Número Knudsen - Knudsen number

O número de Knudsen ( Kn ) é um número adimensional definido como a razão entre o comprimento do caminho livre médio molecular e uma escala de comprimento física representativa . Essa escala de comprimento pode ser, por exemplo, o raio de um corpo em um fluido. O número é uma homenagem ao físico dinamarquês Martin Knudsen (1871–1949).

O número de Knudsen ajuda a determinar se a mecânica estatística ou a formulação da mecânica contínua da dinâmica dos fluidos deve ser usada para modelar uma situação. Se o número de Knudsen for próximo ou maior que um, o caminho livre médio de uma molécula é comparável a uma escala de comprimento do problema, e a suposição do contínuo da mecânica dos fluidos não é mais uma boa aproximação. Nesses casos, métodos estatísticos devem ser usados.

Definição

O número de Knudsen é um número adimensional definido como

${\ displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {\ lambda} {L}},}$

Onde

${\ displaystyle \ lambda}$= caminho livre médio [L ¹ ],

${\ displaystyle L}$= escala de comprimento física representativa [L ¹ ].

A escala de comprimento representativa considerada, pode corresponder a várias características físicas de um sistema, mas mais comumente se refere a um comprimento de lacuna ao longo do qual o transporte térmico ou de massa ocorre através de uma fase gasosa. Esse é o caso de materiais porosos e granulares, onde o transporte térmico através de uma fase gasosa depende muito de sua pressão e do conseqüente caminho livre médio das moléculas nesta fase. Para um gás Boltzmann , o caminho livre médio pode ser facilmente calculado, de modo que ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {k _ {\ text {B}} T} {{\ sqrt {2}} \ pi d ^ {2} pL}},}$

Onde

${\ displaystyle k _ {\ text {B}}}$é a constante de Boltzmann (1,380649 × 10 ⁻²³ J / K em unidades SI ) [M ¹ L ² T ⁻² Θ ⁻¹ ],

${\ displaystyle T}$é a temperatura termodinâmica [θ ¹ ],

${\ displaystyle d}$é o diâmetro da casca dura da partícula [L ¹ ],

${\ displaystyle p}$é a pressão total [M ¹ L ⁻¹ T ⁻² ].

Para a dinâmica de partículas na atmosfera , e assumindo temperatura e pressão padrão , ou seja, 0 ° C e 1 atm, temos ≈${\ displaystyle \ lambda}$8 × 10 ^-8  m (80 nm).

Relação com os números de Mach e Reynolds em gases

O número Knudsen pode ser relacionado ao número Mach e ao número Reynolds .

Usando a viscosidade dinâmica

${\ displaystyle \ mu = {\ frac {1} {2}} \ rho {\ bar {c}} \ lambda,}$

com a velocidade média da molécula (da distribuição de Maxwell-Boltzmann )

${\ displaystyle {\ bar {c}} = {\ sqrt {\ frac {8k _ {\ text {B}} T} {\ pi m}}},}$

o caminho livre médio é determinado da seguinte forma:

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ mu} {\ rho}} {\ sqrt {\ frac {\ pi k _ {\ text {B}} T} {2m}}}.}$

Dividindo por L (algum comprimento característico), o número de Knudsen é obtido:

${\ displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {\ lambda} {L}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {\ pi k _ {\ text {B }} T} {2m}}},}$

Onde

${\ displaystyle {\ bar {c}}}$é a velocidade molecular média da distribuição de Maxwell-Boltzmann [L ¹ T ⁻¹ ],

T é a temperatura termodinâmica [θ ¹ ],

μ é a viscosidade dinâmica [M ¹ L ⁻¹ T ⁻¹ ],

m é a massa molecular [M ¹ ],

k _B é a constante de Boltzmann [M ¹ L ² T ⁻² θ ⁻¹ ],

ρ é a densidade [M ¹ L ⁻³ ].

O número de Mach adimensional pode ser escrito como

${\ displaystyle \ mathrm {Ma} = {\ frac {U _ {\ infty}} {c _ {\ text {s}}}},}$

onde a velocidade do som é dada por

${\ displaystyle c _ {\ text {s}} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma RT} {M}}} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma k _ {\ text {B}} T} {m }}},}$

Onde

U _∞ é a velocidade de fluxo livre [L ¹ T ⁻¹ ],

R é a constante de gás universal (em SI , 8,314 47215 JK ⁻¹ mol ⁻¹ ) [M ¹ L ² T ⁻² θ ⁻¹ mol ⁻¹ ],

M é a massa molar [M ¹ mol ⁻¹ ],

${\ displaystyle \ gamma}$é a proporção de calores específicos [1].

O número de Reynolds adimensional pode ser escrito como

${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho U _ {\ infty} L} {\ mu}}.}$

Dividindo o número Mach pelo número Reynolds:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {Ma}} {\ mathrm {Re}}} = {\ frac {U _ {\ infty} / c _ {\ text {s}}} {\ rho U _ {\ infty} L / \ mu}} = {\ frac {\ mu} {\ rho Lc _ {\ text {s}}}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L {\ sqrt {\ frac {\ gamma k _ {\ texto {B}} T} {m}}}}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {m} {\ gamma k _ {\ text {B}} T} }}}$

e multiplicando por produz o número de Knudsen: ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ gamma \ pi} {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {m} {\ gamma k _ {\ text {B}} T}}} {\ sqrt {\ frac {\ gamma \ pi} {2}}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {\ pi m} {2k _ {\ text {B}} T}}} = \ mathrm {Kn }.}$

Os números de Mach, Reynolds e Knudsen são, portanto, relacionados por

${\ displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {\ mathrm {Ma}} {\ mathrm {Re}}} {\ sqrt {\ frac {\ gamma \ pi} {2}}}.}$

Aplicativo

O número de Knudsen pode ser usado para determinar a rarefação de um fluxo:

• ${\ displaystyle \ mathrm {Kn} <0,01}$: Fluxo contínuo
• ${\ displaystyle 0,01 <\ mathrm {Kn} <0,1}$: Fluxo de deslizamento
• ${\ displaystyle 0,1 <\ mathrm {Kn} <10}$: Fluxo de transição
• ${\ displaystyle \ mathrm {Kn}> 10}$: Fluxo molecular livre

Esta classificação de regime é empírica e dependente do problema, mas tem se mostrado útil para modelar fluxos de maneira adequada.

Os problemas com números elevados de Knudsen incluem o cálculo do movimento de uma partícula de poeira na baixa atmosfera e o movimento de um satélite na exosfera . Uma das aplicações mais amplamente utilizadas para o número de Knudsen é em microfluídica e design de dispositivo MEMS , onde os fluxos variam de contínuo a molecular livre. Movimentos de fluidos em situações com alto número de Knudsen exibem fluxo Knudsen , também chamado de fluxo molecular livre .

O fluxo de ar em torno de uma aeronave , como um avião comercial, tem um número de Knudsen baixo, tornando-o firmemente no reino da mecânica contínua. Usando o número de Knudsen, um ajuste para a lei de Stokes pode ser usado no fator de correção de Cunningham , esta é uma correção da força de arrasto devido ao deslizamento em pequenas partículas (ou seja, d _p  <5 μm). O fluxo de água através de um bico normalmente será uma situação com um número de Knudsen baixo.

Misturas de gases com diferentes massas moleculares podem ser parcialmente separadas enviando a mistura através de pequenos orifícios de uma parede fina, porque o número de moléculas que passam por um orifício é proporcional à pressão do gás e inversamente proporcional à sua massa molecular. A técnica tem sido usada para separar misturas isotópicas , como o urânio , usando membranas porosas. Também foi demonstrado com sucesso o uso na produção de hidrogênio a partir da água.

O número de Knudsen também desempenha um papel importante na condução térmica dos gases. Para materiais de isolamento, por exemplo, onde gases são contidos sob baixa pressão, o número de Knudsen deve ser o mais alto possível para garantir baixa condutividade térmica .

Veja também

• Fator de correção de Cunningham
• Dinâmica de fluidos
• Número Mach
• Fluxo de Knudsen
• Difusão Knudsen
• Paradoxo de Knudsen

Referências

• Cussler, EL (1997). Difusão: Transferência de Massa em Sistemas de Fluidos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-45078-0.

links externos

• Calculadoras de número e difusividade de Knudsen