 devem ser identificadas. Ou seja, imagine um par de 3 bolas do mesmo tamanho e, em seguida, sobreponha-as de modo que seus limites 2 esféricos coincidam e deixe os pares de pontos correspondentes no par de 2 esferas serem idênticos entre si. Em analogia com o caso da esfera 2 (veja abaixo), a superfície de colagem é chamada de esfera equatorial.

Observe que os interiores das 3 bolas não estão colados uns aos outros. Uma maneira de pensar na quarta dimensão é como uma função contínua de valor real das coordenadas tridimensionais da esfera tridimensional, talvez considerada "temperatura". Pegamos a "temperatura" como zero ao longo da 2 esferas de colagem e deixamos uma das 3 esferas estar "quente" e a outra 3 esferas "fria". A bola 3 "quente" pode ser considerada o "hemisfério superior" e a bola 3 "fria" pode ser considerada o "hemisfério inferior". A temperatura é mais alta / mais baixa nos centros das duas 3 esferas.

Esta construção é análoga à construção de uma esfera 2, realizada colando os limites de um par de discos. Um disco é uma bola 2 e o limite de um disco é um círculo (uma esfera 1). Seja um par de discos do mesmo diâmetro. Sobreponha-os e cole os pontos correspondentes em seus limites. Novamente, pode-se pensar na terceira dimensão como temperatura. Da mesma forma, podemos inflar a esfera 2, movendo o par de discos para se tornarem os hemisférios norte e sul.

Compactação de um ponto

Depois de remover um único ponto da esfera 2, o que resta é homeomórfico ao plano euclidiano. Da mesma forma, remover um único ponto da esfera tridimensional produz um espaço tridimensional. Uma maneira extremamente útil de ver isso é por meio da projeção estereográfica . Descrevemos primeiro a versão dimensional inferior.

Apoie o pólo sul de uma unidade 2-esfera no plano xy no espaço tridimensional. Mapeamos um ponto P da esfera (menos o pólo norte N ) para o plano enviando P para a intersecção da linha NP com o plano. A projeção estereográfica de uma esfera 3 (removendo novamente o pólo norte) mapeia para o espaço tridimensional da mesma maneira. (Observe que, como a projeção estereográfica é conforme , as esferas redondas são enviadas para esferas redondas ou planos.)

Uma maneira um pouco diferente de pensar na compactação de um ponto é por meio do mapa exponencial . Voltando à nossa imagem da unidade de duas esferas sentada no plano euclidiano: Considere uma geodésica no plano, baseada na origem, e mapeie-a para uma geodésica nas duas esferas do mesmo comprimento, baseada no pólo sul. Sob este mapa, todos os pontos do círculo de raio π são enviados para o pólo norte. Uma vez que o disco da unidade aberta é homeomórfico ao plano euclidiano, esta é novamente uma compactação de um ponto.

O mapa exponencial para 3 esferas é construído de forma semelhante; também pode ser discutido usando o fato de que a esfera 3 é o grupo de Lie de quatérnios unitários.

Sistemas de coordenadas na esfera 3

As quatro coordenadas euclidianas para S ³ são redundantes, pois estão sujeitas à condição de que x ₀ ² + x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² = 1 . Como uma variedade tridimensional, deve-se ser capaz de parametrizar S ³ por três coordenadas, assim como se pode parametrizar a esfera 2 usando duas coordenadas (como latitude e longitude ). Devido à topologia não trivial de S ³ , é impossível encontrar um único conjunto de coordenadas que cubra todo o espaço. Assim como na esfera 2, deve-se usar pelo menos dois gráficos de coordenadas . Algumas opções diferentes de coordenadas são fornecidas abaixo.

Coordenadas hiperesféricas

É conveniente ter algum tipo de coordenadas hiperesféricas em S ³ em analogia às coordenadas esféricas usuais em S ² . Uma dessas opções - de forma alguma exclusiva - é usar ( ψ , θ , φ ) , onde

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} x_ {0} & = r \ cos \ psi \\ x_ {1} & = r \ sin \ psi \ cos \ theta \\ x_ {2} & = r \ sin \ psi \ sin \ theta \ cos \ varphi \\ x_ {3} & = r \ sin \ psi \ sin \ theta \ sin \ varphi \ end {alinhado}}}$

onde ψ e θ estão no intervalo de 0 a π , e φ está no intervalo de 0 a 2 π . Observe que, para qualquer valor fixo de ψ , θ e φ parametrizar uma esfera 2 de raio r sen ψ , exceto para os casos degenerados, quando ψ é igual a 0 ou π , caso em que descrevem um ponto.

A métrica redonda na esfera 3 nestas coordenadas é dada por

${\ displaystyle ds ^ {2} = r ^ {2} \ left [d \ psi ^ {2} + \ sin ^ {2} \ psi \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2} \ right) \ right]}$

e a forma de volume por

${\ displaystyle dV = r ^ {3} \ left (\ sin ^ {2} \ psi \, \ sin \ theta \ right) \, d \ psi \ wedge d \ theta \ wedge d \ varphi.}$

Essas coordenadas têm uma descrição elegante em termos de quatérnios . Qualquer unidade quatérnion q pode ser escrita como um versor :

${\ displaystyle q = e ^ {\ tau \ psi} = \ cos \ psi + \ tau \ sin \ psi}$

onde τ é um quaternion imaginário unitário ; ou seja, um quatérnion que satisfaz τ ² = −1 . Este é o análogo quaterniônico da fórmula de Euler . Agora, os quatérnios imaginários unitários estão todos na esfera 2 unitária em Im H, então qualquer um desses τ pode ser escrito:

${\ displaystyle \ tau = (\ cos \ theta) i + (\ sin \ theta \ cos \ varphi) j + (\ sin \ theta \ sin \ varphi) k}$

Com τ nesta forma, o quatérnio unitário q é dado por

${\ displaystyle q = e ^ {\ tau \ psi} = x_ {0} + x_ {1} i + x_ {2} j + x_ {3} k}$

onde x _0,1,2,3 são como acima.

Quando q é usado para descrever rotações espaciais (cf. quatérnios e rotações espaciais ), ele descreve uma rotação em torno de τ através de um ângulo de 2 ψ .

Coordenadas de Hopf

A fibração de Hopf pode ser visualizada usando uma projeção estereográfica de S ³ a R ³ e, em seguida, comprimindo R ³ em uma bola. Esta imagem mostra pontos em S ² e suas fibras correspondentes com a mesma cor.

Para raio de unidade, outra escolha de coordenadas hiperesféricas, ( η , ξ ₁ , ξ ₂ ) , faz uso da incorporação de S ³ em C ² . Em coordenadas complexas ( z ₁ , z ₂ ) ∈ C ² escrevemos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} z_ {1} & = e ^ {i \, \ xi _ {1}} \ sin \ eta \\ z_ {2} & = e ^ {i \, \ xi _ { 2}} \ cos \ eta. \ End {alinhado}}}$

Isso também pode ser expresso em R ⁴ como

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} x_ {0} & = \ cos \ xi _ {1} \ sin \ eta \\ x_ {1} & = \ sin \ xi _ {1} \ sin \ eta \\ x_ {2} & = \ cos \ xi _ {2} \ cos \ eta \\ x_ {3} & = \ sin \ xi _ {2} \ cos \ eta. \ End {alinhado}}}$

Aqui, η está no intervalo de 0 aπ/2, e ξ ₁ e ξ ₂ podem assumir quaisquer valores entre 0 e 2 π . Essas coordenadas são úteis na descrição da esfera 3 como o feixe de Hopf

${\ displaystyle S ^ {1} \ a S ^ {3} \ a S ^ {2}. \,}$

Um diagrama que representa a direção poloidal ( ξ ₁ ), representada pela seta vermelha, e a direção toroidal ( ξ ₂ ), representada pela seta azul, embora os termos poloidal e toroidal sejam arbitrários neste caso de toro plano .

Para qualquer valor fixo de η entre 0 eπ/2, as coordenadas ( ξ ₁ , ξ ₂ ) parametrizam um toro bidimensional . Os anéis de constante ξ ₁ e ξ ₂ acima formam grades ortogonais simples no tori. Veja a imagem à direita. Nos casos degenerados, quando η é igual a 0 ouπ/2, essas coordenadas descrevem um círculo .

A métrica redonda na esfera 3 nestas coordenadas é dada por

${\ displaystyle ds ^ {2} = d \ eta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ eta \, d \ xi _ {1} ^ {2} + \ cos ^ {2} \ eta \, d \ xi _ {2} ^ {2}}$

e a forma de volume por

${\ displaystyle dV = \ sin \ eta \ cos \ eta \, d \ eta \ wedge d \ xi _ {1} \ wedge d \ xi _ {2}.}$

Para obter os círculos interligados da fibração de Hopf , faça uma substituição simples nas equações acima

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} z_ {1} & = e ^ {i \, (\ xi _ {1} + \ xi _ {2})} \ sin \ eta \\ z_ {2} & = e ^ {i \, (\ xi _ {2} - \ xi _ {1})} \ cos \ eta. \ end {alinhado}}}$

Nesse caso , η e ξ ₁ especificam qual círculo e ξ ₂ especifica a posição ao longo de cada círculo. Uma viagem de ida e volta (0 a 2 π ) de ξ ₁ ou ξ ₂ equivale a uma viagem de ida e volta do toro nas 2 direções respectivas.

Coordenadas estereográficas

Outro conjunto conveniente de coordenadas pode ser obtido por meio da projeção estereográfica de S ³ de um pólo para o hiperplano R ³ equatorial correspondente . Por exemplo, se projetarmos do ponto (−1, 0, 0, 0) , podemos escrever um ponto p em S ³ como

${\ displaystyle p = \ left ({\ frac {1- \ | u \ | ^ {2}} {1+ \ | u \ | ^ {2}}}, {\ frac {2 \ mathbf {u}} {1+ \ | u \ | ^ {2}}} \ right) = {\ frac {1+ \ mathbf {u}} {1- \ mathbf {u}}}}$

onde u = ( u ₁ , u ₂ , u ₃ ) é um vetor em R ³ e || vc || ² = u ₁ ² + u ₂ ² + u ₃ ² . Na segunda igualdade acima, identificamos p com uma unidade de quatérnio e u = u ₁ i + u ₂ j + u ₃ k com um quatérnio puro. (Observe que o numerador e o denominador comutam aqui, embora a multiplicação quaterniônica seja geralmente não comutativa). O inverso deste mapa leva p = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) em S ³ para

${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {1} {1 + x_ {0}}} \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ right).}$

Poderíamos muito bem ter projetado do ponto (1, 0, 0, 0) , caso em que o ponto p é dado por

${\ displaystyle p = \ left ({\ frac {-1+ \ | v \ | ^ {2}} {1+ \ | v \ | ^ {2}}}, {\ frac {2 \ mathbf {v} } {1+ \ | v \ | ^ {2}}} \ right) = {\ frac {-1+ \ mathbf {v}} {1+ \ mathbf {v}}}}$

onde v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) é outro vetor em R ³ . O inverso deste mapa leva p para

${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {1} {1-x_ {0}}} \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ right).}$

Observe que as coordenadas u são definidas em todos os lugares, exceto (-1, 0, 0, 0) e as coordenadas v em todos os lugares, exceto (1, 0, 0, 0) . Isso define um atlas em S ^{3 que} consiste em dois gráficos de coordenadas ou "remendos", que juntos cobrem todos os S ³ . Observe que a função de transição entre esses dois gráficos em sua sobreposição é dada por

${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {1} {\ | u \ | ^ {2}}} \ mathbf {u}}$

e vice versa.

Estrutura de grupo

Quando considerado como o conjunto de quatérnios unitários , S ³ herda uma estrutura importante, a saber, a da multiplicação quaterniônica. Como o conjunto de quatérnios unitários é fechado sob multiplicação, S ³ assume a estrutura de um grupo . Além disso, como a multiplicação quaterniônica é suave , S ³ pode ser considerado um grupo de Lie real . É um não- abelianos , compacto grupo de Lie de dimensão 3. Quando pensado como um grupo de Lie S ³ é frequentemente denotado Sp (1) ou de L (1, H ) .

Acontece que as únicas esferas que admitem uma estrutura de grupo de Lie são S ¹ , pensado como o conjunto de números complexos unitários , e S ³ , o conjunto de quatérnions unitários (O caso degenerado S ⁰ que consiste nos números reais 1 e -1 também é um grupo de Lie, embora seja 0-dimensional). Pode-se pensar que S ⁷ , o conjunto de octonions unitário , formaria um grupo de Lie, mas isso falha, pois a multiplicação de octonions é não associativa . A estrutura octoniônica dá a S ⁷ uma propriedade importante: paralelizabilidade . Acontece que as únicas esferas que podem ser paralelizáveis ​​são S ¹ , S ³ e S ⁷ .

Usando uma representação matricial dos quatérnios, H , obtém-se uma representação matricial de S ³ . Uma escolha conveniente é dada pelas matrizes de Pauli :

${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} i + x_ {3} j + x_ {4} k \ mapsto {\ begin {pmatrix} \; \; \, x_ {1} + ix_ {2} & x_ { 3} + ix_ {4} \\ - x_ {3} + ix_ {4} & x_ {1} -ix_ {2} \ end {pmatriz}}.}$

Este mapa fornece um homomorfismo de álgebra injetiva de H para o conjunto de matrizes complexas 2 × 2. Tem a propriedade de que o valor absoluto de um quatérnio q é igual à raiz quadrada do determinante da imagem da matriz de q .

O conjunto de quatérnions unitários é então dado por matrizes da forma acima com determinante unitário. Este subgrupo da matriz é precisamente o grupo unitário especial SU (2) . Assim, S ³ como um grupo de Lie é isomorfo a SU (2) .

Usando nossas coordenadas de Hopf ( η , ξ ₁ , ξ ₂ ) podemos escrever qualquer elemento de SU (2) na forma

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} e ^ {i \, \ xi _ {1}} \ sin \ eta & e ^ {i \, \ xi _ {2}} \ cos \ eta \\ - e ^ {- i \, \ xi _ {2}} \ cos \ eta & e ^ {- i \, \ xi _ {1}} \ sin \ eta \ end {pmatriz}}.}$

Outra forma de afirmar esse resultado é expressarmos a representação matricial de um elemento de SU (2) como um exponencial de uma combinação linear das matrizes de Pauli. É visto que um elemento arbitrário U ∈ SU (2) pode ser escrito como

${\ displaystyle U = exp \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {3} \ alpha _ {i} J_ {i} \ right).}$

A condição de que o determinante de U seja +1 implica que os coeficientes α ₁ são restritos a se situarem em uma esfera 3.

Na literatura

Em Edwin Abbott Abbott 's Terraplana , publicado em 1884, e em Sphereland , uma sequela de 1965 Terraplana por Dionys Burger , o 3-esfera é referido como um oversphere , e um 4-esfera é referido como um hiperesfera .

Escrevendo no American Journal of Physics , Mark A. Peterson descreve três maneiras diferentes de visualizar as 3 esferas e aponta a linguagem em A Divina Comédia que sugere que Dante via o Universo da mesma maneira; Carlo Rovelli defende a mesma ideia.

Em Art Meets Mathematics in the Fourth Dimension , Stephen L. Lipscomb desenvolve o conceito das dimensões da hiperesfera no que se refere à arte, arquitetura e matemática.

Veja também

• 1-esfera , 2-esfera , n -sphere
• tesseract , polychoron , simplex
• Matrizes de Pauli
• grupo de rotação SO (3)
  • gráficos em SO (3)
  • quatérnions e rotações espaciais
• Pacote de Hopf , esfera de Riemann
• Esfera de Poincaré
• Foliação Reeb
• Clifford torus

Referências

• David W. Henderson , Experiencing Geometry: In Euclidean, Spherical, and Hyperbolic Spaces, second edition , 2001, [1] (Capítulo 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces.)
• Jeffrey R. Weeks , The Shape of Space: How to Visualize Surfaces and Three-dimensional Manifolds , 1985, ( [2] ) (Capítulo 14: The Hypersphere) (Says: A Warning on terminology: Our two-sphere is defined in three espaço-dimensional, onde é o limite de uma bola tridimensional. Essa terminologia é padrão entre os matemáticos, mas não entre os físicos. Portanto, não se surpreenda se você encontrar pessoas chamando as duas esferas de três esferas. )
• Zamboj, Michal (8 de janeiro de 2021). "Construção sintética da fibração de Hopf na projeção ortogonal dupla do espaço 4". arXiv : 2003.09236v2 [ math.HO ].

links externos

• Weisstein, Eric W. "Hypersphere" . MathWorld . Observação : este artigo usa o esquema de nomenclatura alternativo para esferas nas quais uma esfera no espaço n- dimensional é denominada n -sfera.