Teorema de desaparecimento de Kodaira - Kodaira vanishing theorem

Em matemática , o teorema de desaparecimento de Kodaira é um resultado básico da teoria das variedades complexas e da geometria algébrica complexa , descrevendo as condições gerais sob as quais os grupos de cohomologia de feixe com índices q > 0 são automaticamente zero. As implicações para o grupo com índice q = 0 é geralmente que sua dimensão - o número de seções globais independentes - coincide com uma característica holomórfica de Euler que pode ser calculada usando o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .

O caso analítico complexo

A afirmação do resultado de Kunihiko Kodaira é que se M é uma variedade de Kähler compacta de dimensão complexa n , L qualquer feixe de linha holomórfica em M que é positivo , e K _M é o feixe de linha canônica , então

${\ displaystyle H ^ {q} (M, K_ {M} \ otimes L) = 0}$

para q > 0. Aqui representa o produto tensorial de pacotes de linha . Por meio da dualidade de Serre , obtém-se também o desaparecimento de para q < n . Há uma generalização, o teorema de desaparecimento Kodaira-Nakano , em que , onde Ω ⁿ ( L ) denota o feixe de ( n , 0) -formas holomórficas em M com valores em L , é substituído por Ω ^r ( L ), o maço de holomórfica ( r , 0) -forms com valores de G . Então o grupo de cohomologia H ^q ( M , Ω ^r ( L )) desaparece sempre que  q  +  r  >  n . ${\ displaystyle K_ {M} \ otimes L}$${\ displaystyle H ^ {q} (M, L ^ {\ otimes -1})}$${\ displaystyle K_ {M} \ otimes L \ cong \ Omega ^ {n} (L)}$

O caso algébrico

O teorema do desaparecimento de Kodaira pode ser formulado dentro da linguagem da geometria algébrica sem qualquer referência a métodos transcendentais , como a métrica de Kähler. A positividade do feixe de linha L se traduz no feixe invertível correspondente sendo amplo (isto é, alguma potência tensorial dá um encaixe projetivo). O teorema de desaparecimento algébrico Kodaira – Akizuki – Nakano é a seguinte afirmação:

Se k é um campo de característica zero, X é um k liso e projetivo - esquema de dimensão d , e L é um amplo feixe invertível em X , então

${\ displaystyle H ^ {q} (X, L \ otimes \ Omega _ {X / k} ^ {p}) = 0 {\ text {for}} p + q> d, {\ text {and}}}$

${\ displaystyle H ^ {q} (X, L ^ {\ otimes -1} \ otimes \ Omega _ {X / k} ^ {p}) = 0 {\ text {for}} p + q <d,}$

onde o Ω ^p denotam os feixes de formas diferenciais relativas (algébricas) (ver diferencial de Kähler ).

Raynaud (1978) mostrou que este resultado nem sempre se mantém sobre campos de característica p > 0 e, em particular, falha para superfícies de Raynaud . Mais tarde, Lauritzen & Rao (1997) forneceram contra-exemplos elementares inspirados em espaços homogêneos adequados com estabilizadores não reduzidos.

Até 1987, a única prova conhecida na característica zero era, entretanto, baseada na prova analítica complexa e nos teoremas de comparação GAGA . No entanto, em 1987, Pierre Deligne e Luc Illusie deram uma prova puramente algébrica do teorema do desaparecimento em ( Deligne & Illusie 1987 ). A prova deles é baseada em mostrar que a sequência espectral de Hodge – de Rham para a cohomologia algébrica de Rham degenera em grau 1. Isso é mostrado levantando um resultado mais específico correspondente da característica p  > 0 - o resultado da característica positiva não se mantém sem limitações mas pode ser levantado para fornecer o resultado completo.

Consequências e aplicações

Historicamente, o teorema de incorporação de Kodaira foi derivado com a ajuda do teorema de desaparecimento. Com a aplicação da dualidade de Serre, o desaparecimento de vários grupos de cohomologia de feixes (geralmente relacionados ao feixe de linhas canônicas) de curvas e superfícies ajudam na classificação de variedades complexas, por exemplo, classificação de Enriques-Kodaira .

Veja também

• Teorema do desaparecimento de Kawamata-Viehweg
• Teorema de desaparecimento de Mumford
• Teorema do desaparecimento de Ramanujam

Referências

• Deligne, Pierre; Illusie, Luc (1987), "Relèvements modulo p ² et décomposition du complexe de Rham", Inventiones Mathematicae , 89 (2): 247-270, Bibcode : 1987InMat..89..247D , doi : 10.1007 / BF01389078 , S2CID  119635574
• Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing teoreems (PDF) , DMV Seminar, 20 , Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-2822-1, MR  1193913
• Phillip Griffiths e Joseph Harris , Princípios de Geometria Algébrica
• Kodaira, Kunihiko (1953), "Sobre um método geométrico diferencial na teoria das pilhas analíticas", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 39 (12): 1268–1273, Bibcode : 1953PNAS ... 39.1268K , doi : 10.1073 / pnas.39.12.1268 , PMC  1063947 , PMID  16589409
• Lauritzen, Niels; Rao, Prabhakar (1997), "Elementary counterexamples to Kodaira vanishing in prime Character", Proc. Indian Acad. Sci. Matemática. Sci. , Springer Verlag, 107 : 21-25, doi : 10.1007 / BF02840470 , S2CID  16736679
• Raynaud, Michel (1978), "Contre-exemple au vanishing teoreem en caractéristique p> 0", CP Ramanujam --- um tributo , Tata Inst. Fundo. Res. Studies in Math., 8 , Berlin, New York: Springer-Verlag , pp. 273-278, MR  0541027