Número hexagonal - Hexagonal number

Prova sem palavras de que um número hexagonal pode ser reorganizado como números retangulares e triangulares

Um número hexagonal é um número figurado . O n º número hexagonal h _n é o número de distintos pontos em um padrão de pontos que consistem nos contornos de hexágonos regulares com lados até n pontos, quando os hexágonos são sobrepostas de modo que eles compartilham um vértice .

A fórmula para o n th número hexagonal

${\ displaystyle h_ {n} = 2n ^ {2} -n = n (2n-1) = {\ frac {2n (2n-1)} {2}}.}$

Os primeiros poucos números hexagonais (sequência A000384 no OEIS ) são:

1 , 6 , 15 , 28 , 45 , 66 , 91 , 120 , 153 , 190 , 231, 276, 325, 378, 435, 496 , 561 , 630, 703, 780, 861, 946 ...

Cada número hexagonal é um número triangular , mas apenas todos os outros números triangulares (o 1o, 3o, 5o, 7o, etc.) é um número hexagonal. Como um número triangular, a raiz digital na base 10 de um número hexagonal só pode ser 1, 3, 6 ou 9. O padrão de raiz digital, repetindo a cada nove termos, é "1 6 6 1 9 3 1 3 9".

Todo número perfeito par é hexagonal, dado pela fórmula

${\ displaystyle M_ {p} 2 ^ {p-1} = M_ {p} {\ frac {M_ {p} +1} {2}} = h _ {(M_ {p} +1) / 2} = h_ {2 ^ {p-1}}}$

onde M _p é um primo de Mersenne . Nenhum número perfeito ímpar é conhecido, portanto, todos os números perfeitos conhecidos são hexagonais.

Por exemplo, o segundo número hexagonal é 2 × 3 = 6; o 4º é 4 × 7 = 28; o 16º é 16 × 31 = 496; e o 64º é 64 × 127 = 8128.

O maior número que não pode ser escrito como uma soma de no máximo quatro números hexagonais é 130 . Adrien-Marie Legendre provou em 1830 que qualquer número inteiro maior que 1791 pode ser expresso dessa forma.

Os números hexagonais não devem ser confundidos com os números hexagonais centrados , que modelam a embalagem padrão das salsichas Vienna . Para evitar ambigüidade, os números hexagonais às vezes são chamados de "números hexagonais com cantos".

Teste para números hexagonais

Pode-se testar de forma eficiente se um inteiro positivo x é um número hexagonal computando

${\ displaystyle n = {\ frac {{\ sqrt {8x + 1}} + 1} {4}}.}$

Se n é um número inteiro, então x é o n th número hexagonal. Se n não for um inteiro, então x não é hexagonal.

Outras propriedades

Expressão usando notação sigma

O N ° número da sequência hexagonal também pode ser expressa usando a notação Sigma quanto

${\ displaystyle h_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {(4k + 1)}}$

onde a soma vazia é considerada 0.

Soma dos números hexagonais recíprocos

A soma dos números hexagonais recíprocos é 2ln (2) , onde ln denota o logaritmo natural .

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k (2k-1)}} & = \ lim _ {n \ to \ infty} 2 \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2k-1}} - {\ frac {1} {2k}} \ right) \\ & = \ lim _ {n \ to \ infty} 2 \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2k-1}} + {\ frac {1} {2k}} - {\ frac {1 } {k}} \ right) \\ & = 2 \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {2n} {\ frac {1} {k}} - \ soma _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \ direita) \\ & = 2 \ lim _ {n \ a \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {n } {\ frac {1} {n + k}} \\ & = 2 \ lim _ {n \ a \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {1 + {\ frac {k} {n}}}} \\ & = 2 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {1 + x}} dx \ \ & = 2 [\ ln (1 + x)] _ {0} ^ {1} \\ & = 2 \ ln {2} \\ & \ approx {1.386294} \ end {alinhado}}}$

Multiplicando o índice

Usando o rearranjo, o próximo conjunto de fórmulas é fornecido:

${\ displaystyle h_ {2n} = 4h_ {n} + 2n}$

${\ displaystyle h_ {3n} = 9h_ {n} + 6n}$

${\ displaystyle ...}$

${\ displaystyle h_ {m * n} = m ^ {2} h_ {n} + (m ^ {2} -m) n}$

Relação de proporção

Usando a fórmula final anterior em relação a m e então n, e então alguma redução e movimentação, pode-se chegar à seguinte equação:

${\ displaystyle {\ frac {h_ {m} + m} {h_ {n} + n}} = ({\ frac {m} {n}}) ^ {2}}$

Número Hexagonal Quadrado

A sequência de números que são hexagonais e quadrados perfeitos começa em 1, 1225, 1413721, ... OEIS :  A046177 .

Veja também

• Número hexagonal centrado

links externos

• Weisstein, Eric W. "Hexagonal Number" . MathWorld .