Transformada de Hartley - Hartley transform

Em matemática , a transformada de Hartley ( HT ) é uma transformada integral intimamente relacionada à transformada de Fourier (FT), mas que transforma funções de valor real em funções de valor real. Foi proposta como uma alternativa à transformada de Fourier por Ralph VL Hartley em 1942 e é uma das muitas transformadas relacionadas de Fourier conhecidas . Em comparação com a transformada de Fourier, a transformada de Hartley tem as vantagens de transformar reais funções para funções reais (em oposição à exigência de números complexos ) e de ser a sua própria inversa.

A versão discreta da transformada, a transformada discreta de Hartley (DHT), foi introduzida por Ronald N. Bracewell em 1983.

A transformada de Hartley bidimensional pode ser calculada por um processo óptico analógico semelhante a uma transformada óptica de Fourier (OFT), com a vantagem proposta de que apenas sua amplitude e sinal precisam ser determinados, em vez de sua fase complexa. No entanto, as transformadas ópticas de Hartley não parecem ter sido amplamente utilizadas.

Definição

A transformada de Hartley de uma função é definida por: ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\operatorname {cas} (\omega t)\,\mathrm {d} t,}$

onde pode, nas aplicações, ser uma frequência angular e ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \operatorname {cas} (t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)}$

é o cosseno e seno (cas) ou kernel de Hartley . Em termos de engenharia, essa transformada leva um sinal (função) do domínio do tempo para o domínio espectral de Hartley (domínio da frequência).

Transformada inversa

A transformada de Hartley tem a propriedade conveniente de ser seu próprio inverso (uma involução ):

${\displaystyle f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}.}$

Convenções

O acima está de acordo com a definição original de Hartley, mas (como com a transformada de Fourier) vários detalhes menores são questões de convenção e podem ser alterados sem alterar as propriedades essenciais:

• Em vez de usar a mesma transformação para direta e inversa, pode-se remover o da transformação direta e usar para a inversa - ou, de fato, qualquer par de normalizações cujo produto seja . (Essas normalizações assimétricas às vezes são encontradas em contextos puramente matemáticos e de engenharia.)${\displaystyle {1}/{\sqrt {2\pi }}}$${\displaystyle {1}/{2\pi }}$${\displaystyle {1}/{2\pi }}$
• Também se pode usar em vez de (isto é, frequência em vez de frequência angular), caso em que o coeficiente é totalmente omitido.${\displaystyle 2\pi \nu t}$${\displaystyle \omega t}$${\displaystyle {1}/{\sqrt {2\pi }}}$
• Pode-se usar em vez de como o kernel.${\displaystyle \cos -\sin }$${\displaystyle \cos +\sin }$

Relação com a transformada de Fourier

Essa transformação difere da clássica transformada de Fourier na escolha do kernel. Na transformada de Fourier, temos o kernel exponencial: onde está a unidade imaginária . ${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}(\omega )}$${\displaystyle \exp \left({-\mathrm {i} \omega t}\right)=\cos(\omega t)-\mathrm {i} \sin(\omega t),}$${\displaystyle \mathrm {i} }$

As duas transformações estão intimamente relacionadas, no entanto, e a transformada de Fourier (assumindo que usa a mesma convenção de normalização) pode ser calculada a partir da transformada de Hartley via: ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-\mathrm {i} {\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}.}$

Ou seja, as partes reais e imaginárias da transformada de Fourier são simplesmente dadas pelas partes pares e ímpares da transformada de Hartley, respectivamente.

Por outro lado, para funções de valor real f ( t ), a transformada de Hartley é dada a partir das partes reais e imaginárias da transformada de Fourier:

${\displaystyle \{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1+\mathrm {i} )\}}$

onde e denotam as partes reais e imaginárias. ${\displaystyle \Re }$${\displaystyle \Im }$

Propriedades

A transformada de Hartley é um operador linear real e é simétrica (e Hermitiana ). Das propriedades simétricas e autoinversas, segue-se que a transformada é um operador unitário (na verdade, ortogonal ).

Há também um análogo do teorema de convolução para a transformada de Hartley. Se duas funções e têm transformadas de Hartley e , respectivamente, sua convolução tem a transformada de Hartley: ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle X(\omega )}$${\displaystyle Y(\omega )}$ ${\displaystyle z(t)=x*y}$

${\displaystyle Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega )\left[Y(\omega )+Y(-\omega )\right]+X(-\omega )\left[Y(\omega )-Y(-\omega )\right]\right)/2.}$

Semelhante à transformada de Fourier, a transformada de Hartley de uma função par / ímpar é par / ímpar, respectivamente.

cas

As propriedades do kernel de Hartley , para o qual Hartley introduziu o nome cas para a função (de cosseno e seno ) em 1942, seguem diretamente da trigonometria e sua definição como uma função trigonométrica de fase deslocada . Por exemplo, ele tem uma identidade de adição de ângulo de: ${\displaystyle \operatorname {cas} (t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)=\sin(t)+\cos(t)}$

${\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).}$

Além disso:

${\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)}$

e sua derivada é dada por:

${\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {d}{da}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).}$

Veja também

• cis (matemática)
• Transformada fracionária de Fourier

Referências

• Bracewell, Ronald N. (1986). Escrito em Stanford, Califórnia, EUA. A transformação de Hartley . Oxford Engineering Science Series. 19 (1 ed.). Nova York, NY, EUA: Oxford University Press, Inc. ISBN 0-19-503969-6. (NB. Também traduzido para alemão e russo.)
• Bracewell, Ronald N. (1994). "Aspectos da transformada de Hartley". Atas do IEEE . 82 (3): 381–387. doi : 10.1109 / 5.272142 .
• Millane, Rick P. (1994). "Propriedades analíticas da transformada de Hartley". Atas do IEEE . 82 (3): 413–428. doi : 10.1109 / 5.272146 .

Leitura adicional

• Olnejniczak, Kraig J .; Heydt, Gerald T., eds. (Março de 1994). "Digitalizando a seção especial na transformada de Hartley" . Edição especial sobre transformada de Hartley . Atas do IEEE . 82 . pp. 372–380 . Página visitada em 2017-10-31 . (NB. Contém bibliografia extensa.)